2.1.1认识一元二次方程-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式、根及系数判定，通过幼儿园铺地毯、梯子滑动等现实问题导入，引导学生从实际情境抽象方程，为后续解方程、应用及函数结合搭建基础学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实、“数学思维”推理判断、“数学语言”建模表达，如用连续整数平方和问题抽象方程，通过分层习题夯实基础，清晰判断流程培养推理意识。学生能提升应用能力，教师可直接用于教学，提高效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1.1认识一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 2.1.1 认识一元二次方程 专项练习 本节是北师大版九年级上册第二章一元二次方程的入门内容，是后续解方程、方程应用、函数结合题型的基础，核心要求为掌握一元二次方程的定义、一般形式、各项系数判定，能够识别方程类型、验证方程的根、结合实际情境列一元二次方程。下面结合核心知识点，搭配分层专项习题，夯实基础、突破易错难点。 一、核心知识梳理 1. 一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程。需同时满足三个条件：整式方程、单未知数、最高次数为2，缺一不可。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$。其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$为二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$为一次项系数；$$c$$为常数项。核心限定$$a eq0$$，$$b、c$$可取任意实数。 3. 方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根，可代入方程验证参数取值。 4. 特殊形式：$$ax^2=0$$、$$ax^2+bx=0$$、$$ax^2+c=0$$，均为一元二次方程常用简化形式。 5. 高频易错点：判定方程需先化简为一般形式；系数必须包含正负符号；分式方程、无理方程不属于整式方程，不是一元二次方程。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. $$3x+1=0$$ B. $$x^2-2x=0$$ C. $$\frac{1}{x}+x^2=3$$ D. $$xy+2x=1$$ 2. 方程$$4x^2-7x+2=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（） A. 4、-7、2 B. 4、7、2 C. -4、-7、2 D. 4、-7、-2 3. 若$$(k-3)x^2+2x-1=0$$是一元二次方程，则k的取值范围是（） A. $$k eq0$$ B. $$k eq3$$ C. $$k=3$$ D. 任意实数 4. 已知$$x=2$$是方程$$x^2-mx+2=0$$的一个根，则m的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 化简后一定不是一元二次方程的是（） A. $$(x-1)^2=x^2$$ B. $$2x^2=5x$$ C. $$x^2-4=0$$ D. $$3x^2+x=1$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程的一般形式是________。 2. 方程$$5x^2-6x=0$$的常数项是________。 3. 若方程$$mx^2+3x-1=0$$是一元二次方程，则m满足________。 4. 已知$$x=-1$$是方程$$x^2+ax+3=0$$的根，则a=________。 5. 化简方程$$2x(x-3)=1$$的一般形式为________。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数。（1）$$2x(x+1)=3(x-2)$$ （2）$$(x-3)^2=4$$ 2.（12分）判断下列方程是否为一元二次方程，说明理由。（1）$$x^2+\sqrt{x}=2$$ （2）$$3x^2-5=2x$$ 3.（18分）根据实际问题列一元二次方程（只列方程，不求解）。（1）一个矩形长比宽多3，面积为28，求矩形宽；（2）一个数的平方比它本身大6，求这个数。 4.（18分）已知方程$$(m+1)x^2+mx+1=0$$，分别求满足下列条件的m取值：（1）方程为一元二次方程；（2）方程为一元一次方程。 三、参考答案与解析 选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.A。解析：1.A为一次方程，C为分式方程，D含两个未知数；4.代入$$x=2$$得$$4-2m+2=0$$，解得m=3；5.A化简后无二次项，为一元一次方程。 填空题：1.$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$；2.0；3.$$m eq0$$；4.4；5.$$2x^2-6x-1=0$$。 解答题：1.（1）一般形式$$2x^2-x+6=0$$，系数2、-1、6；（2）一般形式$$x^2-6x+5=0$$，系数1、-6、5。 2.（1）不是，含根式，非整式方程；（2）是，满足一元二次方程全部定义条件。 3.（1）设宽为x，$$x(x+3)=28$$；（2）设数为x，$$x^2-x=6$$。 4.（1）$$m+1 eq0$$，即$$m eq-1$$；（2）$$m+1=0$$且$$m eq0$$，即$$m=-1$$。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.理解一元二次方程的有关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。 2.能把一个一元二次方程化为一般形式，并能指出二次项系数、一次项系数和常数项。 学习目标 2 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗? 8m 5m 探究新知 3 知识点1 一元二次方程的概念 问题1 如果设所求的宽度为 x m，那么你能列出怎样的方程? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 2x²-13x+11=0 18m² 探究新知 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 探究新知 知识点1 一元二次方程的概念 问题2 观察下面等式： 10²+11²+12²=13²+14²。 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示 其余四个数? 根据题意，你能列出怎样的方程? x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) x x²-8x-20=0 探究新知 知识点1 一元二次方程的定义 1.下列方程中，是一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 8 问题3 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗? =6(m) 如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程? (x+6)²+7²=10² 1 m 知识点1 一元二次方程的概念 x m 10 m 8 m x²+12x-15=0 探究新知 知识点1 一元二次方程的概念 由上面三个问题，得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18， x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²， (x+6)²+7²=10²。 这三个方程有什么共同特点? ①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 2x²-13x+11=0 x²-8x-20=0 x²+12x-15=0 探究新知 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 探究新知 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 知识点1 一元二次方程的概念 探究新知 我们把ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 知识点2 一元二次方程的一般形式 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0。 思考：为什么规定a≠0？ 探究新知 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 知识点2 一元二次方程的一般形式 探究新知 知识点3 建立一元二次方程模型 4.某小区有一块正方形的空地，从这块空地上划出部 分区域进行绿化（图中阴影部分），原空地一边减 少了，另一边减少了 ，剩余空地的面积为 ，求原正方形空地的边长。设原正方形空地的 边长为 ，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 15 5.两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数。设较小的奇数为 ，则可列 方程为_______________。 返回 举一反三 16 6.若关于的一元二次方程 化为一般形式后 的二次项系数为1，一次项系数为，则 的值为( ) C A.1 B.3 C. D.0 返回 举一反三 17 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 x²=-2x+6； 4-3x²=0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1)²+3x=4x²。 解： 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 例2 x²+2x-6=0 1 2 -6 3x²-4=0 3 0 -4 4x²-5x=0 4 -5 0 3x²-x-1=0 3 -1 -1 知识点2 一元二次方程的一般形式 探究新知 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.［教材习题 变式］ 填表： 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 _________________ ___ ____ ____ _____________ ____ ___ ____ _____________ ___ ____ ___ ________________ ___ ___ ____ 1 10 10 0 5 0 1 7 返回 举一反三 19 7. ［教材习题 变式］ 《九章算术》中记载：“今有 户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是： 有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它 的高与宽各是多少？设矩形门的宽为 尺，则依题意所列方程为_______ ________________（1丈尺，1尺 寸）。 返回 举一反三 20 8. 某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题： （1）当 _______时，方程为一元一次方程； （2）当 ___时，方程为一元二次方程。 或0 1 返回 举一反三 21 9.根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式：如图，用 长的围栏围成总面积为 的三个大小相同的矩形羊圈，羊 圈的一面靠墙（墙足够长），求 的长。 解：设的长为 。 由题意，得 ， 化成一般形式为 。 返回 举一反三 22 一元二次方程 定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 一般形式 课堂小结 谢谢观看 THANKS $