2.1.1　认识一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及应用，通过幼儿园地毯铺设、连续整数平方和、梯子滑动三个实际问题导入，引导学生列出方程并观察共同特点，逐步抽象出定义，构建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过观察交流让学生自主推理概括定义发展数学思维，应用环节强化用数学语言表达实际问题。如矩形地毯问题引导抽象方程，课堂小结的认知逻辑梳理助知识结构化。学生能提升抽象能力和模型意识，教师可借助清晰流程和检测题提高教学效果。

第1课时　 认识一元二次方程 第二章　一元二次方程 1 探究与应用 幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯(如图2-1-1),四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗? 如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程? 探究　一元二次方程的概念 问题导入 图2-1-1 解:能.(8-2x)(5-2x)=18. 观察下面等式:102+112+122=132+142. 你还能找到五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程? 观察思考 解:能.其余四个数分别为x+1,x+2,x+3,x+4. 列方程为x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2. 如图2-1-2,一架长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子顶端到地面的垂直距离为8 m.如果梯子顶端下滑1 m,那么梯子底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程? 尝试思考 图2-1-2 解:根据题意,得滑动之前梯子的底端到墙的距离为=6(m). 则可列方程为(x+6)2+72=102. 由上面三个问题,我们可以得到三个方程: (8-2x)(5-2x)=18, x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2, (x+6)2+72=102. 这三个方程有什么共同特点? 观察交流 略 1.一元二次方程的定义:只含有一个未知数x的　 　 方程,并且可以化成　　　　　　(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.  2.一般形式:我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中　 　,　　,　　分别称为二次项、一次项和常数项,　　,　　分别称为二次项系数和一次项系数.  概括新知 整式 ax2+bx+c=0 ax2 bx c a b 有下列方程:①12x-10=0;②x2++5=0;③x2+5x-6=0;④4x2= 4x(x-2);⑤ax2+bx+c=0(a,b,c为常数);⑥(x-1)2+y2=2.其中一定是一元二次方程的是　　(填序号).  应用一　识别一元二次方程 例 1 ③ 判定一个方程是一元二次方程的三点注意 (1)化简前是整式方程,且只含有一个未知数; (2)化简后含有未知数的项的最高次数为2; (3)化简后二次项系数不为0. 三者缺一不可. 学 方法 把下列方程化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)x(x-2)=0; (2)x2-2x+1=2x(x-1); 应用二　利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 例 2 解:答案不唯一.(1)去括号,得x2-2x=0. 二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为0. (2)去括号,得x2-2x+1=2x2-2x. 移项、合并同类项,得x2-1=0. 二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为-1. (3)(x+1)(x-3)=5; (4)3(x+1)2=2(x+1). 解:(3)去括号,得x2-3x+x-3=5, 移项、合并同类项,得x2-2x-8=0, 二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为-8. (4)去括号,得3x2+6x+3=2x+2, 移项、合并同类项,得3x2+4x+1=0. 二次项系数为3,一次项系数为4,常数项为1. 确定一元二次方程各项及各项系数的两点注意 (1)把方程化为一般形式; (2)各项系数包括前面的符号. 防 易错 根据题意,列出一元二次方程,并化为一般形式. (1)一个直角三角形的斜边长是17 cm,两直角边长之差为7 cm,求较短的直角边长; 应用三　根据实际问题列简单的一元二次方程 例 3 解:(1)设较短的直角边长为x cm,则较长的直角边长为(x+7)cm. 根据题意,得x2+(x+7)2=172. 化为一般形式为x2+7x-120=0(一般形式不唯一). (2)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数. 解:(2)答案不唯一.设中间的奇数为x, 则可列方程为(x-2)2+x2+(x+2)2=251. 化为一般形式为3x2-243=0(一般形式不唯一). 【延伸拓展】 利用一元二次方程的定义确定字母参数的值或取值范围 (1)若mx2+2x=3x2+mx-3是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是　　　;  (2)已知方程(m+4)x|m|-2+8x+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是　　.  m≠3 4 利用一元二次方程的定义确定字母参数的值(取值范围)时,先根据未知数的最高次数为2列出关于字母参数的方程并求解,再根据二次项系数不为0,进一步确定字母参数的值(取值范围).注意:如果方程不是一般形式的,要先把方程化为一般形式. 理 思路 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.下列方程一定是一元二次方程的是 (　　) A.ax2+bx+c=0 B.x2=0 C.x2+=1 D.(x-1)2+1=x2 2.若方程(a+1)x2+9=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是　　　.  | 课堂检测 | B a≠-1 3.已知一元二次方程(3x-2)(x+1)=8x-3. (1)将方程化成一般形式; (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项. 解:(答案不唯一) (1)由题知方程(3x-2)(x+1)=8x-3可化为3x2-7x+1=0, ∴此方程的一般形式为3x2-7x+1=0. (2)由(1)中所得方程的一般形式可知,此方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为3,-7,1. 4.根据下列问题列方程,并将其化成一般形式. (1)一长方形的面积为64 cm2,若它的长是宽的2倍,则各边长是多少? (2)两数之差是2,平方和是52,求此两数. 解:(答案不唯一)(1)设长方形的宽为x cm,则长为2x cm, 根据题意得x×2x=64,化成一般形式为x2-32=0. (2)设这两个数中的较小数为x,则较大数为(x+2),根据题意列方程得x2+(x+2)2=52, 化成一般形式为x2+2x-24=0. $