第20章二次根式单元测试卷（培优） 2026-2027学年 华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 第20章二次根式单元培优卷，以基础巩固为基、能力提升为要、创新应用为标，覆盖二次根式运算、化简等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式运算、最简二次根式判定等|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|5/15|自变量取值范围、根式化简等|情境化设题，强化运算能力| |解答题|8/75|黄金矩形应用、平方法比较大小等|跨情境探究与方法迁移，发展推理意识与应用意识|

第20章 二次根式单元测试卷（培优） 本卷满分120分，考试时间100分钟。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（本题3分）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 3．（本题3分）下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（本题3分）估计的值应在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（本题3分）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列判断或计算，其中正确的有（    ） ①若二次根式有意义，则； ② ③； ④若，则； ⑤ A．①②③④⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①③④⑤ 7．（本题3分）已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 8．（本题3分）如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（本题3分）已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）函数 中自变量x的取值范围是_______． 12．（本题3分）若是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 13．（本题3分）把中根号外的移入根号内得________． 14．（本题3分）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 15．（本题3分）若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2) 17．（本题9分）先化简，再求值：，其中． 18．（本题9分）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给予我们以协调、匀称的美感，如图1，已知黄金矩形纸片，长． (1)求的长； (2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形； (3)在图2中，连接，求点到线段的距离． 19．（本题9分）已知，，求的值． 20．（本题10分）【教材再现】 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记作，0的算术平方根是0，即，并且被开方数为非负数． 【探究新知】 (1)若，则的取值范围是 【知识应用】 (2)若，求的值． 【拓展提升】 (3)若，求的值． 21．（本题9分）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 22．（本题11分）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 23．（本题10分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第20章 二次根式单元测试卷（培优）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B C B D C C A 1．D 【分析】本题考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵和不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． 选项B：∵，∴B错误． 选项C：∵ ，∴C错误． 选项D：∵，，∴，计算正确． 2．A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式中的被开方数是非负数， ∴ 解得： 当 时，左边 右边 ∴ 等式成立的条件是 ， 故选：A． 3．A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 4．B 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算无理数的大小，确定原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，， 由可得， ∵，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴估计的值应在2和3之间． 5．C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 6．B 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的化简与计算，只需逐个判断每个结论的正误即可. 【详解】解：① ∵有意义， ∴且，得且， ①错误； ② ∵， ②错误； ③∵ 有意义， ∴，即，则， ， ③正确； ④ ∵，， ∴且，即且， ∴，并非，④错误； ⑤ ∵， ⑤正确； 综上，正确的是③⑤， 故选：B. 7．D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 8．C 【分析】先分别求出、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴的周长为， 同理可得：的周长为， 的周长为， 归纳类推得：的周长为（为正整数）， ∴的周长为 ． 9．C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 10．A 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 11．且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零且被开方数是非负数求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为且． 12．3 【分析】本题考查了二次根式的化简，理解题意是解决本题的关键． 把12分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：3． 13． 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 14． 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 15． 【分析】由绝对值的非负性可判断，则化简第二个式子可得，与第一个式子消元可得 ，分类讨论的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时， ∴； 当时， （舍）； ∴ 16．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．化简结果为，值为（或） 【详解】解： ； 当时， 原式． 18．(1) (2)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； (3) 【分析】（1）由题意得，，据此计算即可； （2）根据正方形的性质得到，则可得到，证明，即可证明矩形是黄金矩形； （3）连接，设点D到线段的距离为h，求出；由勾股定理得，根据，求出h的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图2所示，连接， 设点D到线段的距离为h， 由正方形的性质可得， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴点D到线段的距离为． 19． 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数非负确定的取值范围． （2）利用非负数的性质得到的值，代入计算即可． （3）先由算术平方根的非负性确定的范围，化简绝对值后变形求解． 【详解】（1）解：∵的被开方数为非负数， ∴， 此时成立， 故的取值范围是． （2）解：∵，，且， ∴， ， ∴， ∴． （3）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ， ∴ ， 原式化为， 整理得， 两边平方得， ∴ ． 21．(1) (2)，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 【分析】（1）利用 “平方法” 比较二次根式的大小即可； （2）利用 “平方法” 进行比较即可． 【详解】（1）解：根据平方法，分别计算与的平方， ∵，且 ∴当两个正数的平方大时，数本身也大， 故答案为：． （2）略 【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 23．(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $