第20章 二次根式（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 新教材华东师大版八年级下第20章二次根式培优卷，120分钟120分，25题覆盖选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（9题72分），针对性强、覆盖面广、梯度分明，适配单元复习量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式意义（题1）、运算（题2）、最简根式（题3）|结合多地期末真题，基础与估值（题4）、规律探究（题6）兼顾| |填空题|6/18|化简（题11）、代数式求值（题12）、整数小数部分（题14）|注重逆向思维（题15）与几何情境（题16矩形面积）| |解答题|9/72|混合运算（题17）、实际应用（题19正方形卡纸）、新定义（题22共轭二次根式）|突出数学思维，如构造对偶式（题23）、探究性问题（题25整数部分特征），培养推理与创新意识|

第20章 二次根式·培优卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·北京·期末）使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）下列根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 12．已知，则的值为________． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______． 14．a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 16．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 18．（6分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（6分）（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 20．（8分）（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 21．（8分）（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）阅读理解，然后解决问题 例如： 上面的做法都可以把分母中的二次根号去掉，简称分母有理化．请你完成下列化简： (1) (2)分母有理化： 22．（9分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 23．（9分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 24．（10分）（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 25．（10分）（25-26八年级下·福建漳州·期末）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·北京·期末）使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵有意义， ， 解得． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）下列根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． A、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； C、分母含根号，可化为，不满足条件，不是最简二次根式； D、满足两个条件，是最简二次根式． 4．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估计无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ，且， ， ，即 ， 的值在到之间． 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果． 【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得： 可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数， 位置为 表示第17行第2个数 前16行共有个数， 该数是总序列的第个数 该数的被开方数为 ， 该数为． 7．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 12．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入，化简各个二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______． 【答案】 3 【详解】解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 14．a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到的整数部分和小数部分，再代入，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 16．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出正方形边长，再用边长减去，分别求出矩形的长和宽，求出矩形面积． 【详解】正方形面积为147， 正方形边长为， ，， ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）先计算，的值，进而根据平方差公式即可求解； （2）根据完全平方公式变形，结合平方差公式，即可求解； 【详解】（1）由题意得： ∴ ； （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 19．（6分）（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 20．（8分）（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 21．（8分）（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）阅读理解，然后解决问题 例如： 上面的做法都可以把分母中的二次根号去掉，简称分母有理化．请你完成下列化简： (1) (2)分母有理化： 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的一般步骤，是解题的关键． （1）根据分母有理化的运算过程解答即可； （2）根据分母有理化的运算过程解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．（9分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 23．（9分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 24．（10分）（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式； （2）解： ． 25．（10分）（25-26八年级下·福建漳州·期末）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又 ，且， ． 又 ， ， ， ． 故． 又 ，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解： ， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $