第20章二次根式单元测试卷（基础） 2026-2027学年 华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 第20章二次根式基础单元卷，覆盖二次根式概念、性质、运算及应用，通过生活情境（如矩形绿地）、数学文化（海伦公式）和新定义问题，夯实基础并培养运算能力与应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|最简二次根式、性质、化简、实际应用（电流公式）|结合数轴化简、象限点坐标考查性质，海伦公式体现文化传承| |填空题|5题/15分|取值范围、规律探究、新定义运算|规律排列题培养抽象能力，新运算题强化符号意识| |解答题|8题/75分|混合运算、实际应用（绿地通道）、阅读材料（分母有理化）|矩形绿地问题联系社会热点，“有理二次根式”新定义考查推理能力，分子有理化比较大小培养数学思维|

第20章 二次根式单元测试卷（基础） 本卷满分120分，考试时间100分钟。 一、单选题（共30分） 6．（本题3分）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）有下列计算：①；②；③，④．其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（本题3分）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）若点在第二象限，则化简二次根式得（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则m，n的值分别为（   ）． A．， B．， C．， D．， 9．（本题3分）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（    ） A．5 B． C． D． 10．（本题3分）设，则数m的值应在（   ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 5．（本题3分）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（本题3分）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中，，为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）在实数范围内有意义，x的取值范围是____________． 12．（本题3分）若，则______． 13．（本题3分）一组数按如下规律排列： 照此规律，回答下列问题： （1）_________． （2）如果记作有序数对，记作有序数对，则记作有序数对_________． 14．（本题3分）已知是整数，则正整数n的最小值为______． 15．（本题3分）用“”定义新运算，对于任意实数，都有，例如：，那么_______． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2)． 17．（本题9分）某居民小区为贯彻关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的理念．小区内有一块形状为矩形的绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中修建一个矩形花坛（即图中阴影部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)矩形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 18．（本题9分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（本题9分）阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 20．（本题10分）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)计算以下式子的值：； (3)已知整数满足，求的值． 21．（本题10分）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 22．（本题10分）老师在黑板上写出下面的一道题： 已知，，用含a，b的代数式表示，两位在黑板上分别板书了自己的解答： 同学甲：． 同学乙：． (1)你认为两位同学的解答都正确吗？ (2)同学丙得出的结果为，老师说是正确的，你知道丙是怎样做的吗？请你写出丙的解答过程． 23．（本题10分）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，通过适当的运算，把分母变为有理数的过程称为分母有理化．例如：，， 其中、叫做有理化因式，其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”， 即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ， ． (1)将二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第20章 二次根式单元测试卷（基础）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B A A B B C C 1、 单选题（共30分） 1．A 【详解】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对于A选项，满足上述两个条件，是最简二次根式； 对于B选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于C选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于D选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2．C 【分析】此题考查了二次根式的乘除法和二次根式的性质，根据二次根式的乘除法法则分别计算． 【详解】①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确． 故选：C． 3．A 【分析】利用，结合绝对值的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 解得． 4．B 【详解】解：由数轴可知：，则有， ∴． 5．A 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到的符号，再利用二次根式的性质化简，去绝对值整理后得到结果． 【详解】解：∵ 点在第二象限， ∴ ，， ∴， ∵ ，， 将上述结果代入得：原式． 6．A 【分析】因为给定的根式是二次根式，所以它们的根指数必须为2；又因为它们是可以合并的最简二次根式，所以它们的被开方数相等，据此列方程组求解即可． 【详解】解：∵两个根式均为最简二次根式，且可以合并， ∴根指数都为2，且被开方数相等， ∴ 解第二个方程，移项合并同类项，得， 即， 把代入， 得． 7．B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流I的值． 【详解】解：通电时间t（单位：s)与产生的热量Q（单位：J）满足， 所以电流． 故电流I的值为 ， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．先计算二次根式乘法，再合并，最后由无理数估算的计算方法即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 则数m的值应在5和6之间， 故选：B ． 8．C 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此． 故选：C． 10．C 【分析】直接利用题目给出的海伦公式计算三角形面积，先求出半周长，再代入公式化简即可得到结果． 【详解】解：∵三边长分别为 ， ∴半周长 ， 代入海伦公式得： ． 二、填空题（共15分） 11．且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得，要使在实数范围内有意义，需满足被开方数非负且分母不为零，即： 解得， 解得， 因此的取值范围是且． 12．2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 13． 【分析】（1）将所有数统一转化为的形式，观察被开方数得到规律，从而求出的值； （2）正确理解有序数对的含义，先求出是整体中的第几个数，再结合（1）确定所在的行和列，从而得出记作的有序数对． 【详解】解：（1）第1行（1个数）： 第2行（2个数）：、 第3行（3个数）：、、 第4行（4个数）：、、 由此得出； （2）根据题意得：， 由（1）可知，是整体的第30个数， 第行有个数， 前7行共有：个数， 前8行共有：个数， 第30个数位于第8行，且该数在第8行的位置为，即第2个数， 记作有序数对为． 14．2 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 15． 【分析】本题考查了定义新运算， 二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据定义，代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；             （2）解：原式 ． 17．(1) (2)660元 【分析】（1）因为矩形周长公式为，所以先将和代入公式化为最简二次根式，再计算即可． （2）首先需要计算矩形的面积，利用矩形面积公式，代入长和宽化简后计算．因为花坛的长和宽符合平方差公式的形式，所以利用平方差公式计算面积更简便．因为通道面积等于大矩形面积减去花坛面积，所以先求出通道面积，再乘以每平方米地砖的造价，即可得到总花费． 【详解】（1）解：， 即矩形的周长是．                 （2）解：由题意，知（元）． 答：购买地砖需要花费660元． 18．(1) (2) 【分析】（1）先求得的值，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入即可； （2）先分别求得、的值，再将通分，最后整体代入即可． 【详解】（1）解： ，， ， ． （2）解： ，， ， ， ， ， ． 19．(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 20．(1)， (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料中的定义、方法直接求解即可； （2）先对括号里各项分母有理化，再化简括号里的，最后由平方差公式计算即可； （3）将题中等式左边式子分母有理化，再由等式列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料方法，可知， 则与互为有理化因式； ， 则将分母有理化得； （2）解： ； （3）解： ， ， 解得． 21．(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 22．(1)这两位同学解答的都正确； (2) 丙同学的过程是： 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，由结论可以写出推导过程． （1）根据甲乙两同学的解答过程可以判断甲乙两同学的解答是否正确； （2）根据结果可以推导出丙同学的解答过程，从而本题得以解决． 【详解】（1）这两位同学解答的都正确； （2）略 23．(1) (2) 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得，， ， ， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $