第20章 二次根式 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（华东师大版·新教材）

第20章提优测评卷 答案P8 时间：90分钟总分：100分 第I卷（选择题 共30分) 一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(2026·北京顺义区期未)若√2x一1是二次根式，则实数x的取值范围是( 数 及对 D.x≤2 2.下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是( 别 3 A. B.√27 C.⑧ D.√/12 3.(2026·上海松江区期中)若x是整数，且√x一1十√3一x有意义，则√x一1十√3一x的值是( A.1或3 B.0或1 C.2或√2 D.0或√2 4.(2026·海口龙华区月考)下列化简结果中，错误的是( A.√27=3√5 C. 2_V6 5_√10 D.8 4 中 3 5计号+6V-2 的结果是( A.3y B.2 C.-2y D.-3√y 6.下列各式不成立的是(). Avs-8回 B.√2÷3=√2÷3 C. √8+√/18 1 D. =√3-√2 2 =√4+9=5 5+2 7如果06那么下列太0，g语他号· 2=1③a6÷V a=-b.其中 正确的是( A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 8.传统文化《九章算术》(2026·江苏宿迁泗洪期中)在《九章算术》中，勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方 除之，即弦”，即c=√a2十b(a为“勾”，b为“股”，c为“弦”).若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如 图所示的数轴上可表示在(). A.点A B.点B A B C D 012345 C.点C D.点D (第8题) 9.已知Wx一10一√x+5=一3，则与√x最接近的整数是(). A.2 B.3 C.4 D.5 1 10.设3-√巨的整数部分为a,小数部分为b,则a十的值为( ) A-号 B.1+√2 c1+号 D.2-√2 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11.若等式a2-l6=√a十4·√a一4成立，则a的取值范围是 12.(2025·广州中考)要使代数式 x-3 有意义，则x的取值范围是 13.已知xy=3,则x 区+ 区的值是 14.若三角形的底边长是a=2√30，面积是S=15,则底边上的高线长h等于 1 15.计算V6×w2+V27÷5-√3的结果是 16.金类论8题我们把宽与长的比是5。的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调，匀称的 美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四 边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为√5一1，则该矩形的周长为 a2-4b2 17.若行+2的整数部分为a,小数部分为6，则。平如b6的值为 18.(2026·黑龙江大庆肇源期中)某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课 题是《测量吊车起重臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如 图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重 臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂AB的长 度也可以伸缩)，如果起重臂AB=2√13米，点B到地面的距离BE= 1.8米，钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F,点B到AF的距离BG (第18题) =6米，则吊车起重臂的顶端A到地面的距离AF= 米 三、解答题（第24~26题每题7分，其余每题5分，共46分） 19.计算： (①25清选a州条期中压÷3-√侵XV亚十a: 2 /9_3+6+(3-2)°+√1-2). 2w8-人23 20.已知a=√5+2，b=√5-2，求下列式子的值： (1)a2b+ab2; (2)a2-3ab+b2; (3)(a-2)(b-2). 21.5·为保定期已知算式8÷V区×√）一口一⑧，其中第四个根号下的被开方数 “☐”模糊不清. (1)若“☐”猜成50，求原式的值， (2)若“口”是正整数，且√口与√18可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出 这个值. 3 第20章提优测评卷 22.阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容.请认真阅读，并完成相应的任务 关于“比较2十√3与√7的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将2十√3与√7分别平方，再比较大小. 解题过程：… 成员2（构造法）： 研究思路：以2、√3、√7为边构造三角形，利用三角形中▲进行比较， 问题思考：以2、√3、√7为边构造的三角形为■三角形. 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ；“■”处空缺 的内容： (2)请补全材料中“…”处的解答过程， (3)直接写出/10一√3与√7之间的大小关系. 23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√10+√2，BC=√10-√2，求： (1)Rt△ABC的面积 (2)斜边AB的长； (3)边AB上的高. (第23题) 实验班提优训练数学九年级上HSD 24.我们约定，关于x的代数式A、B,在代数式成立的范围内，都有|A一B=m(m为常数)，则称 代数式A、B互为“差值代数式”，m为“差值”.例如：A=x2十2x十3，B=x2十2x十1.，A B=2,∴.A、B互为“差值代数式”，“差值”为2.根据该约定，解答下列问题： (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”.（在括号中填写“是”或“不是”） ①Wx-1与Wx+1 ②W元与-2.5+√元 ③+3与 -2x+3 ④Wx2与|x| (2)已知关于x的整式M=(x一a)2,N=x2一2ax十5，若M、N互为“差值代数式”，且“差 值”为5，求a的值. 25.新考法解题方法型阅读理解题阅读材料： √1和W4为整数，4-1=3=2×1+1； √4和w9为整数，9一4=5=2×2十1； √9和/16为整数，16一9=7=2×3十1. 小明发现结论：若√a和wb为相邻的两个整数，其中a<b,则有b一a=2√a十1.并给出了 证明： .'√a和W石为相邻的两个整数，∴Wa十1=√b, 等式两边同时平方，得a十2a十1=b, ,得 请根据以上材料，解决以下问题： (1)请补全小明的证明过程； (2)若√a和va+11为两个相邻整数，则a= (3)若√a和va+216为相差4的两个整数，求a的值. 5 26.如图，有一张边长为6√2cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的 长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为2cm.求： (1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)长方体盒子的体积 (第26题) 四、附加题（本题共10分，不计入总分） 27.数形结合思想如图，已知一块矩形木板的长和宽分别为3√6cm和4√2cm,现在想利用这块矩 形木板裁出面积分别为6cm2和18cm的两种规格的正方形木板，能裁出大小正方形木板各 几个？请你给出裁割方案，并通过计算说明理由. 4.2 cm 3,6 cm- (第27题) 6今实验班提优训练数学九年级上HSD 竞赛思维空间 1.C2.-√53.354.-√55.24 6.(x-√x2-2023)(y-√y2-2023)=2023, 2023 .x-/x2-2023= =y+v√y-2023,y- y-√y2-2023 2023 /y2-2023= =x+V√x2-2023. x-√x2-2023 根据以上两式，可得x=y, .(x-√x2-2023)2=2023,解得x2=2023, .3x2-2y2+3x-3y-2022=3x2-2x2+3x-3x 2022=x2-2022=1. 7.由题意，得(a十1)2=5，∴.a2+2a=4, .2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12= 2a(a2+2a)+3a2-2a-12=3a2+6a-12=3(a2+ 2a)-12=0. 第20章提优测评卷 1.B2C3.C4.C5.A6.C7.B 8.C[解析]若“勾”为2，“股”为3，则“弦”为√22+32= √13.9<13<16，.3<√13<4， 则“弦”在如题图所示的数轴上可表示在点C.故选C 9.B[解析]移项，得√x-10=√x+5-3, 两边平方，得x一10=x+5一6√x+5十9， 整理，得√x十5=4. :√16=4，两边平方，得x+5=16,∴.x=11, √=WI.9<W1T<√/16，∴.3<√I<4 3.52=12.25,11<12.25,W11<√3.5， ∴.3<√11<3.5，.√11最接近的整数是3.故选B. 10.A11.a≥412x≥-1且x≠3 18±25468 164或25+217.45-5 5 18.5.8[解析]由题意，得点B到地面的距离BE-1.8米. ,∠BEF=∠EFG=∠BGF=90°，∴.四边形BEFG是矩 形，.FG=BE=1.8米 在Rt△AGB中，AG=√AB2-BG=√(2√/I3)2-62 =4(米)，.AF=AG+FG=4+1.8=5.8(米). 19.(1)原式=√16-√6+2√6=4+√6. (2)原式=3厄-是反-(1+2)+1+11- =3-2-1-2+1+2-1=厄-1. 方法诠释本题考查了二次根式的混合运算与化简、零 指数暴等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关健. 20.(1)a=√5+2，b=√5-2，.ab=1,a+b=25, .a2b+ab2=ab(a+b)=1×25=2√5. (2)a=√5+2，b=√5-2，.ab=1,a-b=4, .a2-3ab+b2=(a-b)2-ab=42-1=16-1=15. (3)a=√5+2，b=√5-2，.(a-2)(b-2)=(5+2 2)×(W5-2-2)=√5×(W5-4)=5-45. 8 21.(1)原式=2√2÷√2-5v2-3√2=2-8√2. (2)原式存在最大值， :√石与√18可以合并，“口”是正整数，√18=3√2， ∴.“☐”表示的数的最小值为2，∴原式有最大值， 最大值=8÷(×√召)-E-s=2-2- 3√2=2-42. 22(1)两边之和大于第三边直角 (2),(2+√3)2=4+43+3=7+43，(W7)2=7,而7+ 4W3>7,.2+3>√7. (3).(√10-√3)2=10-2√/30+3=13-2√30 =13-√/120， (W7)2=7=13-6=13-√/36，且√120>√36， .13-√120<13-√36，∴.√10-√5<√7. 一题多解(3)：(W/10-√3)2=10-2√30+3=13 2√30=13-√120，(W7)2=7, 而√100=10<230=√120<√121=11， >当其中一个悬的平方中仍含根式，可借助特殊值我 出其大致范围 .-11<-2/30<-10, ∴.-11+13<-2√30+13<-10+13，即2<-2√/30+ 13<3,.13-2√/30<7，∴.√10-3<7. 23.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√10+√2，BC= VI0-/E,R△ABC的面积=AC,BC 2 (10+2)(0-2)_102=4. 2 2 (2)AB=√AC2+BC =VW(√10+√2)2+（√10-√2）2=2√6. (3)设边AB上的高为h, 则7AB·h=4,将AB=26代人，得 吉×26×=4解得A=25,即AB边上的高为2 24.(1)①不是②是③是④是[解析]①|√x-1 √x+I|,当x=1时， |√x-I-w√x+I|=|√I-I-√I+I|=√2 当x=2时，|√x-1-√x+I|=|√2-1-√2+1|= √3-1，故①不是； ②l√元-(-2.5+√元)1=2.5，故②是； ③z+3-2x+3 =3,故③是； x x ④l√x2-|xl|=0,故④是. (2)由题意，得|M-N|=|x2-2ax+a2-x2+2ax- 5=5,.a2-51=5,解得a=±√10或0. 故a的值为士v√10或0. 25.(1)移项b-a=2√a十1 (2)25[解析].√a和√a十1I为两个相邻整数， .由(1)的结论可知，a+11-a=2√a+1,Wa=5, .a=25. (3),√a和√a+216为相差4的两个整数，∴√a+4= √a+216,等式两边同时平方，得a+8√a+16=a+216, √a=25,∴.a=625. 关键提醒本题主要考查了算术平方根的应用、等式的 性质及完全平方公式，本题是阅读型题目，熟练掌握题干 中的方法并正确应用是解题的关键 26.(1)制作长方体盒子的纸板的面积为(62)2一4× (W2)2=72-4×2=64(cm2). 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 64cm2. (2)(62-2√2)×(6√2-2√2)X√2=4√2×4√2X √2=32√2(cm3). 故长方体盒子的体积为32√2cm3. 27,若裁大正方形木板，其边长为32cm 3√2<42<2X32,3√2<3√6<2X3√2， .只能裁出一块面积为18cm2的大正方形木板， 余下的宽为4V/2-3√2=√2(cm)<√6cm, 余下的长为(36-3√2)cm. ".'W6<3√6-3√2<26,2√6<42<36， ∴余下的长也只能裁两块小正方形木板，不够裁大正方形 木板 故能裁出一块面积为18cm2的大正方形木板和两块面积 为6cm的小正方形木板，裁割示意图如图所示. 66 6 6 18 (第27题) 旧纳总结本题主要考查二次根式的应用，求出各正方 形的边长进而得出裁割方案是解题的关键.利用数形结合 思想以及正方形的边长求解即可 第21章 一元二次方程 21.1认识一元二次方程 1.B 2.C[解析]由题意，得a2一l≠0，解得a≠士1.故选C. 3.A[解析]关于x的一元二次方程(a十2)x2十x十a2 4=0的一个根是x=0, ∴.a2-4=0且a十2≠0，解得a=2.故选A. k2-1=0解得k=1. 4(1)八原方程为一元一次方程心+1≠0， 故该方程为一2x-2=0,方程的根是x=一1. (2)原方程为一元二次方程，.k2一1≠0，解得≠士1. 该方程的二次项系数为2一1，一次项系数为一(k十1)，常 数项为一2. 5.D 6.A[解析]将a(x+3)2+bx+3b=8(a≠0)化为a(x+ 答案6D详解 3)2+(x+3)b一8=0，把它看作关于(x+3)的一元二次 方程. 关于x的一元二次方程ax2十bx-8=0(a≠0)有一个 根为x=2025, ∴.关于(x十3)的一元二次方程a(x十3)2+(x+3)b-8= 0的一个根为x+3=2025,解得x=2022,即关于x的一 元二次方程a(x十3)2十bx+3b=8的一个根为x=2022. 故选A. 7.A[解析]由条件可知ax十2xo十c=0,即ax十 2x0=-C. .N=(axo+1)2=a2x6+2a.xo+1,M=2-ac, .NM=(a2x6+2axo+1)-(2-ac)=a2x6+2axo+ >计算N一M,化简后和0比较大小 ac-1=a(axo2+2zo)+ac-1=a.(-c)+ac-1= -1<0,'.M>N.故选A. 8.一4[解析]m是方程x2+4x-1=0的一个根， .m2+4m=1,∴.(m+5)(m-1)=m2-m+5m-5= m2+4m-5=1-5=-4. 思路引导本题主要考查了一元二次方程根的概念， 以及已知式子的值求代数式的值，由是方程x2十4x一 1=0的一个根，可得出m2+4m=1,再化简代数式，整体 代入即可求解. 9.33[解析]由题意，得7一b十c=0,∴.b=7+c, ..b2-6c=(7+c)2-6c=c2+8c+49=(c+4)2+33. .(+4)2≥0，.(c+4)2+33≥33，.b2-6c的最小值 为33. 10.一9[解析]，a是关于x的一元二次方程x2十2x十 m-3=0的一个根，∴a2十2a十m-3=0,∴.m=-a2 2a+3. b十3是关于x的一元二次方程x2-4x十m十n=0的 一个根， .(b+3)2-4(b+3)+m+n=0,即b+6b+9-4b- 12+m+n=0,∴.b2+2b-3+m+n=0. m=-a2-2a+3,n=-2b2+2b-5, .b2+2b-3-a2-2a+3-2b2+2b-5=0, .a2+2a+b2-4b+5=0,.(a+1)2+(b-2)2=0, …a十1=0，b-2=0,解得a三二1，b=2, >根据非负性求出a、b的值 当b=2时，n=-2b2+2b-5=-2×4+2×2-5=-9. 11.:x1、x2是方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根， ..axi+bx1+c=0,ax3+bx2+c=0. ∴.aP+bQ+cR =a(xi+x)十b(x1十x)+c(x+x) =a.xi十bx1+cxi十a.x2十bx2十cx2 =x(ax十bx1+c)+x2(a.x2+bx2十c)=0. 12.(1)①③[解析]x2=1,移项，得x2一1=0. 因为a=1,b=0,c=-1,所以a-b+c=1-0+(-1)= 0,所以x2=1是黄金方程： (x-1)(x十2)=0，即x2+x-2=0.因为a=1,b=1, c=-2,所以a-b十c=1-1十(-2)=-2≠0， 所以(x一1)(x十2)=0不是黄金方程； x2-2x-3=0.因为a=1,b=-2,c=-3, 所以a-b十c=1-(-2)+(-3)=1+2-3=0,所以 x2一2x一3=0是黄金方程.综上所述，①③是黄金方程. 9◆