26.4实际问题与二次函数 第2课时教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦二次函数解决销售利润问题，以商场购物情景导入，承接二次函数顶点最值理论，搭建“生活情境—数学建模—求解检验”学习支架，为后续经济、几何最值应用题奠定基础。 亮点在于通过真实销售问题分层设问，如涨价降价分类讨论培养数学思维，结合自变量整数约束修正最值落实模型意识，特色作业创编问题提升数学眼光。助力学生掌握建模方法，为教师提供完整教学闭环和分层资源。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第2课时  一、教材分析 本节课是人教版九年级二次函数章节的实际应用课时，承接二次函数解析式、图象性质、顶点最值等理论知识，属于函数知识落地的核心载体，在整个初中数学体系中起到承上启下的作用.前面学生学习了二次函数纯代数、几何层面的最值计算，本节将数学模型对接商业销售定价问题，也是后续学习经济类、几何类最值应用题的基础，同时为高中函数建模学习铺垫思维. 教材教学逻辑层层递进：首先借助商场打折售卖的生活情景完成新课导入，抛出定价与利润的现实疑问；随后设置快餐店、商场商品两道阶梯式例题，由单一调价过渡到涨价、降价双向分类讨论，教会学生依托“总利润=单件利润×销量”搭建二次函数；接着依托抛物线顶点求解理论最优值，再结合自变量实际取值范围修正最值；最后搭配旅行社、工厂生产两道随堂练习巩固建模方法.整体遵循“生活情境——数学抽象建模——函数求解计算——回归实际检验”的完整闭环，让学生经历从具象生活问题抽象为数学模型的全过程，落实数学建模核心素养，体现数学来源于生活、服务于生活的编写理念.   二、学情分析 已有基础：九年级学生已经熟练掌握一次函数、一元二次方程相关知识，能够写出二次函数一般式、配方法化成顶点式，熟知开口方向与顶点最值的对应关系，具备基础的列式计算能力.同时学生日常拥有商场购物、商品打折的生活体验，能够理解涨价、降价带来销量、单件利润的变化规律，容易读懂题干中的销售数量变化条件，具备将文字条件转化为代数式的基础能力. 存在困难：一是很难自主提炼“总利润=单件利润×销售量”这个核心等量关系，容易混淆进价、售价、利润三者概念；二是涨价、降价两种情况需要分类讨论，学生容易遗漏其中一种情形；三是求出抛物线顶点数值后，忽略自变量为整数、售价大于进价等现实约束条件，直接套用顶点数值计算结果，脱离实际场景；四是文字信息繁杂时，梳理数量关系的建模能力薄弱. 认知特点：九年级学生抽象思维正在由理论型向经验型过渡，对生活化商业问题兴趣更高，但纯粹的代数计算枯燥易产生倦怠；具备一定的合作探究能力，适合通过例题分步拆解、小组讨论突破分类讨论难点；对于数学知识解决真实问题存在好奇心，可借助利润问题计算提升学习主动性.   三、教学目标 1.掌握销售问题等量关系，会建立二次函数模型，熟练利用顶点公式求解商品最大利润. 2.学会对涨价、降价分类列式求解，结合实际取值范围修正理论最值，突破多情形讨论难点. 3.经历“审题—建模—计算—检验”解题流程，提升文字信息转化为函数式的数学建模能力. 4.感受二次函数的实用价值，养成理性分析经济问题的思维，体会数学服务生活的本质意义.   四、教学重难点 重点：掌握销售问题等量关系，会建立二次函数模型，熟练利用顶点公式求解商品最大利润. 难点：学会对涨价、降价分类列式求解，结合实际取值范围修正理论最值，突破多情形讨论难点.   五、教学过程 · 情景导入 同学们平时去商场选购衣服时应该都遇到过这样的场景：导购员常会劝说大家多选购几件商品，消费达到一定金额就可以享受打折、满减或者降价优惠.从顾客的角度来说，单件衣服花费变少，买到就是划算；但站在服装店老板的视角，商品降价之后，卖出每件衣服赚到的单件利润会直接减少，老板的总收益一定会跟着变少亏损吗？ 今天我们就一起学习，如何借助二次函数解决实际销售中的利润最大化问题. 师生活动：教师结合商场购物实景图片提问，抛出降价是否必然造成老板总利润亏损的问题；学生结合生活经历思考、自由发言，产生认知疑惑. 教师顺势引出本节课用二次函数求解销售最大利润的学习主题. 设计意图：依托真实生活场景激趣，拉近数学与生活的距离，利用矛盾问题制造认知冲突，激发学生探究欲望，自然导入新课学习. · 探究新知 活动：探究利用二次函数解决商品利润最大问题 问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 师生活动：教师分层设问，依次带领学生分析涨价、降价两种情形，学生跟随列式、确定自变量范围并计算最值；师生对比两种方案利润，共同梳理归纳解题三步法，学生记录解题流程要点. 分析：公式：利润=售价进价(进价为定值) 总利润=每件利润×销售量 售价、销售量、每件利润和总利润都会随着价格调整而变化. 调整价格包括涨价和降价两种情况，下面我们先讨论涨价的情况. 设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化. 问题2：涨价x元后，每件商品的售价是多少？销售量会发生什么变化？利润是多少？ 分析：售价：(60+x)元. 销售量：每星期要少卖10x件，实际卖出：(30010x)件 每件利润：(60+x)(30010x)40(30010x)元. 建立函数关系式 y=(60+x)(30010x)40(30010x) 即 y=10x2+100x+6000 问题3：自变量 x 的取值范围如何确定？ 答：①涨价的金额不能是负数，所以 x≥0， ②销售量不能是负数，所以30010x≥0，即x≤30 因此自变量x的取值范围是 0≤x≤30，且x为整数. 问题4：涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 答：y=10x2+100x+6000 (0≤x≤30，x为整数) ∵10<0 ∴当x==5时，y最大值=10×52+100×5+6000 = 6250. 也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润为6250元. 问题5：参考涨价的求解过程，试求出降价时最大利润是多少？ 设每件降价 m 元，每星期多卖______件，实际卖出___________件，销售额为_______元，买进商品需付______________元． 答：20m；(300+20m)；(60m)(300+20m)；40(300+20m) 建立函数关系式 y=(60m)(300+20m)40(300+20m)， 即 y=20m2+100m+6 000. 问题6：自变量 m 的取值范围如何确定？ 答：①降价的金额不能是负数，所以 m≥0， ②单件利润不能是负数，所以20m≥0，即m≤20 因此自变量x的取值范围是 0≤m≤20，且m为整数. 问题7：降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 答：y=20m2+100m+6 000 (0≤m≤20，m为整数) ∵20<0，∴当m==2.5. 因为m为整数，所以当m=2或m=3时，y取得最大值. 当m=2或3时，y最大值=20×22+100×2+6000 = 6120. 也就是说，在降价的情况下，降价2元或3元，即定价58元或57元时，利润最大，最大利润为6120元. 问题8：比较涨价、降价及现在的销售状况，我们应该如何定价才能使利润最大？ 答：原价利润：(6040)×300=6000元 涨价情况下的最大利润是6250元. 降价情况下的最大利润是6120元. 6250>6120>6000 所以定价为65元时，利润最大，最大利润是6250元. 总结：求解最大利润问题的一般步骤： 1.建立利润与价格之间的函数关系式：总利润=单件利润×销售量(总利润=总售价总成本) 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围； 3.在自变量的取值范围内确定最大利润. 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 设计意图：分层拆解难点，让学生掌握分类构建二次函数的方法，结合实际限定自变量取值范围，落实二次函数最值应用；归纳通用步骤，固化解题模型，提升学生解决同类实际问题的能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道梯度例题，带领学生审题提炼数量关系，学生独立列式演算；师生共同订正解题过程，着重分析定义域对最值的约束、含参问题对称轴的限定；最后师生一起归纳解题实用策略. 例1 某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是多少元? 分析： 解：设每份A种快餐的利润降低x元，则A种快餐的销量变为(40+2x)份，由于A、B两种快餐每天销售总份数不变，因此B种快餐的销量应为(802x)份，每份B种快餐的利润也相应提高x元. 总利润y可表示为：y=(12x)(40+2x)+(8+x)(802x) 即 y==4x2+48x+1120 ∵4<0，∵当x==6时，y最大值=1264. 答：这两种快餐一天的总利润最多是1264元. 例2 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： (1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ (3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围. 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)，代入 ，解得 . ∴y＝500x+12 000； (2)由题意得，解得 3≤x≤12. 设利润为w元，根据题意得，单件利润为(x3)元，销售量为y件， w=(x3)y=(x3)(500x+12 000) 即 w=500(x13.5)2+55 125. ∵ -500<0，∴当x<13.5时，w随x的增大而增大. ∵3≤x≤12，∴当x=12时，w取最大值. w最大值=500×(1213.5)2+55 125=54 000. 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54 000元，售价为12元. (3)根据题意得，捐赠后单件利润为(x3m)元，销售量为y件， w=(x3m)(500x+12 000) 即 w=500x2+(13 500+500m)x36 00012 000m 所以对称轴为 x= =13.5+0.5m. ∵500＜0，∴当x≤13.5+0.5m 时，w随x的增大而增大. ∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大． ∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3. ∵1≤m≤6，∴3≤m≤6． 总结：利用二次函数解决利润最大问题的一般策略： (1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式． (2)讨论最大值时可借助顶点式 y=a(xh)2+k ，然后利用二次函数的性质确定最大值． (3)在求商品利润最大问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围，顶点求出的理论最值，不一定是定义域内的实际最值． 设计意图：由基础综合题进阶到含参数难题，分层巩固二次函数利润模型，训练学生结合实际自变量取值范围取舍最值的思维，完善解题方法体系，强化知识灵活运用能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元.旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元，当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营额？最大营业额是多少？ 解：设旅行团的人数是x人，此时旅行社可获得的营业额是y元， 根据题意得 y=x[210030 (x20)]=30x2+2700x ∵30<0，∴当x==45时，y最大值=30×452+2700×45=60750 答：当旅行团的人数为45人时，旅行社可获得最大营业额，最大营业额是60750元. 2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大?最大利润是多少? 解：设该商品的产量为x件，总利润为y元， 根据题意得 y=(50x)x(500+10x)=x2+40x500 ∵<0 ，∴当x==160时，y最大值=×1602+40×160500=2700 答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2700元. 注意：计算利润时不要漏掉 500 元固定成本. 师生活动：学生自主完成两道练习题，独立建立函数解析式并求解最值；教师巡视查看作答情况，针对共性错误进行讲评订正，指名学生讲解解题思路，梳理营业额、生产成本类问题的列式要点. 设计意图：依托教材习题巩固新知，拓宽利润模型的应用场景，检验学生对二次函数最值解法的掌握程度，查漏补缺，夯实本节课的解题方法，提升学生独立解题的实操能力. 【限时训练】 1.某件产品的成本为元，试销阶段的销售利润元与售价元满足，那么要想获利最多，售价应定为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B  2.某超市销售一种商品，发现一周利润元与销售单价元之间的函数关系满足，由于某种原因，销售单价元只能在的范围内，那么一周可获得的最大利润是(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A  3.某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有个床位的旅馆．若每个床位每天收费元，则床位可全部租出；若每个床位每天的收费提高元，则相应地减少了个床位的租出．如果每个床位每天以元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每个床位每天最合适的收费是(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C  【解析】设每个床位每天的收费提高个元，每天的租金为元．根据题意，得 为整数，当或时，有最大值． 为使租出的床位少且租金高， 每个床位每天最合适的收费是元． 4.生产季节性产品的工厂，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的工厂，一年中获得利润与月份之间的函数关系式是，那么该工厂一年中应停产的月份是(    ) A. 月，月 B. 月，月，月 C. 月，月 D. 月，月，月，月 【答案】D  【解析】解：令，则， ， ， ，， ， 抛物线开口向下， 和时，， 该企业一年中应停产的月份是月，月，月，月． 故选D． 5.某商场销售，两种商品，每件进价均为元．调查发现：如果售出种商品件，种商品件，那么销售总额为元；如果售出种商品件，种商品件，那么销售总额为元． 求，两种商品的销售单价． 经市场调研，种商品按原价销售，可售出件，原销售单价每降价元，销售量可增加件；种商品的销售单价不变，种商品销售单价不低于种商品的销售单价，设种商品降价元．如果，两种商品销售量相同，那么当取何值时，商场销售，两种商品可获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元． 由题意，得解得 ∴ A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元  (2)设总利润为W元．由题意，得 W＝(30－m－20)(40＋10m)＋(24－20)(40＋10m)＝－10(m－5)2＋810． ∵A种商品销售单价不低于B种商品的销售单价， ∴30－m≥24，解得m≤6． ∴当m＝5时，W取得最大值，此时W＝810． ∴当m＝5时，商场销售A，B两种商品可获得的总利润最大，最大总利润是810元 . 师生活动：学生限时完成选择、解答两类习题，自主书写解题步骤；教师巡视批改，挑选学生展示作答过程，针对定义域限制、多商品综合列式等易错点精讲纠错，带领学生复盘解题思路. 设计意图：分层习题全面检测课堂所学，覆盖基础判定、区间最值、复合型利润计算，强化学生结合实际约束取舍最值的习惯，查漏补缺，稳固二次函数解决经济问题的解题框架. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.利用二次函数与一元二次方程的关系解决销售问题的步骤是什么？ 3.销售问题中的核心公式是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：双情形利润最优方案大比拼 任务：请自主创编一道贴合现实生活的商品调价利润问题，题目同时包含涨价、降价两种不同销量变化规则，情境符合商家销售实际情况，完整规范书写全部演算过程，并完成后续思考探究. 探究：1.实际问题里，为什么必须确定自变量的取值范围？ 2.分别结合涨价、降价情境，分析说明：什么情况下利润最值在抛物线顶点处取得？什么情况下利润最值在自变量取值范围端点处取得？ 学科网（北京）股份有限公司 $