第二十五章 一元二次方程 单元检测 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 第二十五章一元二次方程单元检测卷，通过选择、填空、解答题覆盖基础概念到实际应用，融入新能源汽车、芯片订单等时代情境，培养数学抽象、运算能力与模型意识，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|15|定义、解法、根的判别式等|如第1题考一元二次方程定义，第10题结合超市营业额增长率，体现数学眼光| |填空|4|增长率、面积问题等|第16题图书馆进馆人次增长率，第17题矩形地毯面积计算，培养运算能力| |解答|8|方程求解、实际应用等|26题新能源汽车销售利润，27题芯片订单增长问题，突出模型意识与应用能力|

第二十五章单元检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A．3x（x﹣4）=0 B．x2+y﹣3=0 C．+x=2 D．x3﹣3x+8=0 2．把方程化成一般形式后，的值是（    ） A．8 B．9 C． D． 3．把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 4．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 5．已知是关于的方程的根，则的值是（    ） A． B．0 C．1或0 D．或0 6．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值是（    ） A． B． C． D．或 7．方程4x2＝5x﹣1的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值是（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 9．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 10．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（   ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 12．某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 13．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 14．随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 15．设、是两个整数，若定义一种运算“⊙”，⊙，则方程⊙的实数根是　　 A．， B．， C．， D．， 二、填空题 16．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是________． 17．有一间长20m，宽15m的矩形会议室，在它的中间铺一块矩形地毯（如图所示），地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长（较长的一条边）为____m． 18．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 19．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题 20．用适当的方法解方程： (1) 　           (2) - 2x＝5 (3) x 2 -4x+2＝0         (4) 21．（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 23．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 24．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 25．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 26．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 27．综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十五章单元检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D C B B A D 题号 11 12 13 14 15 答案 B B B B A 1．A 【详解】A选项是一元二次方程，去括号后为3x2－12x=0； B选项不是一元二次方程，因为方程中含有两个未知数； C选项不是一元二次方程，因为不是整式方程； D选项不是一元二次方程，因为未知数的最高次数为3. 故选A. 点睛：一元二次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）. 注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式. 2．D 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一般式是解题的关键．根据运算法则将方程化为一般式得出的值即可得到答案． 【详解】解：化为一般形式为：， 故． 故选D． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 4．C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 5．D 【分析】把x=1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值． 【详解】解：∵x=1是关于x的一元二次方程的根， ∴， 解得：m=0或m=-1， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．此题实际上是解关于系数m的方程． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由可知，然后根据根与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， 经检验时，，符合题意； 故的值为 故选：C． 7．B 【分析】原方程可整理得：4x2﹣5x+1＝0，根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1x2和x1+x2的值，x1x2﹣x1﹣x2整理得：x1x2﹣（x1+x2），把x1x2和x1+x2的值代入后，计算求值即可． 【详解】原方程可整理得： 4x2﹣5x+1＝0， 则x1x2＝，x1+x2＝， x1x2﹣x1﹣x2 ＝x1x2﹣（x1+x2） ＝﹣ ＝﹣1， 故选B． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的求解. 8．B 【分析】需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 9．A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 10．D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 11．B 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 12．B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 13．B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 14．B 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 15．A 【分析】根据题意列出关于的方程，利用因式分解法求出的值即可． 【详解】解：⊙，⊙， ⊙可化为， 即， 因式分解得，， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率是x， 根据题意得：， 解得，（舍）， 答：进馆人次的月平均增长率为． 故答案为：． 17．15 【详解】试题分析：等量关系为：地毯的长×地毯的宽=会议室面积的一半，把相关数值代入求得合适的解即可． 设留空宽度为x米． （20-2x）（15-2x）=×20×15， 解得x1=15（不合题意，舍去），x2=2.5． ∴x=2.5． 20-2.5×2=15m， 故答案为：15 考点：一元二次方程的应用． 18．24 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 19．或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 20．（1）x1=6,x2=0；（2）x1=1+,x2=1−；（3）x1=2+,x2=2−；（4）x1=3,x2=. 【分析】（1）可以变形为：（x-3）2=9，直接开方求解． （2）两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解； （3）常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解； （4）移项，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】(1)(x−3)2−9=0；    (x−3)2=9， ∴x−3=±3， ∴x1=6,x2=0；              (2)x2−2x=5； x2−2x+1=5+1， (x−1)2=6， ∴x−1=±， ∴x1=1+,x2=1−；     (3)x2−4x+2=0； x2−4x=−2， x2−4x+4=−2+4， (x−2)2=2， ∴x−2=±， ∴x1=2+,x2=2−；     (4)2(x−3)=3x(x−3) 2(x−3)−3x(x−3)=0， (x−3)(2−3x)=0， ∴x−3=0或2−3x=0， ∴x1=3,x2=. 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则. 21．（），；（） 【分析】（）利用公式法解答即可； （）由一元二次方程根的定义可得，再化简代数式，最后把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴， ∴， ∴，； （）∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 22．(1) 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）略； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 23．(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 24．(1) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则； （2）略． 25．(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 26．(1) (2)万元 【分析】（1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 27．(1)长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 (2)为售空库存，下调后每套售价为元 (3)能获利元，每套应降价元 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $