12.3 分式的加减 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 八年级上册

**基本信息** 冀教版八年级数学上册“分式的加减”同步练，通过A/B/C三层设计，覆盖同分母/异分母分式加减、混合运算及化简求值，构建从基础法则到拓展应用的巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|同分母加减、最简公分母确定|选择填空聚焦法则应用，解答题强化符号运算（如分子加括号）| |B组能力提升|混合运算、化简求值、实际应用|含工作效率情境题，结合整体代换（如a+b=3求分式值），培养推理能力| |C组拓展探究|裂项法、分离整式法|通过阅读理解题（如裂项求和），发展创新意识与数学抽象|

冀教版八年级数学（上） 第十二章 分式和分式方程 12.3 分式的加减 12.3 分式的加减 课时作业 冀教版·八年级数学（上册） 第十二章 分式和分式方程 一、课时学习目标 1. 掌握同分母分式的加减法则，会进行同分母分式的加减运算。 2. 理解异分母分式加减的“先通分、后加减”的算理，会确定最简公分母并正确通分。 3. 会进行分式的加减乘除混合运算，能把结果化为最简分式或整式。 4. 会进行分式的化简求值，注意所取字母的值必须使原式中的每个分式都有意义。 二、知识梳理 知识点 1 同分母分式的加减法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 + = ， - = 。 易错提醒：当分子是多项式时，减去它相当于减去一个整体，必须先添括号再去括号。例如 - = = = -1，如果漏掉括号就会算错。 知识点 2 异分母分式的加减法则 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减，即 + = + = 。 （上图用图形说明了 + = 的通分过程，分式的通分与它完全类似） 知识点 3 分式加减运算的一般步骤 第一步：分母能因式分解的先分解； 第二步：确定最简公分母，把各分式通分； 第三步：按同分母分式的法则，分母不变、分子相加减（分子是多项式时要加括号）； 第四步：分子去括号、合并同类项； 第五步：结果能约分的要约分，化为最简分式或整式。 知识点 4 混合运算的顺序 分式的混合运算与有理数的混合运算顺序一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号里面的。 常用技巧：①整式与分式相加减时，把整式看成分母为 1 的分式；②遇到 a - b 与 b - a 这样的分母，利用 b - a = -(a - b) 统一分母后再通分；③化简求值时，要先化简到最简，再选取使每个分式都有意义的值代入。 三、典例精析 例 1 计算：（1） + ；（2） - 。 【解答】（1）原式 = = = ； （2）原式 = = 1（其中 x ≠ 2）。 【方法归纳】同分母相加减，分母不变、分子加减，最后别忘了约分。 例 2 计算： + 。 【解答】因为 b - a = -(a - b)，所以 原式 = - = = 1。 【方法归纳】分母互为相反数时，先把其中一个分母提出负号统一分母，这是最常用的化简手段。 例 3 计算： - 。 【解答】最简公分母为 (x + 1)(x - 1)， 原式 = - = = 。 【方法归纳】通分后分子相减，一定要给被减的多项式加上括号，再去括号变号。 例 4 计算： - 。 【解答】因为 - 4 = (x + 2)(x - 2)，最简公分母为 (x + 2)(x - 2)， 原式 = - = = 。 【方法归纳】分母是多项式时先因式分解，往往其中一个分母就是最简公分母的一部分，可以大大减少计算量。 例 5 计算：x - 1 + 。 【解答】把 x - 1 看作分母为 1 的整式， 原式 = + = = 。 【方法归纳】整式与分式相加减，把整式看作分母为 1 的分式，再通分。 例 6 先化简，再求值：(1 - ) ÷ ，其中 x = 3。 【解答】原式 = ÷ = × = x - 1。 当 x = 3 时，原式 = 3 - 1 = 2。 【方法归纳】混合运算先算括号内的加减，再算括号外的乘除；求值前要检查所给的值是否使原式有意义（本题要求 x ≠ 0，x ≠ ±1，x = 3 符合）。 易错辨析：加减运算中的四类常见错误 错误 1 分子相减时不加括号。如把 - 算成 。 诊断：减去一个多项式要先加括号再去括号，正确的是 = = -1。 错误 2 异分母直接“分子加分子、分母加分母”。如把 + 算成 。 诊断：分式相加必须先通分，正确结果是 。 错误 3 通分时只乘分母、忘记乘分子。 诊断：依据分式的基本性质，分子与分母必须同时乘同一个整式。 错误 4 化简求值时代入的值使分式无意义。 诊断：所取的值必须使原式中的每一个分母都不为零，例如化简结果为 x + 1 时，也不能取使原式分母为零的 x。 小结：加减运算做完后同样要自查——通分了吗？括号加了吗？结果约到最简了吗？ 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 计算 + 的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 计算 - 的结果是（ ） A. a B. 1 C. a - 1 D. 3. 计算 + 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 分式 与 的最简公分母是（ ） A. x + 2 B. (x + 2)(x - 2) C. (x - 2) D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. + = B. + = C. - = D. + = x 6. 计算 + 的结果是（ ） A. B. 0 C. D. 1 （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. - = ＿＿＿＿。 8. + = ＿＿＿＿。 9. - = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 10. - = ＿＿＿＿＿＿。 11. 已知 a + b = 3，ab = 2，则 + = ＿＿＿＿。 12. 化简 + 的结果是 ＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 计算： （1） + ；（2） - ； （3） + ；（4） + 。 14. 计算： （1） + ；（2） - ； （3） - ；（4）x + 2 - 。 15. 先化简，再求值： （1）(1 + ) ÷ ，其中 x = 4； （2） - a - 1，其中 a = -2。 B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 化简 (1 + ) ÷ 的结果是（ ） A. x + 1 B. x - 1 C. D. 17. 若 - = 3，则 的值是（ ） A. 3 B. -3 C. D. 18. 下列各式中，化简结果为整式的是（ ） A. + B. - C. - D. + （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 化简： - × = ＿＿＿＿。 20. 已知 x + = 4，则 + = ＿＿＿＿。 21. 若 + = 对任意使各式有意义的 x 都成立，则 A = ＿＿＿＿，B = ＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 先化简，再求值：(a - ) ÷ ，其中 a = 2。 23. 甲、乙两名工人加工同一批零件。甲单独加工完这批零件需要 x 小时，乙单独加工完需要 y 小时。 （1）用含 x、y 的式子表示甲、乙的工作效率； （2）求甲、乙两人合作时每小时完成这批零件的几分之几（结果化为最简）； （3）当 x = 6，y = 3 时，求（2）中的值。 C 组 拓展探究 24. 阅读理解：利用 = - 可以把一个分式拆成两个分式的差，这种方法叫做“裂项”。根据这一方法解答： （1）填空： = ＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）计算： + + （结果化为最简分式）； （3）当 x = 1 时，求（2）中式子的值。 25. 探究与思考：阅读下面的变形过程： = = + = 1 + 。 （1）仿照上面的过程，把 化成“整数 + 分式”的形式； （2）当 x 取哪些整数时，分式 的值也是整数？请写出所有的 x； （3）当 x 取哪些整数时，分式 的值是整数？ 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. A。解析：同分母分式相加，分母不变，分子相加， = 。 2. B。解析：原式 = = 1（a ≠ 1）。 3. C。解析：最简公分母为 xy，原式 = + = 。注意分式相加不能分子加分子、分母加分母。 4. B。解析： - 4 = (x + 2)(x - 2)，它已经包含了因式 x + 2，所以最简公分母是 (x + 2)(x - 2)。 5. B。解析：A 错，应通分为 ；C 错， - = ；D 错， + = = 1。故选 B。 6. B。解析：因为 1 - x = -(x - 1)，所以原式 = - = 0。 7. 。解析：原式 = = 。 8. 1。解析：原式 = = 1（a + b ≠ 0）。 9. 。解析：原式 = - = 。 10. x + 1。解析：原式 = = = x + 1（x ≠ 1）。 11. 。解析： + = = 。这是“整体代换”的典型应用。 12. 。解析：原式 = + = = 。 13. （1）3；（2）1；（3）；（4）1。 解析：（1） = = 3；（2） = 1；（3）最简公分母 4a，原式 = + = ；（4）因为 y - x = -(x - y)，原式 = - = = 1。 14. （1）；（2）（也可写成 ）；（3）；（4）。 解析：（1）原式 = + = = ； （2）原式 = - = ； （3）原式 = - = = ； （4）原式 = - = = 。 15. （1）化简结果为 x + 1；当 x = 4 时，原式 = 5。 过程：原式 = ÷ = × = x + 1。 （2）化简结果为 ；当 a = -2 时，原式 = = 。 过程：原式 = - = = 。 B 组 能力提升 16. A。解析：原式 = ÷ = × = x + 1。 17. B。解析： - = = 3，而 与它互为相反数，所以等于 -3。 18. B。解析： - = = x + 1 是整式；A、C 的结果分母中仍含字母；D 的结果为 ，仍是分式。 19. 1。解析：先算乘法： × = ；再算减法： - = = 1。 20. 14。解析：把 x + = 4 两边平方，得 + 2 + = 16，所以 + = 14。 21. A = 1，B = -1。解析：左边通分得 ，与右边比较分子：(A + B)x + (2A - 2B) = 4，所以 A + B = 0 且 2A - 2B = 4，解得 A = 1，B = -1。 22. 化简结果为 ；当 a = 2 时，原式 = 。 过程：a - = = = ； 原式 = ÷ = × = 。 解析：括号内先通分（整式看作分母为 1 的分式），再把除法化为乘法，最后约分。代入前要检查 a = 2 使 a ≠ 0 且 a ≠ ±1，符合要求。 23. （1）甲的工作效率是 （即每小时完成这批零件的 ），乙的工作效率是 ； （2）合作每小时完成 + = = ； （3）当 x = 6，y = 3 时， = = = ，即两人合作每小时完成这批零件的一半。 C 组 拓展探究 24. （1） = - ； （2）原式 = ( - ) + ( - ) + ( - ) = - = ； （3）当 x = 1 时， = = 。 解析：裂项后中间的项两两抵消，只剩下首、尾两项，这是分式求和中最常用的技巧。第（2）问的结果也可以先通分再化简，但计算量要大得多。 25. （1） = = 1 + ； （2）因为 = 1 + ，要使它为整数，只需 为整数，即 x + 1 是 2 的约数：x + 1 = 1、-1、2、-2，解得 x = 0、-2、1、-3； （3） = = 2 + ，要使它为整数，需 x - 1 是 3 的约数：x - 1 = 1、-1、3、-3，解得 x = 2、0、4、-2。 解析：这种把分子“凑出分母”的方法叫做分离整式法，它把“分式取整数”的问题转化为“约数问题”，是常见的中考拓展题型。 六、课时小结 1. 同分母：分母不变、分子加减，分子是多项式时必须加括号。 2. 异分母：先因式分解 → 定最简公分母 → 通分 → 加减 → 约分为最简。 3. 混合运算：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内；整式看作分母为 1 的分式。 4. 化简求值：一定先化简再代入，且所取的值必须使原式中每个分式都有意义。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $