12.2 分式的乘除 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级分式的乘除同步练，通过A、B、C三层设计，实现从基础运算到拓展探究的梯度进阶，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|分式乘除法则、基础运算|选择填空夯实单一知识点，如直接应用乘除法则计算| |B组能力提升|综合运算、实际应用|化简求值与工程问题结合，如先化简再代入求值| |C组拓展探究|规律探究、思想方法|阅读理解与连锁约分培养创新意识，如探究分式乘方规律|

冀教版八年级数学（上） 第十二章 分式和分式方程 12.2 分式的乘除 12.2 分式的乘除 课时作业 冀教版·八年级数学（上册） 第十二章 分式和分式方程 一、课时学习目标 1. 理解并掌握分式的乘法、除法法则，会进行简单的分式乘除运算。 2. 掌握分式的乘方法则，会进行分式的乘方运算，注意符号的确定。 3. 会进行分式的乘、除、乘方混合运算，能把结果化为最简分式或整式。 4. 能用分式的乘除运算解决简单的实际问题，进一步体会类比与转化的思想。 二、知识梳理 知识点 1 分式的乘法与除法法则 （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘（即“除以一个分式，等于乘这个分式的倒数”）。 类比记忆：分式的乘除法则与分数的乘除法则完全一致，学习时可以“把字母当数看”。区别只在于运算过程中必须考虑分母不能为零。 知识点 2 分式的乘方法则 分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，即 = （n 为正整数）。 符号的确定：当分式前面带负号时，指数为偶数结果为正，指数为奇数结果为负。例如 = ， = 。 易错提醒：①乘方时系数也要乘方，如 = ，不要漏掉 = -8 与 = 27；②分子、分母是多项式时要添括号再乘方。 知识点 3 分式乘除运算的一般步骤 第一步：把除法统一化为乘法（颠倒除式的分子与分母）； 第二步：分子、分母中能因式分解的先分解； 第三步：把分子与分母中的公因式约去； 第四步：把结果化为最简分式或整式。 注意：①运算过程中一般不必先把分子分母乘开，否则会给约分带来麻烦；②遇到整式参与运算时，把它看作分母为 1 的分式；③形如 a - b 与 b - a 的因式互为相反数，可提出“-”号后约分。 知识点 4 混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除；同级运算按从左到右的顺序进行；有括号的先算括号里面的。 三、典例精析 例 1 计算： × 。 【解答】原式 = = = 。 【方法归纳】单项式相乘时，先把系数与系数、同底数幂与同底数幂分别处理，最后约去公因式。 例 2 计算： × 。 【解答】原式 = × = 。 【方法归纳】分子、分母是多项式时，先因式分解再约分，这是分式乘除的关键一步。 例 3 计算： ÷ 。 【解答】原式 = × = × = 。 【方法归纳】除法先“颠倒相乘”，再分解因式、约分；千万不要一边约分一边保留除号。 例 4 计算： （1）；（2）；（3） × 。 【解答】（1）原式 = = ； （2）原式 = ； （3）原式 = × = 。 【方法归纳】先算乘方再算乘除；乘方时系数、字母、符号三者都不能漏。 例 5 计算： ÷ × 。 【解答】原式 = × × = × = 1。 【方法归纳】同级运算从左到右依次进行；本题中若先算后面的乘法就会出错。 例 6 如图，一个长方体容器的长、宽、高分别是 、、（单位：dm）。 （1）求这个容器的容积；（2）当 a = 2，b = 3 时，求容积的值。 【解答】（1）容积 = × × = 6 × = （）； （2）当 a = 2，b = 3 时， = = 9（）。 易错辨析：乘除运算中的四类常见错误 错误 1 约分时“约项不约式”。如把 约成 。 诊断：约分约去的必须是分子与分母的公因式，a + b 与 a + c 都是和，其中的 a 不是因式，不能约去。 错误 2 乘方时漏掉系数或符号。如把 写成 。 诊断：分子、分母要整体乘方， = -8， = 27，正确结果是 。 错误 3 除法没有“颠倒”就直接约分。 诊断：必须先化除为乘（把除式的分子分母颠倒），再因式分解、约分，顺序不能颠倒。 错误 4 同级运算不按从左到右的顺序。如把 a ÷ b × c 算成 a ÷ (bc)。 诊断：乘除是同级运算，必须从左到右依次计算，除非有括号。 小结：乘除运算做完后，用三句话自查——分解了吗？约完了吗？符号对了吗？ 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 计算 × 的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 计算 ÷ 的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 计算 × 的结果是（ ） A. x - 1 B. x + 1 C. D. - 1 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. × = B. ÷ = C. = D. × b = 6. 计算 ÷ 的结果是（ ） A. 1 B. -1 C. x - 2 D. （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. × = ＿＿＿＿＿＿。 8. ÷ = ＿＿＿＿＿＿。 9. = ＿＿＿＿＿＿。 10. × = ＿＿＿＿＿＿。 11. 若 = 3，则 = ＿＿＿＿， = ＿＿＿＿。 12. 一个长方形的面积为 ，一边长为 ，则它的另一边长为 ＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 计算： （1） × ；（2） × ； （3） × ；（4） × 。 14. 计算： （1） ÷ ；（2） ÷ ； （3） ÷ ；（4） ÷ 。 15. 计算（混合运算）： （1） × ÷ ；（2） ÷ × 。 B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 化简 ÷ 的结果是（ ） A. x B. x - 2 C. x + 2 D. 17. 若 a、b 均不为零，则 × 的结果是（ ） A. B. C. D. 18. 已知 x ≠ y 且 x、y 均不为零，若把 x、y 都扩大为原来的 2 倍，则 的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的 2 倍 C. 扩大为原来的 4 倍 D. 缩小为原来的 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. × = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 20. 计算： × = ＿＿＿＿。 21. 若 = ，则 ÷ = ＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 先化简，再求值： ÷ ，其中 x = 3。 23. 某工程队修一条长为 米的公路，每天修 米。 （1）求修完这条公路需要多少天（用含 a、b 的式子表示，并化为最简）； （2）当 a = 5，b = 2 时，求需要的天数； （3）若每天的工作量提高到原来的 2 倍，所需天数变为原来的几分之几？ C 组 拓展探究 24. 阅读理解：根据分式的乘方法则可以推出一个有用的结论： × = 1（a、b 均不为零）。 （1）请用分式的乘法法则说明上面结论成立的理由； （2）利用这个结论计算： × ； （3）计算： × 。 25. 探究与思考：观察下面的变形： 1 - = = × （1）仿照上面的方法，把 1 - 写成两个分数相乘的形式； （2）猜想：1 - = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（n 为大于 1 的整数）； （3）计算：(1 - )(1 - )(1 - ) … (1 - )。 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. A。解析：原式 = = = 。 2. B。解析：除以一个分式等于乘它的倒数，原式 = × = 。 3. A。解析： = -8， = ，所以结果为 。注意指数是奇数，结果为负，且分母的指数要相乘。 4. B。解析：原式 = × = x + 1。 5. A。解析：B 应为 ；C 应为 ；D 中 × b = = a。只有 A 正确。 6. B。解析：原式 = × = × = -1。 7. 。解析：原式 = = 。 8. 。解析：原式 = × = 。 9. 。解析： = 9， = 4，负号平方后为正。 10. a - b。解析：原式 = × = a - b。 11. 9；27。解析： = = 9； = = = 27。 12. 2ab。解析：另一边长 = 面积 ÷ 一边长 = ÷ = × = 2ab。 13. （1）；（2）；（3）；（4）1。 解析：（1） = = ；（2） = ；（3）约去公因式 (a - b)；（4） × = 1。 14. （1）；（2）1；（3）；（4）x。 解析：（1） × = = ； （2） × = 1； （3） = ，再乘 ，得 = ； （4） × = × = x。 15. （1）原式 = × × = 1； （2）原式 = × × = 。 解析：混合运算要严格按从左到右的顺序进行，先把每一步的除法都化成乘法，再统一因式分解、约分。 B 组 能力提升 16. A。解析：原式 = × = × = x。 17. B。解析： = ， = ，两式相乘得 = 。 18. B。解析：把 x、y 都换成 2x、2y，得 = = 2 × ，所以值扩大为原来的 2 倍。 19. -(x + y)。解析：原式 = × = -(x + y)。这里用到 y - x = -(x - y)。 20. 。解析：原式 = × × = 1 × = 。 21. 。解析：原式 = ÷ = = 。 22. 化简：原式 = × = x；当 x = 3 时，原式 = 3。 解析：“先化简，再求值”一定要先把式子化到最简再代入，直接代入会使计算量大大增加。注意 x = 3 满足 x ≠ 0、x ≠ ±2，代入是合理的。 23. （1）天数 = 总长 ÷ 每天修的长度 = ÷ = × = 4a（天）； （2）当 a = 5 时，4a = 20（天）；（3）每天工作量变为原来的 2 倍，即除数扩大为原来的 2 倍，所需天数变为原来的 。 C 组 拓展探究 24. （1）因为 = ， = ，两式相乘得 = 1； （2）由（1）的结论直接得 × = 1； （3）原式 = × × 。因为 2025 是奇数， = -，所以前两个因式的积为 -1，故原式 = -1 × = 。 解析：处理这类高次幂问题的通法是“凑成相同指数、先配对得 1”，再单独处理多出来的那一个因式与符号。 25. （1）1 - = = × ； （2）1 - = ，也可以写成 × ； （3）原式 = ( × )( × )( × ) … ( × ) = ( × × × … × ) × ( × × × … × ) = × = 。 解析：先用平方差公式把每个因式拆成两个分数的积，再把它们重新分成两组，每组中前一个分数的分母与后一个分数的分子相互约去（“连锁约分”），最后只剩下首尾两项。 六、课时小结 1. 两条法则：乘法“分子乘分子、分母乘分母”；除法“颠倒相乘”。 2. 乘方法则：分子分母分别乘方，系数与符号都要参与乘方，奇负偶正。 3. 四步流程：化除为乘 → 因式分解 → 约分 → 结果最简。 4. 易错点：①同级运算必须从左到右；②整式看作分母为 1 的分式；③a - b 与 b - a 互为相反数，约分时要先提负号。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $