1.3 绝对值与相反数同步练2026-2027学年冀教版数学七年级上册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C三层设计，覆盖相反数、绝对值的定义、运算及综合应用，梯度合理，助力知识从基础巩固到拓展探究，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|相反数定义、绝对值几何意义、简单符号化简|以选择、填空为主，直接对应课时目标，如求相反数、化简符号，夯实基础| |B组能力提升|绝对值非负性、含条件的绝对值求解|结合数轴情境与实际问题，如检修行程的绝对值应用，提升运算与推理能力| |C组拓展探究|绝对值几何意义拓展（|x-a|表示距离）、非负性综合应用|通过阅读理解与探究题，如数轴上距离问题，发展创新意识与模型观念|

冀教版七年级数学（上） 第一章 有理数 1.3 绝对值与相反数 1.3 绝对值与相反数 课时作业 冀教版·七年级数学（上册） 第一章 有理数 一、课时学习目标 1. 理解相反数的意义，会求一个数的相反数，会化简含有多重符号的数。 2. 借助数轴理解绝对值的意义，会求一个有理数的绝对值。 3. 掌握绝对值的代数意义，理解绝对值的非负性，会解简单的形如 |x| = a 的问题。 4. 在数与形的相互转化中，进一步体会数形结合与分类讨论的数学思想。 二、知识梳理 知识点 1 相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如 5 与 -5 互为相反数， 与 互为相反数。 （2）特例：0 的相反数是 0。 （3）表示：一般地，数 a 的相反数是 -a。这里的 a 可以是正数、负数或 0。 （4）几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。 （如图，-2.5 与 2.5 互为相反数，它们到原点的距离都是 2.5 个单位长度） 易错提醒：“互为相反数”是指两个数之间的关系，不能说“-5 是相反数”，只能说“-5 是 5 的相反数”或“5 与 -5 互为相反数”。另外，-a 不一定是负数：当 a = -3 时，-a = 3。 知识点 2 多重符号的化简 （1）-(+5) = -5，-(-5) = 5，+(-5) = -5，+(+5) = 5。 （2）化简规律：数字前面负号的个数是偶数时，结果为正；负号的个数是奇数时，结果为负；“+”号可以直接去掉。 例如：-[-(-3)] 中有 3 个负号，个数为奇数，所以 -[-(-3)] = -3。 知识点 3 绝对值 （1）几何意义：在数轴上，表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 （如图，|-3| = 3，|3| = 3，因为它们到原点的距离都是 3 个单位长度） （2）代数意义： ① 正数的绝对值是它本身，如 |7| = 7，|| = ； ② 0 的绝对值是 0，即 |0| = 0； ③ 负数的绝对值是它的相反数，如 |-7| = 7，|| = 。 （3）非负性：任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 理解要点：绝对值表示的是距离，距离没有负的，所以绝对值不可能是负数；求一个数的绝对值，实质就是“去掉它的符号”。 知识点 4 绝对值与相反数的常用结论 （1）互为相反数的两个数，绝对值相等，即 |-a| = |a|。 （2）若 |x| = a（a > 0），则 x = a 或 x = -a，即绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数。 （3）若 |x| = 0，则 x = 0；绝对值最小的有理数是 0。 （4）若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数都等于 0。例如若 |a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0。 三、典例精析 例 1 写出下列各数的相反数：6，-2.5，0，，。 【思路点拨】求一个数的相反数，只需改变它的符号，数值部分不变。 【解答】6 的相反数是 -6；-2.5 的相反数是 2.5；0 的相反数是 0； 的相反数是 ； 的相反数是 。 例 2 化简下列各数：（1）-(-8)；（2）-(+2.4)；（3）+[-()]；（4）-{-[-(-6)]}。 【解答】（1）-(-8) = 8（2 个负号，偶数个，结果为正）；（2）-(+2.4) = -2.4（1 个负号）； （3）+[-()] = （共 2 个负号）；（4）-{-[-(-6)]} = 6（共 4 个负号，偶数个）。 【方法归纳】只需数清楚负号的个数：奇数个取负，偶数个取正，“+”号一律去掉。 例 3 求下列各数的绝对值：-9，，0，-0.75，。 【解答】|-9| = 9；|| = ；|0| = 0；|-0.75| = 0.75；|| = 。 【方法归纳】求绝对值先判断符号：正数与 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（去掉负号）。 例 4 计算：（1）|-6| + |4|；（2）|-3| × ||；（3）-|-5|；（4）|| ÷ |-3|。 【解答】（1）|-6| + |4| = 6 + 4 = 10；（2）|-3| × || = 3 × = 2； （3）-|-5| = -5（先求 |-5| = 5，再取相反数）；（4）|| ÷ |-3| = ÷ 3 = 。 【方法归纳】含绝对值的计算要先化简绝对值，再计算；特别注意 -|-5| 与 |-(-5)| 的区别，前者等于 -5，后者等于 5。 例 5 已知 |x| = 4，|y| = 7，且 x、y 都是负数，求 x、y 的值。 【解答】因为 |x| = 4，所以 x = 4 或 x = -4；又因为 x 是负数，所以 x = -4。同理，由 |y| = 7 得 y = 7 或 y = -7，因为 y 是负数，所以 y = -7。 【方法归纳】由绝对值求原数时先写出两个可能的结果，再根据题目中的附加条件（如“是负数”“在原点左边”）取舍。 易错辨析：四种常见错误 错误 1 认为“-a 一定是负数”。 诊断：字母 a 可以表示任意有理数。当 a = -5 时，-a = 5 是正数；当 a = 0 时，-a = 0。正确的说法是：-a 是 a 的相反数，它的正负由 a 决定。 错误 2 把 -|-6| 算成 6。 诊断：要先算绝对值，再取相反数。|-6| = 6，所以 -|-6| = -6。类似地 -(-6) = 6，两者一定要区分开。 错误 3 由 |x| = 7 只写出 x = 7。 诊断：绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，所以 x = 7 或 x = -7。除非题目另有条件（如“x 是负数”“x 在原点右边”），否则不能漏解。 错误 4 说“5 是相反数”。 诊断：相反数是两个数之间的关系，必须说“5 与 -5 互为相反数”或“-5 是 5 的相反数”，不能单独说某个数“是相反数”。 小结：涉及绝对值与相反数的题目，做完后一定要回头检查三件事——符号是否正确、是否漏解、运算顺序是否弄反。 例 6 已知 a、b 互为相反数，c 的绝对值是 3，且 c 是负数。 （1）求 a + b 的值；（2）求 c 的值；（3）求 |a + b| + |c| 的值。 【解答】（1）互为相反数的两个数相加得 0，所以 a + b = 0；（2）因为 |c| = 3 且 c < 0，所以 c = -3；（3）|a + b| + |c| = |0| + |-3| = 0 + 3 = 3。 【方法归纳】这类题的关键是把文字条件逐条“翻译”成数学式子：“互为相反数”→ 和为 0；“绝对值是 3”→ 等于 3 或 -3；再结合附加条件确定唯一答案。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. -3 的相反数是（ ） A. 3 B. -3 C. D. 2. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. -(-2) 与 2 B. -3 与 C. |-4| 与 -4 D. 0 与 0.1 3. |-2.5| 的值是（ ） A. -2.5 B. 2.5 C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一个数的绝对值一定是正数 B. 一个数的绝对值一定不是负数 C. 绝对值最小的数是 1 D. -a 一定是负数 5. 若 |x| = 6，则 x 的值是（ ） A. 6 B. -6 C. 6 或 -6 D. 0 6. 化简 -[-(-7)] 的结果是（ ） A. 7 B. -7 C. D. （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. 的相反数是 ＿＿＿＿＿＿，绝对值是 ＿＿＿＿＿＿。 8. |-12| = ＿＿＿＿，-|-12| = ＿＿＿＿＿＿，-(-12) = ＿＿＿＿。 9. 绝对值等于 5 的数是 ＿＿＿＿＿＿＿＿；绝对值等于 0 的数是 ＿＿＿＿。 10. 一个数的相反数是它本身，这个数是 ＿＿＿＿；一个数的绝对值是它本身，这个数是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 11. 若 a 与 3 互为相反数，则 a = ＿＿＿＿，|a| = ＿＿＿＿。 12. 在数轴上，与原点距离为 个单位长度的点表示的数是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 化简下列各数： （1）-(+9)；（2）-(-1.6)；（3）+[-()]；（4）-{-[-(-11)]}。 14. 计算下列各式： （1）|-15| + |-5|；（2）|| × |-8|；（3）-|-2.5|；（4）|-18| ÷ ||。 15. 如图，数轴上点 a、b 分别表示两个数。 （1）写出 a、b 表示的数； （2）分别写出 a、b 的相反数； （3）求 |a| 与 |b| 的值，并说明表示 a 的点与表示 b 的点，哪一个离原点更远。 B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 下列各式中，正确的是（ ） A. |-3| = -3 B. -|-3| = 3 C. -(-3) = |-3| D. |3| = -3 17. 若 a 是负数，则下列各式中一定成立的是（ ） A. |a| = a B. |a| = -a C. -a < 0 D. |a| < 0 18. 已知 |m| = 5，|n| = 2，且表示 m 的点在表示 n 的点的左边，则 m、n 的值分别是（ ） A. m = 5，n = 2 B. m = -5，n = 2 或 n = -2 C. m = -5，n = 2 D. m = 5，n = -2 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 若 |x - 1| = 0，则 x = ＿＿＿＿；若 |a| + |b| = 0，则 a = ＿＿＿＿，b = ＿＿＿＿。 20. 一个数的绝对值是 ，且这个数在数轴上位于原点的左边，则这个数是 ＿＿＿＿＿＿。 21. 若 |x| = 3，|y| = 5，则 x 与 y 可能的取值共有 ＿＿＿＿ 组。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 已知 a 的相反数是 -6，b 的绝对值是 4。 （1）求 a 的值； （2）求 b 的值； （3）在数轴上表示出 a 和 b 所有可能的位置，并指出哪个点离原点最远。 23. 某检修小组乘车沿一条东西方向的公路检修线路，规定向东为正、向西为负，某天从驻地出发到收工时的行驶记录如下（单位：km）： +8，-5，+3，-12，+6，-4 （1）用绝对值表示每次行驶的路程，并求出这一天一共行驶了多少千米（行驶的总路程）； （2）第几次行驶的路程最长？第几次最短？ （3）若每千米耗油 0.2 L，求这一天共耗油多少升？ C 组 拓展探究 24. 阅读理解：绝对值可以表示数轴上的距离，如 |x| 表示数 x 到原点的距离；进一步地，|x - 3| 可以表示数 x 到 3 的距离，|x + 2| = |x - (-2)| 表示数 x 到 -2 的距离。根据这一理解，回答下列问题： （1）若 |x - 3| = 0，则 x = ＿＿＿＿； （2）若 |x - 3| = 4，则 x = ＿＿＿＿＿＿＿＿（提示：数轴上与 3 的距离为 4 的点有两个）； （3）若 |x + 2| = 5，求 x 的值。 25. 探究与思考：已知 a、b 均为有理数。 （1）若 a > 0，b < 0，判断 |a|、|b| 与 a、b 的关系（用 a、b 表示 |a| 和 |b|）； （2）若 |a| = a，则 a 是什么数？若 |a| = -a，则 a 又是什么数？ （3）若 |a - 2| + |b + 5| = 0，求 a、b 的值。 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. A。解析：只有符号不同的两个数互为相反数，-3 的相反数是 3，故选 A。注意不要与倒数混淆。 2. C。解析：A 中 -(-2) = 2，与 2 相同，不是互为相反数；B 中 -3 与 是互为负倒数关系，不是相反数；C 中 |-4| = 4，4 与 -4 只有符号不同，互为相反数；D 显然不是。故选 C。 3. B。解析：负数的绝对值是它的相反数，|-2.5| = 2.5，故选 B。 4. B。解析：A 错，0 的绝对值是 0，不是正数；C 错，绝对值最小的数是 0；D 错，若 a = -2，则 -a = 2 是正数。故选 B。 5. C。解析：绝对值等于 6 的数有两个，即 6 和 -6，它们互为相反数，故选 C。 6. B。解析：-[-(-7)] 中共有 3 个负号，奇数个负号结果为负，所以原式 = -7，故选 B。 7. 相反数是 ；绝对值是 。解析：负数的相反数与绝对值都是去掉负号后的数，数值相同。 8. |-12| = 12；-|-12| = -12；-(-12) = 12。解析：-|-12| 要先算 |-12| = 12，再取相反数得 -12。 9. 5 和 -5；0。解析：绝对值等于正数 a 的数有两个，互为相反数；只有 0 的绝对值是 0。 10. 0；正数和 0（即非负数）。解析：只有 0 的相反数是它本身；正数和 0 的绝对值是它本身。 11. a = -3；|a| = 3。解析：与 3 互为相反数的数是 -3，|-3| = 3。 12. 或 。解析：到原点距离相等的点在原点两侧各有一个，二者互为相反数。 13. （1）-(+9) = -9；（2）-(-1.6) = 1.6；（3）+[-()] = ；（4）-{-[-(-11)]} = 11。 解析：数负号个数：（1）1 个，取负；（2）2 个，取正；（3）2 个，取正；（4）4 个，取正。“+”号可以直接去掉，不影响结果。 14. （1）|-15| + |-5| = 15 + 5 = 20；（2）|| × |-8| = × 8 = 6； （3）-|-2.5| = -2.5；（4）|-18| ÷ || = 18 ÷ = 18 × = 4。 解析：含绝对值的运算顺序是“先化简每个绝对值，再按四则运算法则计算”，第（3）小题中绝对值外面还有一个负号，不能漏掉。 15. （1）a 表示 -3，b 表示 2；（2）a 的相反数是 3，b 的相反数是 -2； （3）|a| = |-3| = 3，|b| = |2| = 2；因为 3 > 2，所以表示 a 的点离原点更远。 解析：绝对值的几何意义就是到原点的距离，比较“谁离原点远”只要比较绝对值的大小，与正负号无关。 B 组 能力提升 16. C。解析：A 错，|-3| = 3；B 错，-|-3| = -3；D 错，|3| = 3。C 中 -(-3) = 3，|-3| = 3，两边相等，故选 C。 17. B。解析：当 a 是负数时，|a| 等于 a 的相反数，即 |a| = -a；此时 -a > 0，所以 C 错；绝对值不可能小于 0，D 错；A 只有当 a ≥ 0 时才成立。故选 B。 18. B。解析：由 |m| = 5 得 m = 5 或 -5；由 |n| = 2 得 n = 2 或 -2。要使表示 m 的点在表示 n 的点左边，必须 m = -5，此时 n 取 2 或 -2 都满足（-5 在 -2 和 2 的左边）。故选 B。 19. x = 1；a = 0，b = 0。解析：绝对值等于 0 的数只有 0，所以 x - 1 = 0，x = 1；|a| ≥ 0，|b| ≥ 0，两个非负数的和为 0，只能都等于 0。 20. 。解析：绝对值为 的数有 和 ，在原点左边的是负数。 21. 4 组。解析：x = 3 或 -3，y = 5 或 -5，两两搭配共有 2 × 2 = 4 组：(3, 5)、(3, -5)、(-3, 5)、(-3, -5)。 22. （1）a 的相反数是 -6，所以 a = 6；（2）|b| = 4，所以 b = 4 或 -4； （3）在数轴上，a 对应原点右边 6 个单位长度处的点；b 对应 4 或 -4 两个位置。因为 |6| = 6 > 4，所以表示 a 的点离原点最远。 23. （1）各次行驶的路程分别为 |+8| = 8，|-5| = 5，|+3| = 3，|-12| = 12，|+6| = 6，|-4| = 4（单位：km），总路程为 8 + 5 + 3 + 12 + 6 + 4 = 38（km）； （2）第 4 次行驶的路程最长（12 km），第 3 次最短（3 km）；（3）38 × 0.2 = 7.6（L），这一天共耗油 7.6 L。 解析：本题的关键在于区分位置的变化与行驶的路程：求路程时只看每个数的绝对值，与方向（正负号）无关。 C 组 拓展探究 24. （1）x = 3。解析：|x - 3| 表示 x 到 3 的距离，距离为 0 说明 x 就是 3。 （2）x = 7 或 -1。解析：数轴上与 3 的距离为 4 的点有两个：3 向右 4 个单位长度得 7，3 向左 4 个单位长度得 -1。 （3）因为 |x + 2| = |x - (-2)|，它表示 x 到 -2 的距离为 5，所以 x = -2 + 5 = 3 或 x = -2 - 5 = -7。 解析：把绝对值“翻译”成距离，是解决绝对值问题的常用方法，能有效避免漏解。 25. （1）因为 a > 0，所以 |a| = a；因为 b < 0，所以 |b| = -b。 （2）若 |a| = a，则 a 是正数或 0（即非负数）；若 |a| = -a，则 a 是负数或 0（即非正数）。 （3）因为 |a - 2| ≥ 0，|b + 5| ≥ 0，而它们的和为 0，所以 |a - 2| = 0 且 |b + 5| = 0，从而 a - 2 = 0，b + 5 = 0，即 a = 2，b = -5。 解析：第（3）问用到了绝对值的非负性：“几个非负数的和为 0，则每一个都为 0”，这是初中阶段极为重要的一个结论。 六、课时小结 1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，a 的相反数是 -a，0 的相反数是 0；在数轴上它们分居原点两侧且到原点距离相等。 2. 多重符号化简：负号个数为奇数取负，为偶数取正。 3. 绝对值：|a| 表示数 a 到原点的距离，正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数，且 |a| ≥ 0。 4. 常见结论：|x| = a（a > 0）时 x = ±a，不要漏解；|a| + |b| = 0 时 a = b = 0。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $