1.4.1正方形的性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的性质，系统梳理边、角、对角线、对称性等核心知识点。课堂导入通过活动菱形框架变直角、矩形纸片折叠等操作，联系菱形和矩形定义，搭建从特殊平行四边形到正方形的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过动手操作培养几何直观，通过证明题发展推理能力，练习题分层设计且附详细解析。课堂小结系统归纳性质，助力学生形成知识体系。对学生提升数学思维，对教师提供丰富教学资源，提高教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 1.4.1正方形的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学1.4.1正方形的性质专项练习题 核心知识点梳理：正方形是特殊的平行四边形，同时兼具矩形、菱形的所有性质，是性质最完备的特殊四边形。1. 边的性质：四条边全部相等，对边平行，邻边垂直；2. 角的性质：四个角均为90°直角，内角和为360°；3. 对角线性质：对角线相等、互相垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角；4. 对称性：既是轴对称图形（4条对称轴），也是中心对称图形；5. 衍生性质：正方形的一条对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列不属于正方形独有性质的是（） A. 四条边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且相等 2. 正方形具有而矩形不具有的性质是（） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 四个角是直角 D. 对边平行且相等 3. 正方形具有而菱形不具有的性质是（） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 4. 已知正方形边长为4，则其对角线长为（） A. 4 B. $$4\sqrt{2}$$ C. 8 D. $$8\sqrt{2}$$ 5. 下列关于正方形的说法正确的是（） A. 只有两条对称轴 B. 对角线不互相平分 C. 邻边互相垂直且相等 D. 对角线不平分内角 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 正方形的四条边________，四个角都是________。 2. 正方形的对角线________、________且互相平分，每条对角线平分一组对角。 3. 边长为5的正方形，对角线长为________。 4. 正方形的对称轴共有________条。 5. 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的________三角形。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 已知正方形ABCD，求证：AB=BC=CD=DA，∠ABC=90°。 2. 求证：正方形的对角线相等且互相垂直。 3. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，求∠OAB的度数。 四、综合提升题（每题15分，共30分） 1. 如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，且AE=AB，求∠AED的度数。 2. 已知正方形ABCD的对角线交于点O，若对角线长为$$8\sqrt{2}$$，求正方形的边长和面积。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 解析：1.对角线互相平分是所有平行四边形的共性，并非正方形独有；2.矩形对角线相等但不垂直，正方形对角线互相垂直；3.菱形四条边相等、对角线垂直且平分对角，但对角线不相等，正方形对角线相等；4.正方形对角线与边长满足勾股定理，对角线=$$4\sqrt{2}$$；5.正方形有4条对称轴，对角线互相平分且平分内角，邻边垂直且相等。 二、填空题：1.相等、直角 2.相等、互相垂直 3.$$5\sqrt{2}$$ 4.4 5.等腰直角 解析：3.正方形对角线公式：边长×$$\sqrt{2}$$，代入得$$5\sqrt{2}$$；4.正方形对称轴为两条对边中线、两条对角线所在直线，共4条；5.正方形对角线平分直角，形成两个全等等腰直角三角形。 三、基础解答题 1. 证明：正方形是特殊的矩形也是特殊的菱形，菱形四条边相等，故AB=BC=CD=DA；矩形四个角为直角，故∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 2. 证明：正方形是矩形，因此对角线相等；正方形是菱形，因此对角线互相垂直。综上，正方形对角线相等且互相垂直。 3. 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠OAB=$$\frac{1}{2}$$×90°=45°。 四、综合提升题 1. 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°，∵AE=AB，∴AE=AD，△ABE为等腰直角三角形，∠AEB=45°，∠DAE=90°-45°=45°，△ADE为等腰三角形，可求得∠AED=67.5°。 2. 解：设正方形边长为a，正方形对角线长=$$a\sqrt{2}$$，由$$a\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$，解得a=8。正方形面积=$$8×8=64$$。综上，边长为8，面积为64。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1. 探索并证明正方形的性质定理，了解它与菱形、矩形之间的关系。 2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题，进一步发展几何直观和推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 菱形 正方形 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状。 探究新知 3 还记得正方形的定义吗?正方形与菱形有怎样的关系?与矩形呢? 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形。 矩形 展开 正方形 探究新知 4 知识点 正方形的性质 问题1 正方形是菱形吗?正方形是矩形吗? 由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 探究新知 问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质? 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 你能证明这两个结论吗? 知识点 正方形的性质 A D C B O 探究新知 证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。 A D C B 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°， ∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°， ∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°， ∴ ∠A= ∠C=90°， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC， ∴ AB =BC=CD=DA。 知识点 正方形的性质 探究新知 证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB=BC，∠ABC=90°。 求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC， OB=OD。 A B C D O 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°， ∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。 ∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°， ∴∠OBA=∠BAC， ∴OA=OB， ∵AC=2AO，BD=2BO， ∴ AC=BD。 知识点 正方形的性质 探究新知 知识点1 正方形的边、角性质 （第1题） 1.如图，边长为3的正方形 的两边与坐标轴正半轴 重合，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 （第2题） 2.如图，点在正方形的边上，若 ， ，则正方形 的面积为( ) B A. B.4 C.6 D. 返回 举一反三 10 3.如图，在正方形外侧作等边三角形 ， 连接，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 11 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。 A B C D O 知识点 正方形的性质 A B C D 探究新知 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 A B C D O 知识点 正方形的性质 探究新知 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 例1 解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC，∠BCE =90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。 ∴∠BCE=∠DCF。 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF。 ∴BE=DF。 A B D C F E 知识点 正方形的性质 探究新知 例1 （2）延长BE，交DF于点M（如图）。 ∵△BCE≌△DCF ， ∴∠CBE =∠CDF。 ∵∠DCF =90°， ∴∠CDF +∠F =90°。 ∴∠CBE+∠F=90°。 ∴∠BMF=180°-（∠CBE+∠F）=180°-90°=90°。 ∴BE⊥DF。 A B D C F E M 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 探究新知 问题3 如图，四边形ABCD是正方形。 (1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合。 画图如图所示。 菱形的另外两个顶点需要在正方形的对角线BD所在的直线上，且到正方形ABCD两条对角线交点的距离相等。 A D C B 知识点 正方形的性质 A D C B 探究新知 (2)若在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形 ABCD的边AB，BC，CD，AD上。 矩形EFGH的四个顶点需满足AE=AH=CF=CG。 A D C B E F G H 知识点 正方形的性质 探究新知 4.［教材例1变式］ 如图，在正方形中，点，分别在 ， 上，且，与相交于点 。 （1）求证： ； 举一反三 18 解：证明： 四边形 是正方形， ， 。 ， ，即 。 在和 中， 。 举一反三 19 （2）求 的大小。 解：由（1）知 ， ， ， 。 返回 举一反三 20 知识点2 正方形对角线的性质 （第5题） 5.如图，正方形的对角线与相交于点 ， 则下列说法不正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 21 6.［教材习题 变式］ 若正方形的对角线长为6，则此正方形的面 积是( ) C A.36 B.24 C.18 D.12 返回 举一反三 22 7.如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点 的直线分 别交，于点， ，则阴影部分的面积是___。 1 （第7题） 返回 举一反三 23 8.[南通期末] 如图，将正方形的对角线 向两个方向延长，分别 至点和点，且使。试判断四边形 的形状，并说明理由。 举一反三 24 解：四边形 是菱形。 理由：如图，连接，交于点 ， 四边形 是正方形， ，， 。 ， ，即 。 又 ， 举一反三 25 四边形 是平行四边形。 又 ， 平行四边形 是菱形。 返回 举一反三 （第9题） 9.如图，在周长为16的正方形中，点是 边的中 点，点为对角线上的一个动点，则 的最小值 为( ) D A.2 B. C. D. 返回 举一反三 27 正方形的特殊性质 角：正方形的四个角都是直角； 边：正方形的四条边相等； 对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长的乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3. 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 A B C D O 课堂小结 谢谢观看 THANKS $