问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件围绕“内嵌于正方形的正八边形”展开，涵盖定义、特征、数量关系及尺规作图。课堂导入通过回顾正多边形边与角的特点、内角外角公式，搭建旧知与新知的联系，为探究活动提供学习支架。 其亮点在于以建筑装饰图案为情境，引导学生用数学眼光观察图形关系，通过“分析特征—设计思路—尺规验证”的探究过程发展数学思维，结合方程推导边长、多种作图方法培养数学语言表达。学生能提升几何推理与作图能力，教师可借助结构化探究过程优化教学。

数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割 北师版 九年级（上） 第一章 特殊平行四边形 1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征. (重点) 2.经历“分析图形特征一设计作图思路一尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力。 (难点) 3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识. 素养目标 问题1：正多边形的特点是什么？ 每条边相等，每个内角相等. 问题2：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个 内角是多少度吗？每个外角呢？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 情境导入 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 问题：(1) 观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？ 正方形、正八边形 (2) 它们的位置关系有什么特点？ 正八边形在正方形内部，且部分顶点落在正方形的边上. 新知探究  引入概念：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形. 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 【理解问题】(1) 正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图. ②正八边形有 4 个顶点在正方形的边中点 ①正八边形的 8 个顶点都在正方形的边上，每条边 2 个顶点 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 (2) 正八边形有哪些具体特征？ 8 条边相等，8 个内角相等，每个内角为 135°，中心到各顶点距离相等. A B C D F E G H O 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 例1 如图，正八边形 ABCDEFGH 内嵌于正方形 MNPQ，正方形边长为 a。 (1) 设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为 x，请用含 x 的式子表示正八边形的边长. (2) 求 x 的值和正八边形的边长. A B C D F E G H M N P Q 解：(1) 等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长， 如图，在Rt△MHA 中，根据勾股定理，AH = = x. 正八边形的边长为x. 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 (2) 求 x 的值和正八边形的边长. A B C D F E G H M N P Q (2) 由 (1) 得，AH = HG = x， 正方形的一条边由两段直角边和段正八边形的边长组成，因此 MP = MH + HG + GP = a， x + x + x = a. 化简得 x( 2 + ) = a 正八边形的边长为 . 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 例2 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤. (至少两种方法). 方法一：对角线交点法 1.作正方形 ABCD 的两条对角线 AC、BD，交于中心 O. 2.以 A、B、C、D 为圆心，以OA 为半径画弧，分别与正方形的四条边交于两个点. 3.顺次连接这 8 个交点，得到正八边形 EFGHIJKL. A B C D O E F G H H I K L 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 方法二：截取等长线段法 1.设正方形边长为 a，计算得角上等腰直角三角形的直角边长 ； 2. 以 A、B、C、D 为圆心，x 为半径，在每条边上截取两个点. 3. 顺次连接这 8 个点，得到正八边形. A B C D O E F G H H I K L 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 A B C D 【练一练】1. 已知正方形 ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个有 4 个顶点在正方形的边中点的正八边形，保留作图痕迹. O 探究点：作内嵌于正方形的正八边形 新知探究 问题解决：作内嵌于正方形的正八边形 几何特征 ：轴对称、中心对称；顶点在正方形边上 数量关系 ：设正方形边长为 a， 正八边形边长为  3. 作图步骤 课堂小结 1.若正方形边长为 6，求内嵌正八边形的周长和面积. A B C D F E G H M N P Q 解：由题意分析得，设四个等腰直角三角形的直角边长为 x，则斜边长为x，也就是正八边形的边长. 根据正方形边长可得 x + x + x = 6. 正八边形的边长为 . 周长为 正八边形的面积为 6×6－4×× 课堂小结 2. 当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接矩形. 菱形的内接矩形有哪些不同的情况? A B C D 情况 1：中心型(最常规） 矩形四边顶点分别落在菱形四条边上，矩形对角线重合于菱形中心，两组对边分别平行于菱形两条对角线，无数个同类型矩形（只要过中心作两组垂线与四边相交即可）. 情况2：顶点贴合型 矩形有 2 个顶点落在菱形顶点上，剩余 2 个顶点在对边上（受菱形内角限制，仅特定角度菱形存在. 课堂小结 学习用优翼 越来越优异 年举办公益 教研活动场次 优翼产品与服务 历年中小学生使用人次 优翼网教学资源 每年服务师生人次 3亿+ 300+ 3000万+ · 学练优 | 新领程 | 涂重点 | 优翼网 教学资源服务平台 www.youyi100.com 学习用优翼 越来越优异 优翼教学工具书（初中系列）“3+n”选购指南： 同步练习1本、教材笔记1本、检测试卷1本 + 专项提升n本 同步练习：学练优 新领程 假期作业：暑假衔接 寒假衔接 教材笔记：新领程·涂重点 中考系列：中考新领程（精讲精练册+模拟卷） 试卷系列：抢分卷 、预测卷、压轴卷 字帖系列：四步法写字 写字高手 静心字帖…… 优翼网 教学资源服务平台 www.youyi800.com 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $