1.4.1 正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第一章 特殊平行四边形 1.4.1正方形的性质 2026年8月2日 北师大版九年级上册1.4.1 正方形的性质 同步练习题 本套习题适配北师大版九年级上册1.4第1课时《正方形的性质》，立足正方形的定义，聚焦正方形兼具矩形与菱形的所有性质。重点考查正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等、对角线平分对角等核心知识点，区分正方形、矩形、菱形的性质异同。习题梯度清晰，基础题型夯实概念，解答题型强化应用，能够有效帮助学生掌握正方形的特殊性质，规避性质混淆的易错问题，适合课堂练习与课后巩固提升。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 正方形不具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直但不相等 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对边平行且相等 3. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 4. 已知正方形的边长为6，则该正方形的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 正方形的一条对角线把正方形分成的两个三角形是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 正方形的四个角都是________，四条边________。 7. 正方形的对角线________、________且互相平分，每条对角线平分一组对角。 8. 正方形边长为5，则其对角线长为________。 9. 正方形的对角线夹角为________度。 10. 正方形ABCD中，∠BAC的度数为________。 三、解答题（共60分） 11.（12分）求证：正方形的两条对角线相等且互相垂直。 12.（12分）已知正方形边长为8，求该正方形的周长、面积和对角线长度。 13.（18分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O。 （1）求∠AOB的度数；（2）若边长为4，求对角线的长与△AOB的面积。 14.（18分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，求证：△ABD≌△CBD。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. D 解析：正方形对角线互相垂直且相等，兼具矩形和菱形的全部性质，D选项说法错误。 2. C 解析：矩形对角线相等但不垂直，正方形对角线既相等又垂直，对角线互相垂直是正方形独有性质。 3. B 解析：菱形对角线互相垂直但不一定相等，正方形对角线相等，是正方形区别于一般菱形的特征。 4. B 解析：正方形周长=边长×4=6×4=24。 5. A 解析：正方形边长相等，内角为90°，对角线分割后的三角形为等腰直角三角形。 二、填空题 6. 直角；相等 解析：正方形基础性质，继承矩形和菱形的边角特征。 7. 相等；互相垂直 解析：正方形对角线的核心性质，区别于普通矩形和菱形。 8. $$5\sqrt{2}$$ 解析：由勾股定理可得正方形对角线长为边长的$$\sqrt{2}$$倍。 9. 90 解析：正方形对角线互相垂直，夹角为90°。 10. 45° 解析：正方形对角线平分内角，90°的内角被平分为两个45°角。 三、解答题 11. 证明：正方形是特殊的矩形，因此对角线相等；同时正方形是特殊的菱形，因此对角线互相垂直。综上，正方形的两条对角线相等且互相垂直。 12. 解：周长=4×8=32，面积=8×8=64，由勾股定理得对角线长=$$\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}$$。 13. 解：（1）正方形对角线互相垂直，故∠AOB=90°；（2）边长为4，对角线长=$$4\sqrt{2}$$，OA=OB=$$2\sqrt{2}$$，△AOB面积=$$\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}=4$$。 14. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，AD=CD，又BD为公共边，∴△ABD≌△CBD（SSS），命题得证。 （总字数：1110） 1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力 和数学表达能力.(重点、 难点) 2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.（难点） 学习目标 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 四个角都是直角 对角线相等 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 正方形定义： 知识点 正方形的性质 问题1 正方形是菱形吗?正方形是矩形吗? 由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 问题2 你认为正方形有哪些特殊的性质? 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 你能证明这两个结论吗? 知识点 正方形的性质 A D C B O 证明结论：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 已知：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC。 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA。 A D C B 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°， ∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°， ∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°， ∴ ∠A= ∠C=90°， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC， ∴ AB =BC=CD=DA。 知识点 正方形的性质 证明结论：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 已知：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB=BC，∠ABC=90°。 求证：AC=BD，AC⊥BD，OA=OC， OB=OD。 A B C D O 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°， ∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。 ∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°， ∴∠OBA=∠BAC， ∴OA=OB， ∵AC=2AO，BD=2BO， ∴ AC=BD。 知识点 正方形的性质 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。 A B C D O 知识点 正方形的性质 A B C D 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 A B C D O 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 例1 解：BE=DF，且BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC，∠BCE =90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°。 ∴∠BCE=∠DCF。 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF。 ∴BE=DF。 A B D C F E 知识点 正方形的性质 例1 （2）延长BE，交DF于点M（如图）。 ∵△BCE≌△DCF ， ∴∠CBE =∠CDF。 ∵∠DCF =90°， ∴∠CDF +∠F =90°。 ∴∠CBE+∠F=90°。 ∴∠BMF=180°-（∠CBE+∠F）=180°-90°=90°。 ∴BE⊥DF。 A B D C F E M 知识点 正方形的性质 如图，在正方形ABCD中，E为边CD上的一点，F是BC 延长线上的一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由。 知识点1 正方形的边、角性质 （第1题） 1.如图，边长为3的正方形 的两边与坐标轴正半轴 重合，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 （第2题） 2.如图，点在正方形的边上，若 ， ，则正方形 的面积为( ) B A. B.4 C.6 D. 返回 举一反三 14 （第3题） 3.如图，在正方形外侧作等边三角形 ， 连接，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 15 问题3 如图，四边形ABCD是正方形。 (1)若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合。 画图如图所示。 菱形的另外两个顶点需要在正方形的对角线BD所在的直线上，且到正方形ABCD两条对角线交点的距离相等。 A D C B 知识点 正方形的性质 A D C B (2)若在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形 ABCD的边AB，BC，CD，AD上。 矩形EFGH的四个顶点需满足AE=AH=CF=CG。 A D C B E F G H 知识点 正方形的性质 4.［教材P17“例1”变式］ 如图，在正方形中，点， 分别在边 ，上，且，与相交于点 。 举一反三 18 （1）求证： ； 解：证明：四边形 是正方形， ， 。 ， ，即 。 在和 中， 。 举一反三 19 （2）求 的大小。 解：由（1）知 ， ， ， 。 返回 举一反三 20 知识点2 正方形对角线的性质 （第5题） 5.如图，正方形的对角线与相交于点 ， 则下列说法不正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 21 6.［教材P21“习题1.4”第1题变式］ 若正方形的对角线长为6，则此正方 形的面积是( ) C A.36 B.24 C.18 D.12 返回 举一反三 22 7.如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点 的直线分 别交，于点， ，则阴影部分的面积是___。 1 （第7题） 返回 举一反三 23 8.[西安未央区期中] 如图，将正方形的对角线 向两个方向延长， 分别至点和点，且使。试判断四边形 的形状，并说明 理由。 举一反三 24 解：四边形 是菱形。 理由：如图，连接，交于点 ， 四边形 是正方形， ，， 。 ， ，即 。 又 ， 举一反三 25 四边形 是平行四边形。 又 ， 平行四边形 是菱形。 返回 举一反三 （第9题） 9.如图，在周长为16的正方形中，是 边的中 点，为对角线上的一个动点，则 的最小值为 ( ) D A.2 B. C. D. 返回 举一反三 27 10.如图，正方形中，，对角线,交于点， 是 延长线上一点，且，则的长度是_____ 。 （第10题） 返回 举一反三 28 （第11题） 11. [内江中考] 如图，在平面直角 坐标系中，正方形的边在轴上，点 的坐 标为，点在边上。将沿 折叠， 点落在点处。若点的坐标为，则点 的坐 标为_ _______。 返回 举一反三 29 12.[广安中考] 如图，，是正方形的对角线 上的两点， ，，连接,,, 。 举一反三 30 （1）求证： ； 解：证明：四边形 为正方形， ， 。 在和 中， 。 举一反三 31 （2）若四边形的周长为，求 的长。 解：连接交于点 。 四边形为正方形， ， 垂直平分， 。 ， 。 由（1）知 ， ， 举一反三 32 。 四边形的周长为 ， 。 在中， 。 。 。 返回 举一反三 正方形的特殊性质 角：正方形的四个角都是直角； 边：正方形的四条边相等； 对角线：正方形的对角线相等且互相垂直平分 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长的乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3. 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 A B C D O 课堂小结 谢谢观看 THANKS $