1.4.2正方形的判定-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定与中点四边形，核心知识点涵盖定义法、菱形/矩形基础判定及对角线判定定理，通过类比平行四边形、矩形、菱形定义导入，搭建从已知到新知的学习支架，梳理判定思路脉络。 其亮点在于以探究式问题引导猜想证明，如“满足什么条件的矩形是正方形”，发展学生推理能力（数学思维），规范几何语言表述判定定理，结合分层例题与中考题，帮助学生用数学语言表达几何关系（数学语言），助力教师系统教学，提升学生逻辑推理与知识应用能力。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 1.4.2正方形的判定 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学1.4.2正方形的判定专项练习题 核心知识点梳理：正方形的判定核心思路：先证平行四边形，再结合矩形、菱形的特殊条件判定；也可直接通过边、角、对角线条件直接判定。常用判定定理：1. 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；2. 菱形基础判定：有一个角是直角的菱形是正方形；3. 矩形基础判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；4. 对角线判定：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件能判定四边形为正方形的是（） A. 对角线相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 对角线相等且垂直的平行四边形 D. 有一个直角的四边形 2. 有一组邻边相等的________是正方形（） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 四边形 3. 下列说法正确的是（） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 四边相等的四边形是正方形 C. 有一组邻边相等的四边形是正方形 D. 对角线垂直的平行四边形是正方形 4. 平行四边形ABCD中，添加哪组条件可判定为正方形（） A. AB=BC，AC⊥BD B. ∠A=90°，AC=BD C. AB=BC，∠A=90° D. AC⊥BD，AC=BD 5. 既是矩形又是菱形的四边形一定是（） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 有一个角是直角的菱形是________。 2. 有一组邻边相等的矩形是________。 3. 对角线互相垂直且________的平行四边形是正方形。 4. 四边形对角线平分、相等且互相________，可直接判定为正方形。 5. 正方形的判定可总结为：兼具________和________的所有特殊性质的平行四边形。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 已知平行四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，求证：四边形ABCD是正方形。 2. 已知菱形ABCD中，∠A=90°，求证：该菱形为正方形。 3. 已知矩形ABCD中，AB=AD，求证：该矩形为正方形。 四、综合提升题（每题15分，共30分） 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，求证：四边形ABCD是正方形。 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，求证：四边形CEDF是正方形。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 解析：1.对角线相等且垂直的平行四边形，同时满足矩形、菱形条件，为正方形；2.矩形邻边相等即为正方形；3.四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；4.平行四边形邻边相等为菱形，有直角即为正方形；5.正方形是矩形和菱形的交集图形。 二、填空题：1.正方形 2.正方形 3.相等 4.垂直 5.矩形、菱形 解析：正方形是矩形与菱形的结合体，判定需同时具备矩形（直角、对角线相等）和菱形（邻边相等、对角线垂直）的核心条件。 三、基础解答题 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形。又∵∠ABC=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，故四边形ABCD为正方形。 2. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四条边相等。∵∠A=90°，根据判定定理，有一个内角为直角的菱形是正方形，因此该四边形为正方形。 3. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个角均为直角，对边相等。又AB=AD，即矩形一组邻边相等，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该四边形为正方形。 四、综合提升题 1. 证明：∵ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形。又AC⊥BD，矩形对角线互相垂直，满足菱形性质，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故ABCD为正方形。 2. 证明：∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠ACB=90°，∴∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°，四边形CEDF是矩形。∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，∴DE=DF。矩形有一组邻边相等，故矩形CEDF是正方形。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.探索并证明正方形的判定定理，会进行相关的证明与计算，进一步发展推理能力。 2.了解中点四边形。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 正方形的定义： 有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形。 类比平行四边形、矩形和菱形，正方形的定义也是判定正方形的一种方法。 邻边 直角 平行 情境导入 3 正方形的判定： 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 知识点1 正方形的判定 A B C D ∟ 探究新知 问题1 满足什么条件的矩形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A D B C O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四个角为90° 对角线相等 邻边相等（利用正方形的定义猜想） 对角线垂直（利用正方形的性质猜想） 猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 A D B C O 探究新知 求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。 ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 A B C D ∟ 知识点1 正方形的判定 探究新知 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，且AC⊥BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，OB=OD。 ∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD。 ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 探究新知 正方形的判定定理 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 探究新知 知识点1 在平行四边形的基础上判定正方形 1.在中，连接对角线,,若 ，添加下列条件， 能使 为正方形的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.如图，中，，，分别是，，的中点。若 ， 则满足_____时，四边形 是正方形。 （第2题） 返回 举一反三 10 问题2 满足什么条件的菱形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A C B D O 知识点1 正方形的判定 平行四边形 四边相等 对角线互相垂直 有一个角是直角（利用正方形的定义猜想） 对角线相等（利用正方形的性质猜想） A D B C O 猜想：有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形。 探究新知 求证:有一个角是直角的菱形是正方形。 如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。 求证:四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。 ∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 探究新知 求证：对角线相等的菱形是正方形。 如图，已知菱形ABCD的对角线为AC，BD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=AB，AD∥BC。 ∵AB=BA，BD=AC， ∴△ABD≌△BAC， ∴∠DAB=∠CBA。 ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°， ∴∠DAB=∠CBA=90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AB， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 知识点1 正方形的判定 探究新知 正方形的判定定理 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 知识点1 正方形的判定 探究新知 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。 例1 证明:∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，∠DCB=90°。 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°。 ∴∠EBC=∠ECB。∴EB=EC。 ∴□ BECF是菱形(菱形的定义)。 在△EBC中， ∵∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴∠BEC=180°- ∠EBC- ∠ECB= 180°- 45°- 45°=90°。 ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。 知识点1 正方形的判定 探究新知 知识点2 在特殊四边形的基础上判定正方形 题型1 在矩形的基础上判定正方形 3.如图，将矩形纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为 。 若沿剪开，则将折叠部分展开得到的四边形 是一个正方形，其 数学原理是( ) A （第3题） A.有一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 返回 举一反三 16 4.如图，在中，于点， 于 点，，求证：四边形 是正方形。 举一反三 17 证明： 四边形 是平行四边形， 。 ， ， 。 ， , ， 四边形 是矩形。 又， 矩形 是正方形。 返回 举一反三 18 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。 你能证明这个猜想吗? 探究新知 证明：连接AC ，BD交于点 O，AC交 A1D1于点M，BD交 A1B1于点N 。 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC。 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC， 在△ABD中， A1D1 ∥BD，且 A1D1 =BD。 ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD。 ∴ A1B1=A1D1 ，∠AOB=90°。 ∵A1B1 ∥AC， A1D1 ∥BD， 知识点2 中点四边形 M N ∴四边形A1MON是平行四边形， ∴∠MA1N=∠AOB=90°。 ∴四边形A1B1C1D1是正方形（正方形的定义）。 探究新知 知识点2 中点四边形 思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？ 猜测：任意画一个矩形，以四边的中点为顶点组成的图形是菱形。 探究新知 思考 (2)类比上述问题，你还能提出什么问题? 菱形 平行四边形 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ 知识点2 中点四边形 探究新知 中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。 知识点2 中点四边形 探究新知 思考 (3)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系? 知识点2 中点四边形 对角线垂直 以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形。 对角线相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 对角线不垂直也不相等 以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。 矩形 菱形 平行四边形 对角线垂直且相等 以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。 正方形 探究新知 知识点2 中点四边形 中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，具体如下表所示。 探究新知 25 题型2 在菱形的基础上判定正方形 5. 如图，菱形的对角线，相交于点 ，不 添加任何辅助线，要使四边形 是正方形，则需要添加的一个条件 是____________________________（填一个即可）。 （答案不唯一） 返回 举一反三 26 6.[西安期中] 如图，四边形的对角线,互相平分, ， ，求证：四边形 是正方形。 举一反三 27 证明：，互相平分，且 ， 四边形 是菱形。 ， ， ， 。 又， 互相平分， ， 。 四边形 是正方形。 返回 举一反三 28 知识点3 中点四边形 7.［教材习题变式］如图，在任意四边形中，，，， 分别是边，，，的中点，连接，，对于四边形 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结 论，其中错误的是( ) D A.四边形 一定是平行四边形 B.若，则四边形 为菱形 C.若，则四边形 为矩形 D.若与互相平分，且，则四边形 是 正方形 返回 举一反三 29 8.[德阳中考] 如图，点，，，分别是四边形的边， ， ，的中点，如果，四边形的面积为24，且 ， 则 ( ) B A.4 B.5 C.8 D.10 返回 举一反三 30 9.[乐山中考] 如图，在中，对角线与相交于点 。小乐同 学欲添加两个条件使得四边形 是正方形，现有三个条件可供选 择：；； 。则正确的组合是 _____________________________（只需填一种组合即可）。 ①②或（填写一组即可） （第9题） 返回 举一反三 31 10.如图，在矩形中，，分别是边,的中点，, 分别是 ,的中点。当_____时，四边形 是正方形。 （第10题） 返回 举一反三 32 11.如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点 作 ，交的延长线于点，连接 。 （1）求证： ； 举一反三 33 证明：为 的中点， 。 ， 。 在和 中， ， 举一反三 34 。 是 边上的中线， ， 。 举一反三 （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形 是正 方形。 [答案] ， ， 四边形 是平行四边形。 为等腰直角三角形， ，是 边上的中线， ， ， 平行四边形 是正方形。 返回 举一反三 36 正方形的判定 定义法 对角线：对角线相等的菱形是正方形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 定理 边：有一组邻边相等的矩形是正方形 角：有一个角是直角的菱形是正方形 对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形 课堂小结 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形（中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系） 课堂小结 谢谢观看 THANKS $