1.4.2 正方形的判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定定理，通过知识回顾梳理正方形与平行四边形、矩形、菱形的转化关系，以定义和性质为基础搭建学习支架，引导学生从已有知识过渡到新内容的探究。 其亮点在于采用“猜想-证明-应用”探究模式，结合中点四边形规律总结，培养学生推理能力与几何直观。通过例题和分层练习强化数学语言表达，助力学生构建知识体系，教师可借此提升教学效率，激发学生探究兴趣。

第一章 特殊平行四边形 4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 1.探索并证明正方形的判定定理，会进行相关的证明与计算，进一步发展推理能力。 2.了解中点四边形。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形。 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 知识回顾 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 四 边 形 平行四 边 形 正方 形 菱形 两组对边分别平行 (或两组对边分别相等 或一组对边平行且相等) 两条对角线互相平分 两组对角分别相等 四条边都相等 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 有一组邻边相等，且有一个角是直角 有三个角是直角 有一个角是直角 （或对角线相等） 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 距形 有一个角是直角 (或对角线相等) 【探究】正方形的判定定理 【思考·交流】 满足什么条件的矩形是正方形? 满足什么条件的菱形是正方形? 探究与应用 判定一个四边形是正方形的基本方法: (1)直接用正方形的定义判定,即先判定四边形是平行四边形,若这个平行四边形有一个角是直角,并且有一组邻边相等,那么就可以判定这个平行四边形是正方形; (2)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形,那么这个四边形是正方形; 韵 (authorId_273335559) - 引导学生回顾正方形的定义,并在小组内交流上面的两个问题,教师进行适当的点拨和指导. 【探究】正方形的判定定理 【思考·交流】 满足什么条件的菱形是正方形? 满足什么条件的菱形是正方形? 探究与应用 判定一个四边形是正方形的基本方法: (3)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形,那么这个四边形是正方形. 后两种判定方法均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础. 韵 (authorId_273335559) - 引导学生回顾正方形的定义,并在小组内交流上面的两个问题,教师进行适当的点拨和指导. 问题1 满足什么条件的矩形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A D B C O 平行四边形 四个角为90° 对角线相等 邻边相等（利用正方形的定义猜想） 对角线垂直（利用正方形的性质猜想） 猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 A D B C O 【探究】正方形的判定定理 求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。 求证：四边形ABCD是正方形。 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。 ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 A B C D ∟ 【探究】正方形的判定定理 探究与应用 【探究】 正方形的判定定理 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AO=CO. ∵AC⊥BD, ∴BD是AC的垂直平分线, ∴AD=CD, ∴矩形ABCD是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形). 证明:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:如图,在矩形ABCD中,AC⊥BD,求证:矩形ABCD是正方形. 韵 (authorId_273335559) - 指导学生在小组内讨论、交流,画出图形,并加以证明,然后教师进行讲评指导,规范证明步骤. 正方形的判定定理 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 【探究】正方形的判定定理 问题2 满足什么条件的菱形是正方形? 你能证明这两个猜想吗? A C B D O 平行四边形 四边相等 对角线互相垂直 有一个角是直角（利用正方形的定义猜想） 对角线相等（利用正方形的性质猜想） A D B C O 猜想：有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形。 【探究】正方形的判定定理 求证:有一个角是直角的菱形是正方形。 如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。 求证:四边形ABCD是正方形。 证明: ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。 ∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。 【探究】正方形的判定定理 探究与应用 【探究】 正方形的判定定理 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC=AC,OB=OD=BD. ∵AC=BD, ∴OA=OB. ∵OA⊥OB(菱形的对角线互相垂直), ∴∠OAB=∠OBA=45°. 同理∠OBC=∠OCB=45°. ∴∠OBA+∠OBC=90°. ∴∠ABC=90°. ∴菱形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 证明:对角线相等的菱形是正方形. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,且AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 正方形的判定定理 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 【探究】正方形的判定定理 探究与应用 【探究】 正方形的判定定理 　 注意： 1.由于判定平行四边形、菱形、矩形的方法各异,所给出的条件各不相同,所以判断一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化,在应用时要仔细辨别后才可以作出判断. 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,对角线相等的平行四边形是矩形,所以是菱形又是矩形的四边形是正方形. 【理解应用】 探究与应用 例 　已知:如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是正方形. 证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°. ∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC. ∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 在△EBC中,∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-45°-45°=90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 韵 (authorId_273335559) - 分析:根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形BECF是平行四边形;然后证明EB=EC,从而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”,得到平行四边形BECF是菱形;最后证明出∠BEC=90°,根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出结论. 探究与应用 【探究】 正方形的判定定理 【尝试·思考】 (1)如图,四边形ABCD是正方形,以它四边的中点为顶点的四边形,是一个怎样的四边形?先猜一猜,再证明你的猜想.如果四边形ABCD是矩形呢? (2)类比上述问题,你还能提出什么问题?你能解决它们吗? (3)在上述问题的解决过程中,你发现了什么规律?请说明理由. 你能总结中点四边形的形状吗？ 证明：连接AC ，BD交于点 O，AC交 A1D1于点M，BD交 A1B1于点N 。 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC。 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC， 在△ABD中， A1D1 ∥BD，且 A1D1 =BD。 ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD。 ∴ A1B1=A1D1 ，∠AOB=90°。 ∵A1B1 ∥AC， A1D1 ∥BD， M N ∴四边形A1MON是平行四边形， ∴∠MA1N=∠AOB=90°。 ∴四边形A1B1C1D1是正方形（正方形的定义）。 【探究】 正方形的判定定理 矩形的中点四边形 矩形的中点四边形会是什么形状？ 矩形的中点四边形是菱形。 你能试着证明这个结论吗？ 【探究】 正方形的判定定理 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为菱形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD。 ∴四边形 EFGH 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）。 【探究】 正方形的判定定理 菱形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形。 你能试着证明这个结论吗？ 菱形的中点四边形 【探究】 正方形的判定定理 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点。求证：四边形 EFGH 为矩形。 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD。 ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形。 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1 = 90°，∠2=90°。 ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）。 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 正方形 （3）在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由。 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，具体如下表所示。 25 探究与应用 【拓展提升】 如图,M是矩形ABCD的边AD的中点,P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F. (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?猜想并说明理由; (2)在(1)的情形下,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF为正方形?为什么? 解：（1）矩形ABCD的长与宽满足AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．理由如下： ∵AD=2AB，M点为AD的中点， ∴AB=AM=DM=CD， ∴△ABM和△CDM为全等的等腰直角三角形， ∴∠AMB=45°，∠DMC=45°，∴∠BMC=90°. ∵PE⊥MC，PF⊥BM， ∴∠PEM=∠PFM=90°， ∴四边形PEMF为矩形； 探究与应用 【拓展提升】 （2）当P点运动到BC的中点时，矩形PEMF变为正方形．理由如下： ∵P点为BC的中点， ∴MP为等腰三角形MBC的顶角的平分线， ∴PE=PF， ∴矩形PEMF变为正方形． 如图,M是矩形ABCD的边AD的中点,P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F. (2)在(1)的情形下,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF为正方形?为什么? 【小结】 课堂小结与检测 4种识别方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 1.[2026西安高陵区期中]在四边形中， ，再添 加下面一个条件，能使该四边形是正方形的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 在四边形中， ，依据“有三个角是 直角的四边形是矩形”，可知四边形是矩形。结合 ，依据 “有一组邻边相等的矩形是正方形”，可知四边形 是正方形。 课堂练习 29 2. 如图，已知的对角线，交于点 ，添加条件 后， 不一定是正方形的选项为( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 30 3.[2026西安三中月考]顺次连接正方形各边中点所得的四边形一定是 ( ) C A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形 【解析】 如图，，，，分别是正方形 四条边的中点，，，， 分别是 ，，， 的中位线， ，， ， ， 四边形 是平行四边形，由正方形 的性质，得，，，且 ， 四边形 是正方形。 31 4.[2025佛山月考]如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点 ，且 ，为了使四边形 是正方形，可以添加一 个条件( ) C A. B. C. D.为 的中点 32 【解析】 的垂直平分线交于点，交于点， ， ，，。， ， 四边形是菱形。A项，当添加 时，则 ， 四边形 是菱形，不符合题意。B项，当添 加时，则四边形是平行四边形,， 四边形 是菱形,不符合题意。C项，当添加 时， ， ， ， 菱形 是正方形,符合 题意。D项，当添加为的中点时，得到， 四边形 是 菱形,不符合题意。 33 5. 如图，正方形的边长为2，是对角线 上一动点， 于点，于点，连接， .则下列结论 错误的是( ) D A. B. 若，则 C. 若为的中点，则四边形 是正方形 D. 若，则 34 【点拨】连接交于，连接 ，如图. 四边形为正方形， , , ，在 和 中， ，, ， , 四边形 是矩形， 35 ,,故A正确；, , ,故B正确； 点为 的中 点，, 点为的中点，.又易得 是等腰直角三角形， 四边形 是矩 形， 四边形是正方形，故C正确； 四边形 为 正方形,, ,在 中， ,解得,. , ,解得 ， ，故D 错误.故选D. 6.如图,在中, ，与 的平分线交 于点，于点,于点,则四边形 的形 状为________. 正方形 39 7.[2025乐山中考]如图，在中，对角线与相交于点 。小乐 同学欲添加两个条件使得四边形 是正方形，现有三个条件可供选 择：；； 。则正确的组合是 ______。（只需填一种组合即可） 40 【解析】 （或） 选择①②： 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形，（对角线互相垂直的平行四边形是菱 形）又， 四边形 是正方形。（对角线相等的菱形是正 方形）选择①③： 四边形是平行四边形，， 四边形 是菱形，又 ， 四边形 是正方形。（有一个角 是直角的菱形是正方形） 41 8. 如图，点，分别是轴和 轴上的动点， 且，取的中点，则所有满足条件的点 围成 的封闭图形的面积为____. 18 42 【点拨】设点的坐标为 是 的中点，在轴上，在 轴上， , , , , .如图，当, 43 时，点运动的轨迹是线段 ,其中 ，当， 时， 点运动的轨迹是线段 ，其中 .当， 时，点 运动的轨迹是线段 , 其中 ，当, 时，点 运动的轨迹是线段 ,其中 . ， ， 四边形是正方形， 所有满 足条件的点 围成的封闭图形是正方 形， 这个封闭图形的面积为 .故答案为18. 9.教材习题变式[2026大庆期中]如图，在菱形 中，对角线，相交于点，点， 在对角线上，且， 。求证： 四边形 是正方形。 证明： 四边形 是菱形， ，， 。 ，， 四边形 是菱形。 ，，即 ， 四边形 是正方形。 46 10.教材例题变式[2025宿州期中改编]如图，正方形的对角线， 相交于点，， 。 47 （1）求证：四边形 是正方形。 证明：， ， 四边形 是平行四边形。 在正方形中，， ， ， 四边形 是正方形。 48 （2）若，则点到边 的距离为____。 1.5 【解析】 如图，连接并延长，交于点 ， 交于点，由（1）知，四边形 是正方 形，。 四边形 是正方形， ，。 ， ， ，， 点到边 的 距离为1.5。 49 11.[2025株洲期末联考]如图，在矩形中，,分别是, 的中点， ，分别是, 的中点。 50 （1）求证： 。 解：证明： 四边形 是矩形， ， ， 又，分别是， 的中点， ， 四边形 是平行四边形， 。 51 （2）求证：四边形 是菱形。 解：证明：由（1）知，， ， 又，分别是，的中点， ， 四边形 是平行四边形。 连接 ， 四边形是矩形，，， 。 52 又，分别是，的中点， ， 四边形 是矩形。 是矩形的对角线，且是 的中点， ， 平行四边形 是菱形。 53 （3）矩形的边与满足什么数量关系时,四边形 为正方形? 请说明理由。 解：当时，四边形 为正方形。理由如下： ，, ， ， 矩形 是正方形。 为正方形对角线的中点， ， 又 四边形是菱形， 四边形 是正方形。 54 $