1.☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件核心围绕正方形判定，通过“作内嵌于正方形的正八边形”活动导入，结合古建筑藻井图案实例，先梳理判定定理（定义法、菱形/矩形基础判定等），再通过选择、填空、解答题巩固，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察图形嵌套，通过尺规作图（两种内嵌情形）和推理证明（如截去等腰直角三角形边长计算x=(2-√2)/2 a）培养几何直观与推理能力，用符号语言表达数量关系发展模型意识。分层练习和举一反三设计，助力学生深化理解，教师可提升教学效率与学生探究兴趣。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 1.☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学1.4.2正方形的判定专项练习题 核心知识点梳理：正方形的判定核心思路：先证平行四边形，再结合矩形、菱形的特殊条件判定；也可直接通过边、角、对角线条件直接判定。常用判定定理：1. 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；2. 菱形基础判定：有一个角是直角的菱形是正方形；3. 矩形基础判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；4. 对角线判定：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件能判定四边形为正方形的是（） A. 对角线相等的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 对角线相等且垂直的平行四边形 D. 有一个直角的四边形 2. 有一组邻边相等的________是正方形（） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 四边形 3. 下列说法正确的是（） A. 有一个角是直角的菱形是正方形 B. 四边相等的四边形是正方形 C. 有一组邻边相等的四边形是正方形 D. 对角线垂直的平行四边形是正方形 4. 平行四边形ABCD中，添加哪组条件可判定为正方形（） A. AB=BC，AC⊥BD B. ∠A=90°，AC=BD C. AB=BC，∠A=90° D. AC⊥BD，AC=BD 5. 既是矩形又是菱形的四边形一定是（） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 有一个角是直角的菱形是________。 2. 有一组邻边相等的矩形是________。 3. 对角线互相垂直且________的平行四边形是正方形。 4. 四边形对角线平分、相等且互相________，可直接判定为正方形。 5. 正方形的判定可总结为：兼具________和________的所有特殊性质的平行四边形。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 已知平行四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，求证：四边形ABCD是正方形。 2. 已知菱形ABCD中，∠A=90°，求证：该菱形为正方形。 3. 已知矩形ABCD中，AB=AD，求证：该矩形为正方形。 四、综合提升题（每题15分，共30分） 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，求证：四边形ABCD是正方形。 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，求证：四边形CEDF是正方形。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 解析：1.对角线相等且垂直的平行四边形，同时满足矩形、菱形条件，为正方形；2.矩形邻边相等即为正方形；3.四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；4.平行四边形邻边相等为菱形，有直角即为正方形；5.正方形是矩形和菱形的交集图形。 二、填空题：1.正方形 2.正方形 3.相等 4.垂直 5.矩形、菱形 解析：正方形是矩形与菱形的结合体，判定需同时具备矩形（直角、对角线相等）和菱形（邻边相等、对角线垂直）的核心条件。 三、基础解答题 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形。又∵∠ABC=90°，有一个角是直角的菱形是正方形，故四边形ABCD为正方形。 2. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四条边相等。∵∠A=90°，根据判定定理，有一个内角为直角的菱形是正方形，因此该四边形为正方形。 3. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四个角均为直角，对边相等。又AB=AD，即矩形一组邻边相等，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该四边形为正方形。 四、综合提升题 1. 证明：∵ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形。又AC⊥BD，矩形对角线互相垂直，满足菱形性质，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故ABCD为正方形。 2. 证明：∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠ACB=90°，∴∠DFC=∠DEC=∠ACB=90°，四边形CEDF是矩形。∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC，∴DE=DF。矩形有一组邻边相等，故矩形CEDF是正方形。 ☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 活动目标：利用正方形的边角性质、等腰直角三角形性质，掌握正方形内接正八边形的作图方法，理解图形镶嵌规律，综合运用矩形、正方形、特殊三角形知识解决几何作图与计算问题。 核心原理：正八边形八条边相等、八个内角均为135°。在正方形四个角各截去一个全等的等腰直角三角形，剩余图形即为正八边形。截去三角形后，原正方形的边剩余线段长度与截得的斜边长度相等，即可满足正八边形边长相等的核心要求。 精准作图步骤（尺规作图） 1. 作任意正方形ABCD，保证四边相等、四角为直角，标记四条边AB、BC、CD、DA； 2. 设正方形边长为a，在正方形的每条边上，截取两端相等的线段；即在AB边上截取AE=BF，BC边上截取BF=CG，依次类推，保证四条边截取的线段长度完全相等； 3. 分别过正方形四个角的截取端点，连接相邻边上的对应点，截去四个角的等腰直角三角形； 4. 去除四个边角三角形，正方形内部剩余的八边形，即为内嵌于正方形的正八边形。 关键推理证明 设正方形边长为a，每条边上截去的等腰直角三角形的直角边长为x，则正八边形的边长有两处：一是正方形边长剩余部分 $$a-2x$$，二是截去三角形的斜边长 $$\sqrt{2}x$$。根据正八边形边长相等，可得等式：$$a-2x=\sqrt{2}x$$，整理得 $$x=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$$，化简后 $$x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$$。此时八边形八条边全部相等，内角均为135°，符合正八边形定义。 活动探究习题 1. 基础计算题：已知正方形边长为4，内嵌正八边形，求截去的等腰直角三角形的直角边长和正八边形的边长。 2. 证明题：求证正方形截去四个全等等腰直角三角形后，所得八边形为正八边形。 习题参考答案 1. 解：由边长公式 $$x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$$，代入a=4，得 $$x=4-2\sqrt{2}$$。正八边形边长$$\sqrt{2}x=\sqrt{2}(4-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}-4$$。 2. 证明：① 边长相等：正方形四边截取全等等腰直角三角形，剩余各边线段长度相等，且所有斜边长度相等，故八边形八条边全部相等；② 内角相等：正方形内角90°，减去等腰直角三角形的45°角，剩余内角为135°，八个内角均相等。八方相等、八角相等，故此八边形为正八边形。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1. 认识正八边形内接于正方形的两种情形，掌握正八边形的对称性与边角特征，能推导其与正方形的边长、对角线之间的数量关系。 2.能运用尺规作图完成两种正八边形的绘制，体会数形结合与对称性在几何作图中的应用。 学习目标 2 在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案。 例如，图中的古建筑藻井图案就是一个正方形里面嵌套了正八边形。 探究新知 3 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗? 探究新知 理解问题 (1)正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形，请画出相应的草图。 有两种情形： 一种是正八边形八个顶点均在正方形的边上，如图1； 一种是正八边形的四个顶点在正方形的边上，如图2。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 图1 图2 探究新知 理解问题 (2)正八边形有哪些具体特征? 正八边形是轴对称图形和旋转对称图形(最小旋转角为45°)， 正八边形的八条边相等， 八个内角相等，均为135°， 八个外角相等，均为45°， 对角线互相平分且相等。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 拟定计划 (1)观察画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件。 例如，正八边形经过哪些特殊的点，图中的角、线段具有哪些确定的数量关系，具有哪些特殊的角，边长有哪些特点，等等。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 ①如图，当正八边形的八个顶点均在正方形的边上时， 正八边形经过正方形四条边的中点，这四个中点也是正八边形边的中点， 即 AM= EM，CM = MD，所以 AC= DE。 由正方形的性质可知∠BAC=90°，AO=OE，AO⊥OE。 因为∠ACB=∠ABC=45°，所以AB=AC。 设AB=AC=DE=a，则在Rt△ABC中，BC== a， 所以CD=BC= a，所以AE=AC+CD+DE=2a+ a 。 在Rt△AOE中，AO²+OE²=AE²，即2AO²=AE²。 所以AO=AE= (2a+ a)=a+ a。 因为AD=AC+CD=a+ a，所以AD=AO。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 ②如图，当正八边形的四个顶点在正方形的边上时， 此时令正八边形的四个顶点为正方形四边的中点， 因为∠DOC=45°， 所以另外四个顶点在正方形的对角线上，且OC=OD。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。 当正八边形的八个顶点均在正方形的边上时， 以正方形的各个顶点为圆心，对角线长的一半为半径画弧， 与正方形的四条边相交，共八个交点， 依次连接这八个交点即可得到所要作的正八边形。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。 ①作八个顶点均在正方形的边上的正八边形。 作法:如图，连接AC，BD交于点O； 以点A为圆心，AO的长为半径画弧， 分别交AD，AB于点E，F； 同理可得点M，N，G，H，P，Q； 依次连接E，Q，M，F，G，N，P，H，E。 正八边形EQMFGNPH 即为所求。 O A B C D E F M P H Q G N 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 拟定计划 (2)根据分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。 当正八边形的四个顶点在正方形的边上时， 可取正方形四条边的中点， 再以正方形对角线的交点为圆心，其边长的一半为半径画弧， 与正方形的对角线相交，共四个交点， 再依次连接这八个点即可得到所要作的正八边形。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 实施计划 请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形。 ②作四个顶点在正方形的边上的正八边形。 作法:如图，连接AC，BD交于点O； 作线段AD的垂直平分线EO，交AD于点E，交BC于点G； 作线段AB的垂直平分线FO，交AB于点F，交CD于点H； 以点O为圆心，OE长为半径画弧， 分别交OA， OB， OC，OD于点M，N，P，Q； 依次连接E，M，F，N，G，P，H，Q，E。 正八边形EMFNGPHQ即为所求。 O A B C D E F P H Q G N M 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法?这些方法各有什么特点? ①计算法作图:基于正方形作正八边形，先计算出 正八边形的边长与正方形的边长、对角线之间的数 量关系，然后依据计算结果作图。 如正八边形的八个顶点都在正方形的边上时，正方 形的边长是正八边形边长的(1+ )倍，正方形对角 线长的一半是正八边形边长的倍等。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法?这些方法各有什么特点? ②旋转对称作图：基于正方形与正八边形都是旋转对称图形，其中正方形的最小旋转角是90°，而正八边形的最小旋转角为45°，刚好是正方形最小旋转角的一半，故可借助正方形的四条对称轴进行作图。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 回顾反思 (2)在探索作图方法的过程中，你积累了哪些经验? 分析几何问题时，先明确关键数量关系(如线段、角等)，再将代数关系转化为尺规作图操作的依据。 充分利用对称性简化作图步骤。 同一问题可能有多种解法，根据需求选择合适的方法。 知识点 作内嵌于正方形的正八边形 探究新知 1.当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的四条边上时，我们称这个矩形为菱形的内嵌矩形。如图，已知菱形ABCD，请用尺规作出它的一个内嵌矩形。 第一种作法： 如图1，分别以点A，C为圆心，小于AD的长为半径作圆，分别与AD，AB，BC，CD相交于点E，F，G，H； 顺次连接E，F，G，H，E。 矩形EFGH即为所求作的图形。 A B C D 图1 E H F G 探究新知 1.甲、乙两名同学在学习“作内嵌于正方形的正八边形”的活动中，分别 画出了如下两种草图进行分析： （1）①如图①，求证： ； 举一反三 18 证明：连接 ，如图①。 由正八边形可知 ， 由正方形可知 ， ， ， 。 举一反三 19 ②如图②，求证： 。 [答案] 连接 ，如图②。 易知 ， ，即 。 举一反三 20 （2）根据两种草图思路，分别画出正方形的内嵌正八边形（尺规作图： 保留作图痕迹，不写作法）。 解：方法一：如图③。 方法二：如图④。 返回 举一反三 21 2.阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应 的任务。#1 作矩形的最大内接菱形的方法 顶点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形。在实践活动课上， 数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内 接菱形”。实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法。 方法一：通过对折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪 一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形 （如图①），则四边 形是矩形 的内接菱形。 举一反三 22 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两 两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形 也是矩形 的内接菱形（如图②）。 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线 的垂直平分线 ，与边交于点，与边交于点，连接， ，则四边形 是矩形 的内接菱形。 续表 举一反三 23 将实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析、讨论、计算、对 比，从而得出矩形的最大内接菱形。 _________________________________________________________________________________________________ 续表 举一反三 24 任务： （1）图①菱形的面积与矩形 的面积之比为_____； （2）尺规作图：请你在图③中完成日记中的“方法三”的作图过程 （保留作图痕迹）； 解：如图①，四边形 即为所求。 举一反三 25 （3）若在矩形中，， ，请你根据日记中三种方 法，通过计算求出此矩形内接菱形面积的最大值。 解：方法一：菱形的面积矩形的面积 ； 方法二：如图②， 举一反三 26 由题意知 ， 。 在和 中， ，，， ， 。 设，则 。 在中， ， ， ， 举一反三 菱形的面积 。 方法三：同方法二， 。 ， 此矩形内接菱形面积的最大值为60。 返回 举一反三 谢谢观看 THANKS $