第一章 特殊平行四边形【章末复习】-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理特殊平行四边形单元知识，以矩形、菱形、正方形为核心，通过从属关系图呈现与平行四边形的逻辑递进，用性质判定对比表明确图形特性，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于结合易错点辨析与分层训练，如通过“对角线垂直的四边形是否为菱形”纠正认知误区培养推理意识，设计选择、填空到证明的习题链，融入方程思想、转化思想例题提升数学思维，助力教师精准复习，促进学生知识巩固与应用。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 章末总结 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 第一章 特殊平行四边形 章末复习 本章在平行四边形的基础上，重点学习矩形、菱形、正方形三种特殊平行四边形的性质与判定，是初中几何证明、计算的核心考点。三类图形层层递进、相互关联，正方形兼具矩形与菱形的所有性质，复习核心为区分图形性质、熟记判定定理、理清图形从属关系。 一、核心知识框架与从属关系 1. 从属关系：正方形 ⊂ 矩形、正方形 ⊂ 菱形；矩形、菱形 ⊂ 平行四边形 2. 通用性质：所有特殊平行四边形均具备平行四边形的基础性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形。 二、三大图形性质汇总（高频考点） 1. 矩形（特殊平行四边形，四个直角） 性质：① 角：四个内角均为90°；② 对角线：相等且互相平分；③ 对称性：轴对称（2条对称轴）、中心对称；④ 重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 菱形（特殊平行四边形，四边相等） 性质：① 边：四条边长度全部相等；② 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；③ 对称性：轴对称（2条对称轴）、中心对称。 3. 正方形（最特殊的平行四边形） 性质：兼具矩形、菱形全部性质。① 边：四边相等、邻边垂直、对边平行；② 角：四角均为90°；③ 对角线：相等、垂直、互相平分、平分内角；④ 对称性：4条对称轴，轴对称+中心对称；⑤ 可分割为多个全等等腰直角三角形。 三、三大图形判定定理汇总（解题核心） 1. 矩形的判定 ① 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；② 角判定：有三个角是直角的四边形是矩形；③ 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 2. 菱形的判定 ① 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；② 边判定：四条边相等的四边形是菱形；③ 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 3. 正方形的判定 核心思路：同时满足矩形+菱形核心条件。① 邻边相等的矩形是正方形；② 有一个角是直角的菱形是正方形；③ 对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；④ 四边相等、四角为直角的四边形是正方形。 四、易错点、易混点总结 1. 误区：对角线相等的四边形是矩形 ✘ 正解：对角线相等的平行四边形才是矩形 2. 误区：对角线垂直的四边形是菱形 ✘ 正解：对角线垂直的平行四边形才是菱形 3. 矩形独有：对角线相等；菱形独有：对角线互相垂直；正方形兼具两者 4. 直角三角形斜边中线定理仅适用于直角三角形，是矩形性质的重要推论 五、章末专项复习习题 （一）选择题 1. 下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 2. 菱形不具备的性质是（） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角线垂直 D. 轴对称图形 3. 有三个角是直角，且一组邻边相等的四边形是（） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 （二）填空题 1. 直角三角形斜边长为12，则斜边上的中线长为________。 2. 对角线互相平分、相等且垂直的四边形是________。 3. 既是轴对称又是中心对称，且有4条对称轴的特殊平行四边形是________。 （三）解答证明题 1. 已知平行四边形ABCD，对角线AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形。 2. 已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=AB，求证：该矩形为正方形。 3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC中点，求证：DE=DF。 六、习题参考答案与解析 （一）选择题 1.D 解析：正方形对角线相等且互相垂直，矩形仅对角线相等，菱形仅对角线垂直。 2.B 解析：菱形对角线互相垂直但不相等，对角线相等是矩形性质。 3.C 解析：三个直角可判定矩形，邻边相等的矩形是正方形。 （二）填空题 1.6 解析：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 2.正方形 解析：对角线平分→平行四边形，相等→矩形，垂直→菱形，既是矩形又是菱形为正方形。 3.正方形 解析：矩形、菱形仅有2条对称轴，正方形有4条对称轴。 （三）解答证明题 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。又AC⊥BD，∴BD垂直平分AC，AB=BC，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故ABCD为菱形。 2. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB。又OA=AB，∴OA=OB=AB，△AOB为等边三角形，∠AOB=60°。可推得邻边相等，有一组邻边相等的矩形是正方形。 3. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠C=90°，AB=BC。∵E、F为中点，∴AE=CF。∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形的性质 菱形的判定 矩形的性质 矩形的判定 正方形的性质 正方形的判定 探究新知 知识点1 特殊的平行四边形 1.定义： 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形。 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。 探究新知 知识点1 特殊的平行四边形 2.四边形之间的关系 四边形 平行四边形 梯形 矩形 菱形 正方形 探究新知 知识点1 特殊的平行四边形 3.菱形、矩形、正方形的对称性 图形 对称性 对称轴 对称轴条数 对角线所在直线 过对边中点的直线 对角线所在直线及过对边中点的直线 2条 2条 4条 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 探究新知 知识点2 菱形的性质与判定 菱形的其他特殊性质： (1)菱形的每条对角线都平分一组对角。 (2)菱形被对角线所分成的四个直角三角形全等。 1.菱形的性质 A C B D O 探究新知 知识点2 菱形的性质与判定 2.菱形的面积 菱形的面积： 方法一：菱形的面积 = 底×高。 S菱形ABCD=BC·AE。 方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半。 S菱形ABCD=AC·BD。 A B C D E O 探究新知 知识点2 菱形的性质与判定 3.菱形的判定 判定方法 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形是菱形。 ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形。 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形。 探究新知 知识点2 菱形的性质与判定 四条边 。 对角线互相 。 有一组邻边 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 探究新知 知识点3 矩形的性质与判定 矩形的其他性质： 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 1.矩形的性质 A B D C O 探究新知 知识点3 矩形的性质与判定 2.矩形的判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴□ABCD是矩形。 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 A B D C O 探究新知 知识点3 矩形的性质与判定 有三个角是 。 对角线 。 有一个角是 。 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 探究新知 知识点3 矩形的性质与判定 3. 直角三角形斜边上中线的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO为AC上的中线， ∴BO=AC。 C B A O 探究新知 知识点4 正方形的性质与判定 1.正方形的性质 A B C D O 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 探究新知 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 探究新知 知识点4 正方形的性质与判定 2.正方形的判定 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 定理4：对角线相等的菱形是正方形。 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。 A B C D O 探究新知 知识点4 正方形的性质与判定 3.中点四边形 定义:顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。 如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。 探究新知 知识点4 正方形的性质与判定 3.中点四边形 形状：中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。 原四边形对角线关系 不相等 不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 图示 平行四边形 菱形 矩形 正方形 探究新知 核心考点巩固 考点1 菱形的性质与判定 1.在菱形中，对角线，相交于点 ，下列结论中不一定正确 的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 19 2.[西工大附中期中] 如图，四边形 是菱 形，，，于点 ，则 的长是( ) C A. B.6 C. D.12 返回 考试考法 20 3.在中，对角线,相交于点，且平分 。若 ,的周长为16，则对角线 的长为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 21 4.如图，在中，点在上， ， 的平分线交于点，连接 。求证：四 边形 是菱形。 考试考法 22 证明： 四边形 是平行四边形， 。 。 平分， ， ， 。 ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， 又, 四边形 是菱形。 返回 考试考法 23 5.[佛山期末] 如图，在中，对角线的垂直平分线与边 ， 分别相交于点， 。 （1）求证：四边形 是菱形； 考试考法 24 解：证明：在中， , 。 对角线的垂直平分线与边，分别相交于点， ， ， , ， ， ， 四边形 是平行四边形。 又, 四边形 是菱形。 考试考法 25 （2）若,, ，求 的长。 解： 四边形是菱形，, ， 。 ， ， 即，解得 。 的长为1.6。 返回 考试考法 26 考点2 矩形的性质与判定 （第6题） 6.如图，过矩形对角线的交点 ，且分别 交，于， ，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 27 （第7题） 7.如图，在矩形中，对角线, 相交于 点，点,分别是,的中点， , ，则 的周长为( ) D A.6 B.7 C. D. 返回 考试考法 28 8.[广州中考] 如图，菱形 的面积为10，点 ，，，分别为，，， 的中点， 则四边形 的面积为( ) B A. B.5 C.4 D.8 返回 考试考法 29 9. 如图，点在 的边 上， ，请从以下三个选项中，选择 一个合适的选项作为已知条件，使 为矩 形。 ；； 。 （1）你添加的条件是____________（填序号）； ①（或） 考试考法 30 （2）添加条件后，请证明 为矩形。 证明：（添加条件 ） 四边形 是平行四边形， ， 。 在和中， 。 。 ， 。 考试考法 31 。 为矩形。 （添加条件 ） 四边形 是平行四边形， ， 。 在和中， 。 。 考试考法 ， 。 。 为矩形。 返回 考试考法 考点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （第10题） 10. 如图，一个长的梯子 斜靠在 与地面垂直的墙上，为的中点，当梯子的一端 沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时， 的 长( ) D A.先增大，后减小 B.逐渐减小 C.逐渐增大 D.不变 返回 考试考法 34 （第11题） 11.如图，菱形的对角线，交于点，过点 作于点，连接，若， ，则 的长为( ) D A.2.5 B.2 C.3.5 D.3 返回 考试考法 35 考点4 正方形的性质与判定 12.满足下列条件的四边形一定是正方形的是( ) D A.对角线互相平分的四边形 B.有三个角是直角的四边形 C.有一组邻边相等的平行四边形 D.对角线相等的菱形 返回 考试考法 36 （第13题） 13.如图，正方形的对角线,交于点, 为边 上一点，且，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 37 （第14题） 14.如图，在边长为4的正方形中，是边 上 一点，是边延长线上一点，连接，， 平 分，交于点,连接。若 ， 则 ( ) D A.2 B. C. D. 返回 考试考法 38 15. 科技的发展提升了我们的生 活品质。如图是某公司生产的正方形玻璃清 理机器人，当机器人到达玻璃窗的边沿清理 时，机器人的顶点，分别在玻璃框 ， 上，玻璃窗的顶角 ，， 。机器人 的型号和相关数据如下，则此次参与清理的机器人是哪一种型号？ 考试考法 39 型号 对角线长 5001 5030 5075 6010 考试考法 解：如图，连接 ， 在 中， ， , 。 四边形 为正方形， ， 。 在 中， 考试考法 41 由勾股定理，得 , 由机器人的型号和相关数据可知，此次参与清理的机器人的型号是5030。 返回 考试考法 16. 如图，的对角线,交于点 ，分别以 点,为圆心，,的长为半径画弧，两弧交于点，连接, 。 考试考法 43 （1）试判断四边形 的形状，并说明理由。 解：四边形 是平行四边形。理由如下： 的对角线,交于点 ， , 。 由题意可知, ， , 。 四边形 是平行四边形。 考试考法 44 （2）当的对角线满足什么条件时，四边形 是正方形？请 说明理由。 解：当，且时，四边形 是正方形。 理由：， 。 为矩形。 ,, , 。 矩形 为正方形。 返回 考试考法 45 思想方法演练 思想1 方程思想 17.将一张矩形纸片（四边形 ）按如图所示的 方式折叠，使点落在上的点处，折痕为 ， 点落在点处，交于点。若 ， ，，则 __。 返回 考试考法 46 思想2 转化思想 18.［教材习题变式］ 如图，正方形 的 对角线相交于点，点也是正方形 的一个 顶点，如果两个正方形的边长都等于1,那么正方形 绕顶点 旋转，两个正方形重叠部分 （阴影部分）的面积大小有什么规律？请说明理由。 考试考法 47 解：两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积保持不变，始终是 。理 由如下： 四边形 是正方形， , , 。 四边形 是正方形， 。 。 , 考试考法 48 即 。 。 。 两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积等于 。 , ,即两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积 保持不变，始终是 。 返回 考试考法 谢谢观看 THANKS $