第一章 特殊平行四边形【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的定义、性质、判定及综合应用，以“定义→性质→判定→应用”为核心逻辑，通过图形从属关系图和对比表格串联知识点，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“知识梳理-例题解析-变式训练-思想方法”的复习模式，如菱形性质证明题培养推理能力，吊灯框架情境题发展模型意识，分层设计（基础过关、拓展提升）满足不同学生需求，助力学生巩固知识，教师精准把握学情。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 章末复习 第一章 特殊平行四边形 第一章 特殊平行四边形（全章精编总讲义） 本章为九年级几何核心重点，在普通平行四边形基础上，深入学习菱形、矩形、正方形三种特殊平行四边形的定义、性质、判定及几何拓展应用。本章以「定义→性质→判定→综合应用」为核心逻辑，计算题、证明题、探究作图题高频考查，是中考几何基础与综合大题必考模块。 1.1 认识特殊的平行四边形 一、知识铺垫：普通平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。核心特征：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称。 二、三种特殊平行四边形定义 1. 矩形：有一个角是直角的平行四边形。 2. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。 3. 正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 三、图形从属关系（必考） 平行四边形 ⊃ 矩形、菱形 ⊃ 正方形 1. 矩形、菱形、正方形都具备平行四边形所有性质； 2. 正方形是最特殊的平行四边形，兼具矩形、菱形全部性质； 3. 矩形不一定是菱形，菱形不一定是矩形，仅正方形二者兼具。 1.2 菱形（性质与判定） 第1课时 菱形的性质 1. 核心性质 ① 边：对边平行，四条边全部相等； ② 角：对角相等，邻角互补（无直角特性）； ③ 对角线：互相平分、互相垂直、平分每一组对角； ④ 对称性：中心对称、轴对称（2条对称轴）。 2. 专属面积公式 $$S=\text{底}\times\text{高}$$ 、 $$\boldsymbol{S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot BD}$$（对角线乘积的一半） 3. 重要推论 ① 对角线将菱形分成四个全等的直角三角形； ② 有一个内角为60°的菱形，短对角线与边长相等，存在等边三角形。 第2课时 菱形的判定 三大判定定理（择优使用） 判定1（定义法）：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 判定2（边判定）：四条边相等的四边形是菱形（无需证平行）； 判定3（对角线判定）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 致命易错点 对角线互相垂直的任意四边形不一定是菱形，必须先为平行四边形！ 1.3 矩形（性质与判定） 第1课时 矩形的性质 1. 核心性质 ① 边：对边平行且相等，邻边垂直； ② 角：四个角都是90°直角； ③ 对角线：互相平分、相等（不垂直，正方形除外）； ④ 对称性：中心对称、轴对称（2条对称轴）。 2. 黄金推论（必考） 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 面积公式 $$S=\text{长}\times\text{宽}$$（不可用对角线乘积一半） 第2课时 矩形的判定 三大判定定理 判定1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 判定2（角判定）：有三个角是直角的四边形是矩形（无需证平行）； 判定3（对角线判定）：对角线相等的平行四边形是矩形。 易错点 对角线相等的四边形不一定是矩形，必须满足平行四边形前提。 1.4 正方形（性质、判定及拓展作图） 第1课时 正方形的性质 正方形=特殊矩形+特殊菱形，集齐所有特殊四边形性质。 1. 核心性质 ① 边：对边平行，四条边全部相等； ② 角：四个角都是直角； ③ 对角线：互相平分、相等、垂直、平分每组对角（四合一）； ④ 对称性：中心对称、轴对称（4条对称轴）。 2. 重要推论 ① 对角线分正方形为四个全等等腰直角三角形； ② 对角线与边夹角为45°； ③ 边长与对角线关系：$$\text{对角线}=\text{边长}\times\sqrt2$$。 3. 面积公式 $$S=a^2$$ 、 $$S=\dfrac{1}{2}AC^2$$ 第2课时 正方形的判定 核心口诀：既是矩形，又是菱形，即为正方形。 四大判定方法 1. 定义法：一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形； 2. 矩形升级：邻边相等 / 对角线垂直的矩形是正方形； 3. 菱形升级：有一个直角 / 对角线相等的菱形是正方形； 4. 直接判定：四边相等且四角为直角的四边形是正方形。 终极对角线判定 对角线相等、垂直、互相平分的四边形是正方形。 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1. 作图原理 在正方形四个角落截去四个全等的等腰直角三角形，当正方形边剩余线段长=截角斜边长时，得到正八边形。 2. 标准作图步骤 ① 设正方形边长为$$a$$，计算截取直角边长 $$x=\dfrac{2-\sqrt2}{2}a$$； ② 在正方形每条边两端向内截取长度为$$x$$的线段，得到8个顶点； ③ 顺次连接8个顶点，截去四角等腰直角三角形，所得图形即为正八边形。 3. 核心公式 截取直角边长：$$x=\dfrac{2-\sqrt2}{2}a$$ 正八边形边长：$$l=(\sqrt2-1)a$$ 4. 关键易错点 仅截去全等等腰直角三角形，不一定是正八边形；必须满足边长相等条件才成立。 全章核心对比总结（考前必背） 图形 独有边、角性质 对角线特征 对称轴数 平行四边形 对边平行相等、对角相等 互相平分 0条 菱形 四边相等、无直角 垂直、平分对角 2条 矩形 四角直角、四边不等（一般） 相等 2条 正方形 四边相等、四角直角 平分、相等、垂直、平分对角 4条 全章高频通用易错点 1. 所有特殊四边形判定，优先看是否为平行四边形，避免缺少前提扣分； 2. 菱形对角线垂直不等，矩形对角线相等不垂直，正方形兼具二者； 3. 只有菱形、正方形可用「对角线乘积一半」求面积，矩形不可用； 4. 正方形判定必须同时满足矩形、菱形核心条件，缺一不可； 5. 正八边形作图关键是边长等量关系，而非单纯对称截取。 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、矩形、正方形的性质 条件 ①定义：有一个角是直角的平行四边形. ②定理1：对角线相等的平行四边形. ③定理2：三个角是直角的四边形. ①定义：一组邻边相等的平行四边形. ②定理1：四条边都相等的四边形. ③定理2：对角线互相垂直的平行四边形. ①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③有一个角是直角的菱形. 二、菱形、矩形、正方形的判定方法 考点一 菱形的性质和判定 例1 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE． A D C B F E 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD， CA 平分∠BCD． ∴∠BCE =∠DCE． 又 CE = CE，∴△BCE≌△DCE (SAS)． ∴∠CBE =∠CDE． ∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． 证明：在 △AOB 中， ∵ AB = ，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形. A B C O D 【针对训练】 考点一 菱形的性质和判定 2. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由. A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下： 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F. 由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形. 则 S□ABCD = AD · CF = AB · CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB. ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 考点一 菱形的性质和判定 考点二 矩形的性质和判定 例2 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E. （1）求证：BD = BE； （2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积. A B C D O E (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，AB∥CD. 又∵ BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴ AC = BE. ∴ BD = BE. (2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4， ∴ BD = 2BO = 2×4 = 8. ∵∠DBC = 30°， ∴ CD = BD = ×8 = 4， ∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8. 在 Rt△BCD 中， BC = ∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = . A B C D O E 考点二 矩形的性质和判定 例3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E． 求证：四边形 AODE 是菱形. 证明：∵ AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OC = OD. ∴四边形 AODE 是菱形. 考点二 矩形的性质和判定 【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴∠BOC = 90°. ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 CEBO 是平行四边形. ∴四边形 CEBO 是矩形. D A B C E O 考点二 矩形的性质和判定 考点二 矩形的性质和判定 3. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB. ∵ AN＝CM，ON＝OB， ∴ ON＝OM＝OD＝OB. ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD. ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形． 考点1 菱形的性质与判定 1. [2025内江] 按如下步骤作四边形 （如图）：（1）画；（2）以点 为 圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交 D A. B. C. D. ，于点，;（3）分别以点和点 为圆心，1个单位 长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，， .若 ，则 的度数是( ) 考试考法 12 【点拨】根据作图可得， 四边形 是菱形.， 又 ， . 返回 考试考法 13 2. 小颖买了一盏简单 而精致的吊灯（图①），其正面 的平面图如图②所示，四边形 （1）求证：四边形内部框架 为菱形; 是一个菱形外框架，对角线，相交于点 ，四边 形是其内部框架，且点，在上， . 考试考法 14 【证明】 四边形 是菱形， ,, . , . 四边形 是平行四边形. , 平行四边形 是菱形. 考试考法 15 （2）若，为 的 中点， ，求四边形 的周长. 考试考法 16 【解】, 是直角 三角形. 为的中点， . 四边形 是菱形， . 四边形 为菱形, . 考试考法 17 在中， , . 菱形的周长为 . 返回 考试考法 考点2 矩形的性质与判定 3. 如图，在矩形中，，垂足为 ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 19 4.如图，菱形的对角线，相交于点，过点 作 ，且，连接 . （1）求证：四边形 为矩形； 考试考法 20 【证明】 四边形 是菱形， ， . ， . , 四边形 是平行四边形. 又 ， 平行四边形 是矩形. 考试考法 21 （2）若，，求菱形 的面积. 【解】 四边形是菱形，， ， 菱形的面积 . 返回 考试考法 22 考点3 直角三角形斜边上的中线的性质 5.如图，在矩形中，点在边上，点是 的中点， ，，则 的长为_____. （第5题） 考试考法 23 （第5题） 【点拨】 四边形是矩形， , , , ，点是 的中点， . , . 返回 考试考法 24 （第6题） 6.如图，四边形 中， ， ，连接 ，是的中点，连接， .若 的面积为32，则 的长为____. 16 考试考法 25 （第6题） 【点拨】 ，是 的中点， ， ， ， ， .， . 返回 考试考法 26 考点4 正方形的性质与判定 7. 如图，在边长为4的正方形 中，点 是上一点，点是 延长线上一点， 连接，，平分交于点 . 若，则 的长度为( ) D A. 2 B. C. D. 考试考法 27 【点拨】连接， 四边形 是正方 形， ， . .在和中，，平分 ， 考试考法 28 .在和 中， .设 ，则 ， .在 中，根据勾股定理，得 ， 考试考法 即 ，解得 . . 返回 考试考法 8. 如图，已知四边形 为正方形，,点 为对 角线上一动点，连接,过点 作 ,交于点,以， 为邻 边作矩形,连接 . （1）求证：矩形 是正方形. 考试考法 31 【证明】作于,于 , 则 . 易知 ， 四边形 是 矩形. .易知 , . 点是正方形对角线上的点， . 又，， . 考试考法 32 又， ， . 又 四边形 是矩形， 矩形 是正方形. 考试考法 （2）探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定 值；若不是，请说明理由. 考试考法 34 【解】 的值是定值，为6. 四边形和四边形 都为正 方形, , , . , . . ，是定值． 考试考法 35 （3）直接写出 的最小值. 【解】 的最小值等于3. 返回 考试考法 36 思想1 方程思想 9. [2025泰州期末] 如图，已知正方形纸 片的边长为12.现将正方形纸片沿 折叠，使得点折到边上的 点，且折痕 ，则 的长为____. 考试考法 37 【点拨】如图，过点作 ，垂足为 正方形纸片 的边长为12， , , 在 中， .连 接，易知, . , ,又易知 考试考法 38 ， ， , .设 ,由翻折的性质可知 ,则 在 中，由勾股定理得 ,即 , 解得. . 返回 考试考法 思想2 分类讨论思想 10. 如图，在中， ， ， .点从点 出发沿 方向以每秒2个单位长度的速度向点 匀 速运动，同时点从点出发沿 方向以每 秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，当其中一个点到达终 点时，另一个点也随之停止运动.设点， 运动的时间是 .过点作于点，连接， . 考试考法 40 （1）求证：四边形 是平行四边形. 【证明】由题意得， . 在中， ，， ， . ， ， 四边形 是平行四边形. 考试考法 41 （2）四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的 值； 如果不能，请说明理由. 考试考法 42 【解】四边形 能成为菱形. 在中， ， ， 易得 . . . 考试考法 43 由（1）知四边形 为平行四边形， 若使 为菱形，则需 . ，解得 . 当时，四边形 为菱形. 考试考法 （3）当为何值时， 为直角三角形？请直接写出结果. 【解】当或4时， 为直角三角形. 考试考法 45 【点拨】根据题意，分三种情况讨论： ①当 时，如图①所示， ， ， ， . ，即 .解得；②当 时，由题意可知 此种情况不存在；③当 时，如图②所示，由（1） 考试考法 46 知四边形 是平行四边形， ， . ， . ，解得 .综上所述，当 或4时， 为直角三角形. 考试考法 $