第26章《二次函数》复习题--二次函数的图像和性质、方程与不等式- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图像性质与综合应用，通过11类题型系统构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼待定系数法、对称转化等核心方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像和性质|3题|开口/对称轴/顶点判断|从解析式到图像特征的直观认知| |图像与系数关系|3题|a/b/c符号推导|代数系数与几何图像的关联推理| |最值/最短路径|各3题|顶点法/对称转化|函数性质在实际问题中的模型应用| |方程与不等式|各3题|图像法解不等式|函数与方程思想的综合迁移|

第26章《二次函数》复习题--二次函数的图像和性质、方程与不等式 题型一：二次函数的图像和性质 1.已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．与轴的交点坐标 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 2.关于二次函数的性质，下列说法错误的是（   ） A．该函数图象的开口向上 B．该函数图象的对称轴是 C．该函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 3.在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（   ） A．图象顶点坐标为，对称轴为直线 B．的最小值为5 C．当时，的值随值的增大而减小 D．抛物线与轴的交点坐标为 题型二：二次函数的图像和性质 1.已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： … … … … (1)求二次函数解析式； (2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________． 2.已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 3.二次函数的部分图象如图， 其中图象与轴交于点， 与 轴交于点， 且经过点． (1)求此二次函数的解析式 (2)图象过三点， 比较的大小．（用 <连接） (3)直接写出不等式的解集； 题型三：二次函数图像和系数的关系 1.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出以下结论： ①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则；⑤当时，， 其中正确的结论是（    ）．（填写代表正确结论的序号） A．②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①②⑤ 2.已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：①；②；③；④；⑤，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.抛物线与轴交于点，其对称轴是，结合图象分析下列结论：①；②；③一元二次方程的两根分别为；④；⑤若两点在二次函数图象上，则；⑥；其中正确的结论有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型四：一次函数与二次函数的交汇问题 1.在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数（）和二次函数（）的图象大致为（    ） A．B．C． D． 题型五：二次函数的对称性问题 1.二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 3.抛物线图象上有三点，，．其中，，，以下说法正确的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．若，、、三点在对称轴的同一侧 C．当，存在 D．当，总有 题型六：二次函数的最值问题 1.若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 2.已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 3.已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 题型七：二次函数的最短路径问题 1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 2.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    3.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 题型八：二次函数的平移问题 1.抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 2.把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ． 3.已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 题型九：求二次函数解析式问题 1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． (1)已知抛物线顶点为，且过点； (2)已知抛物线经过点和． 2.求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点，和； (2)图象顶点坐标为，且经过点． 3.已知是的二次函数，与的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_____． (3)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为_____． 题型十：二次函数与一元二次方程 1.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2.如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（   ） A． B． C． D． 题型十一：二次函数和不等式问题 1.二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 2.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C． D． 3.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案 题型一：二次函数的图像和性质 1.C 【详解】解：抛物线， 抛物线的开口向下上， 故选项A错误； 令，则， 与轴的交点坐标为， 故选项B错误； 令，则， 即， ， 抛物线与轴有两个交点， 故选项C正确； 抛物线的顶点坐标为， 故选项D错误 故选：C ． 2.D 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，二次函数有最小值， 当时，随的增大而增大， 故A，B，C选项说法正确，不符合题意， D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3.D 【详解】解：A、图像顶点坐标为，对称轴为直线，原说法正确，不符合题意； B、的最小值为，原说法正确，不符合题意； C、当时，的值随的增大而减小，原说法正确，不符合题意； D、当，，抛物线与轴的交点坐标为，原说法错误，符合题意； 故选： D． 题型二：二次函数的图像和性质 1.（1）解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． （2）解：二次函数解析式为，图像如图所示， 函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为，符合题意． （3）解：当时，根据（2）中图示可知， 当时，；当当时，；当时，． ∴当时，． 2.（1）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的开口向下， ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 3.（1）将、、分别代入中得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）将分别代入中得， ，，， ； （3）令二次函数得，， 解得， ∴二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为， ∴的解集为或． 题型三：二次函数图像和系数的关系 1.C 【详解】解：由图象可知，，，， ，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线对称轴为，与轴交于， ，， ，， ，故③正确； 、为函数图象上的两点， ，故④错误； 抛物线对称轴为，与轴交于， 抛物线与轴另一个交点是 由图象可知，时，，故⑤正确． 综上，正确的有②③⑤， 故选：C． 2.C 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，， 由函数的对称轴， 则， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵，对称轴在y轴左侧，， 则， 图象与y轴交于负半轴，则， 故；故②正确； ③当时，，③正确； ④当时，，④错误； ⑤当时，，⑤错误； 故正确的有①②③，共3个． 故选：C． 3.C 【详解】解： ∵抛物线与x轴一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另外一个交点坐标为， ∴时，， ∴，故①正确，符合题意． ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意． ∴，故⑥正确，符合题意． ∵抛物线与x轴交点为， ∴的两根分别为，故③正确，符合题意． ∵抛物线顶点在x轴上方， ∴，故④正确，符合题意． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意． 综上所述，①③④⑤⑥符合题意． 故选：C． 题型四：一次函数与二次函数的交汇问题 1.C 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 2.A 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，但图象过点，求得，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：A． 3.D 【详解】A、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； B、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； C、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故不符合题意； D、由直线可知，，，由抛物线可知，，，故符合题意； 故选：D． 题型五：二次函数的对称性问题 1.A 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2.A 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 3.C 【详解】A．抛物线为，故对称轴为，故A错误； B．抛物线开口向下（），对称轴为．左侧（）函数递增，右侧（）函数递减．若，可能存在三点分布在对称轴两侧的情况．例如，在左侧，、在右侧，此时最大，最小，与条件一致，故三点未必在同一侧，故B错误； C． 当时，存在．例如：，取，，，计算得，，，满足，故C正确； D． 当时，并非总有．例如：，取，，，计算得，，，此时，不符合题意，故D错误． 综上，正确答案为C． 题型六：二次函数的最值问题 1. 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 2.1 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 3. 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵，， ∴当时，取最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 题型七：二次函数的最短路径问题 1. 【详解】解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 2. 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 3. 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 题型八：二次函数的平移问题 1. 【详解】解：∵， ∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 2.且 【详解】解：∵二次函数向上平移k个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点， ∴且， 解得且， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 3. 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为∵， ∴， 故答案为：． 题型九：求二次函数解析式问题 1.（1）解：设抛物线解析式为， 由抛物线顶点为，得， 由抛物线过点，得， 解得， ； （2）解：将点和代入抛物线， 得， 解得， ． 2.（1）解：由题意，设二次函数的表达式， 把，和代入得：， ． 二次函数的表达式． （2）解：由题意，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． 3.（1）解：由表格得，抛物线的顶点为， 设函数关系式为， ∵该二次函数过，则， 解得：， 二次函数的表达式为． （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 又开口向上， 图象上的点到对称轴的距离越大，函数值也越大， ， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为． 故答案为：． （3）解：由（1）得抛物线的顶点为， 点关于直线的对称点为， 该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为． 故答案为：． 题型十：二次函数与一元二次方程 1.B 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：； 故选：B． 2.B 【详解】解：二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线， 二次函数（为常数）的图象与x轴的一个交点为， 二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 故选：B． 3.B 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴当或时，，即方程的根为． 故选B． 题型十一：二次函数和不等式问题 1.C 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故选：C． 2.D 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴直线与抛物线交于点，两点， 图象如图所示， 当时，， ∴的解集是， 故选：D． 3.B 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与x轴没有交点， ∴，，故①正确，②错误； 把点代入，得： ， ∴，即，故③正确； ∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④错误； 如图， 设过点的直线的解析式为， ∴，解得：， ∴过点的直线的解析式为， 观察图象得：当时，抛物线的图象位于直线的下方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，正确个数为3个， 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $