第26章二次函数重难点精练卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心知识，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、对称轴、顶点坐标|单选题1-3直接考查概念，填空题11-13强化计算，夯实基础| |中档|图像性质、解析式求法|单选题4-6结合图像分析系数，解答题17-19综合性质应用，提升推理能力| |拔高|动态几何、实际建模|单选题9-10涉及动点问题，解答题21-22联系销售与喷水场景，发展应用意识|

第26章二次函数重难点精练卷 一、单选题 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．已知抛物线经过和两点，则的值为（   ） A．0 B．4 C．8 D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 6．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．当时，随的增大而增大 C．若点，在抛物线上，则 D．抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线 7．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知点，，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 10．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．若抛物线经过点、、， 则______________ 12．点，在二次函数的图象上，则_______ （用“、、”填空） 13．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为___________． 14．已知二次函数 的图象开口向下，且与轴交于、两点．若点在该函数图象上，且，则的取值范围是__． 15．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 _______ 米． 16．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面表格； x … … y … … 根据表格提供的信息，有下列结论：①该抛物线的对称轴是直线；②该抛物线与轴的交点坐标是；③；④若点是抛物线上一点，则．则所有正确结论的序号是___________． 三、解答题 17．已知二次函数的图像经过点． (1)求的值； (2)将化成的形式． 18．我市某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元． (1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若当天销售利润为元，求当天销售单价； (3)若每件文具的利润不超过进价的，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 19．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)若点在该二次函数的图象上，且，比较的大小． 20．已知二次函数（为常数）的图象交轴于点． (1)求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，若点，都在该二次函数的图象上，且，求的最大值； (3)若，求的取值范围． 21．如图是某林场一处斜坡的截面示意图，其中为该斜坡坡面所在直线．、分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷水装置，喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流呈抛物线状），用于浇灌林场内种植的植物．当喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚处，此时水流最高点到的水平距离为米．已知米，米，米，点在上．以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水流所在抛物线的函数解析式； (2)若在距离喷水装置水平距离为米位置的斜坡上有一棵高为米的小树苗，小树苗与轴垂直，请你通过计算判断喷水装置此次喷出的水流是否会喷到 ． 22．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴； (2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C D C D B C C 1．C 【分析】本题考查二次函数的定义，需根据二次函数的定义（形如，其中、、为常数且的整式函数，自变量最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A选项：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义； B选项：，是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义； C选项：，符合（，，）的形式，是整式函数且自变量最高次数为2，属于二次函数； D选项：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，对于（），其对称轴公式为直线． 根据对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的性质作答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 根据待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 6．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，涉及顶点坐标、增减性、函数值比较及平移规律．关键要点：①二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线；②当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；③比较函数值可通过计算或点到对称轴的距离判断；④平移遵循“左加右减，上加下减”的规则． 【详解】解：对于选项A，∵二次函数， ∴顶点坐标为，A选项正确； ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，B选项正确； 将代入抛物线解析式得，；将代入得，，∵， ∴，故C选项错误； 抛物线向右平移1个单位，得平移后的解析式为，D选项正确； 故选：C． 7．D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 8．B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的连续二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 9．C 【分析】本题考查二次函数与线段的交点问题，需根据抛物线开口方向分类讨论，结合抛物线在线段范围内的取值、顶点坐标及与线段端点的位置关系分析，利用二次函数的性质求解． 【详解】解：∵线段的坐标为， ∴线段是直线上的部分 ∵抛物线，其对称轴为， 顶点纵坐标， 分情况讨论： 当时，抛物线开口向上， 若抛物线顶点在线段上，则，解得， 此时抛物线与线段只有一个公共点，符合条件； 抛物线过点，则，解得，抛物线过点，则，解得， ∵当时，时，抛物线的值均小于，故仅过A点，符合只有一个公共点的条件， 当时，时，抛物线，时抛物线，顶点， ∴抛物线从的降到顶点，再升到的，仅与线段AB有一个交点，符合条件； 当时，时抛物线，抛物线与线段有两个交点或无交点，不符合； 当时，抛物线在时，值均小于，与线段无交点，不符合； 当时，抛物线开口向下，在时，抛物线的值均大于0，与线段无交点，不符合； 综上，的取值范围是或， 故选：C． 10．C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 11． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，把点、、代入抛物线的解析式，解出，，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、、， 故代入得， 解得 故答案为：1． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的性质，开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 【详解】解：由函数，得对称轴为，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的平移问题，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得到；再向上平移1个单位长度，得到 ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数与坐标轴的交点，得出解析式为，结合开口方向，得出，结合点的坐标和，得出点在轴的上方，结合二次函数的顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， 故设函数式为，对称轴为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵点在该函数图象上，且， 故点在轴的上方， 即， 当时，， 即二次函数的顶点坐标为， 故； 故的取值范围是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． 令，求出对应的的值即可（舍去负值）． 【详解】解：令，可得， ， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴小朱本次投掷实心球的成绩为米． 故答案为：． 16． ①②④ 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．根据表格数据，利用二次函数的对称性、判别式及开口方向判断各结论的正确性． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，值均为， 根据二次函数的对称性，对称轴为直线， 故结论①正确； 当与时，图象上的对应点关于对称轴对称，且时， 故时， 即抛物线与轴交点为，结论②正确； 抛物线与轴有两个交点（值有正有负），故判别式，结论③错误； 由表格数据可知抛物线开口向下， ∴当时，y随着x的增大而减小，，抛物线与轴交点为， 故，结论④正确． 故答案为：①②④． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，将二次函数解析式化为顶点式，正确配方是解题的关键． （1）把代入即可求解； （2）利用配方法即可把一般式转化为顶点式． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：； （2）解：． 18．(1) (2)元或元 (3)每件文具售价为元时，最大利润为元 【分析】（1）根据当天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，直接写出与之间的函数关系式即可； （2）当时，得到关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先根据每件文具利润不超过进价的求出的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，继而利用二次函数的性质求解可得答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，得：， 解得：，， ∴要使当天的销售利润为元，当天的售价为元或元； （3）解：∵每件文具利润不超过， ∴， 解得：， ∴文具的销售单价为， 由（1）得：， ∵对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，且随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即每件文具售价为元时，最大利润为元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，不等式的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键． 19．(1) (2)此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配方成顶点式，即可求解； （3）由于该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向下，可得当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点． ∴，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵点在该二次函数的图象上，且， ∴． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，解一元二次方程，掌握二次函数与对应一元二次方程的关系是解题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）将代入，得到函数解析式，根据点和点纵坐标相等，可知两点关于对称轴对称，再根据函数开口方向，可知当，即时，的值最大，即可求解； （3）根据题意，可知为方程的两个不相等的实数根，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：， 二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：当时，函数解析式为，对称轴为直线， 点，都在该二次函数的图象上，且， 点和点关于二次函数对称轴对称， ， 二次函数开口向上，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大， 当，即时，的值最大，为． （3）解：根据题意，可知为方程的两个不相等的实数根， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的取值范围为． 21．(1)或； (2)喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （）由题意可得点的坐标为，水流所在抛物线顶点的横坐标为，然后利用待定系数法求解析式即可； （）先求出直线的函数解析式为，将分别代入和，求出的值，然后作差比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得点的坐标为，水流所在抛物线顶点的横坐标为，（米）， ∴点的坐标为， 设水流所在抛物线的函数解析式为， 将、代入上式，得， 解得， ∴水流所在抛物线的函数解析式为或； （2）解：由题意可得点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点、代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴喷水装置喷出的水流不会喷到小树苗． 22．(1)，，，对称轴为直线； (2)存在，的坐标为或； (3)，直线的解析式为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据函数图象点的坐标特点分别求解即可； （2）设，的中点，，根据，求出M点坐标即可； （3）由题意可知和的面积差为S，设点P的坐标为，则，当时，S有最大值为，此时，再求直线的解析式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：存在点M，使，理由如下： 设， ∵，， ∴的中点，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：∵和的面积差为S， ∴和的面积差为S， 设点P的坐标为， ∴的面积，的面积， ∴， 当时，S有最大值为，此时， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $