专题26.3 二次函数与一元二次方程《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程关系，通过7类题型系统训练，强化几何直观与推理意识，构建从基础到综合的知识应用逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线与x轴交点|4题|直接求交点坐标|从二次函数图象与x轴交点切入，建立函数与方程根的基础联系| |方程根的情况判断|5题|结合图象判断根的个数与值|通过图象特征推理方程根，强化数形结合思想| |x轴截线长计算|4题|求交点间距离|深化交点坐标应用，涉及韦达定理初步| |方程近似解|3题|利用函数值表估计根|培养数据分析与估算能力，衔接函数连续性| |不等式取值范围（图象）|4题|由图象确定x取值|从函数值符号过渡到不等式解集，体现函数与不等式联系| |不等式取值范围（代数）|5题|由函数值关系求参数范围|强化代数推理，提升符号意识| |两函数交点与不等式|5题|比较函数值大小求x范围|综合函数图象与交点，培养综合应用能力|

专题26.3 二次函数与一元二次方程（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型 1··抛物线与x轴的交点坐标 1 题型 2··利用二次函数的图象确定方程根的情况 2 题型3··求x轴与抛物线的截线长 5 题型 4·利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 题型 5··利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围 9 题型6··利用不等式求自变量或函数值的取值范围 11 题型 7··根据两函数交点确定不等式的解集 13 题型 1··抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 2．二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 3．抛物线与轴的左侧交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，在中，令，则，解得：，，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，则， 解得：，， 抛物线与轴的左侧交点坐标是， 故选：D． 4．抛物线与x轴的交点坐标为__________． 【答案】和 【分析】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标．令，解方程，得到x的值，从而确定与x轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得：，， 故抛物线与x轴的交点坐标为和． 故答案为：和 题型 2··利用二次函数的图象确定方程根的情况 5．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 6．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 7．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 8．二次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．此方程无解 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，直接根据图象即可确定方程的根，从而得出答案． 【详解】 由图象可知，当时， 故选B． 9．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．或0 B．或 C．3或 D．或1 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以得到函数的对称轴为直线，进而得到该函数与x轴的两个交点的坐标，从而可以写出一元二次方程的解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， 由图象可知：二次函数与x轴的一个交点为， ∴该函数与x轴的另一个交点为， ∴当时，对应的x的值为或1， 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型3··求x轴与抛物线的截线长 10．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 11．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 12．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 13．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________． 【答案】1 【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点横坐标，然后求出两点间的距离即可． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，坐标轴上两点间的距离公式，熟练运用公式是解题的关键． 题型 4·利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 14．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 15．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．通过观察表格中的值随的变化，发现当时值为，当时值为，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一个解的取值范围． 【详解】解：∵当时，； 当时，， 由对应的二次函数图象可知，x在范围内取某一个值时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 故选：C． 16．二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．熟练掌握表格确定函数值正负的自变量的值，二次函数的图像和性质，是解题的关键． 通过观察表格中函数值的正负变化，确定方程根所在的区间．当函数值由负变正时，对应的自变量区间内存在一个根． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根在之间． 故选：B． 题型 5··利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围 17．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 18．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 19．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 20．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线，则另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为和，抛物线开口向下， 当时，图象在轴的下方， ∴或， 故选：C． 题型6··利用不等式求自变量或函数值的取值范围 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 22．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质和解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键；先根据点 M 和 N 在函数图象上求出和的表达式，再代入不等式，并结合点 P 在函数上得到 p 的表达式，消去常数 d 后得到关于 k 的不等式组，解不等式组即可得到 k 的取值范围． 【详解】解：∵在二次函数 上， ∴． ∵在二次函数上， ∴． ∵， ∴． 又∵ 在二次函数上， ∴， 代入不等式得 ． 即 ． 解左边不等式 即， 因式分解得， 解得 或 ． 解右边不等式，即， 因式分解得，解得 ． 取交集，得或 ． 故答案为或 ． 23．已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 24．已知点在二次函数 的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由可得抛物线开口向下，根据点A，B到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：由题意得：抛物线对称轴， ∵点C为抛物线的顶点，且， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴，即， ∴，即，, 解得：， 故答案为：． 25．已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 题型 7··根据两函数交点确定不等式的解集 26．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 27．如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当或时，， 所以若，则x的取值范围为或． 故选：C． 28．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：一次函数与二次函数交于和两点， ∴当时，或． 故选：D． 29．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象解不等式，把不等式整理，可得：，即，由函数图象可知当时，不等式成立． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 即， 由函数图象可知，当时， 二次函数的图象在一次函数的图象上边， 不等式的解集为． 故选：C． 30．如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故选：A． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3 二次函数与一元二次方程（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型 1··抛物线与x轴的交点坐标 1 题型 2··利用二次函数的图象确定方程根的情况 2 题型3··求x轴与抛物线的截线长 3 题型 4·利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 4 题型 5··利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围 4 题型6··利用不等式求自变量或函数值的取值范围 5 题型 7··根据两函数交点确定不等式的解集 6 题型 1··抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．抛物线与轴的左侧交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线与x轴的交点坐标为__________． 题型 2··利用二次函数的图象确定方程根的情况 5．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 7．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 8．二次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D．此方程无解 9．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（    ） A．或0 B．或 C．3或 D．或1 题型3··求x轴与抛物线的截线长 10．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 11．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 12．如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为_________． 13．若抛物线与轴分别交于、两点，则的长为________． 题型 4·利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 14．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 15．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 16．二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 题型 5··利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围 17．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 18．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 19．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 20．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 题型6··利用不等式求自变量或函数值的取值范围 21．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 22．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 23．已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 24．已知点在二次函数 的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是_____________． 25．已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是______． 题型 7··根据两函数交点确定不等式的解集 26．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 27．如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 28．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 29．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 30．如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $