1.3.2矩形的判定-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定，核心知识点包括定义判定、角判定和对角线判定。课堂导入通过类比菱形判定方法，从矩形定义及性质逆命题出发，建立与已有知识的联系，搭建学习支架。 其亮点在于采用探究式教学，通过平行四边形活动框架实验引导猜想，结合逻辑推理验证判定定理，体现数学思维中的推理能力和几何直观。练习题分层设计，从基础到综合，帮助学生逐步掌握，教师使用可提升教学效率，助力学生发展数学表达与应用能力。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 1.3.2矩形的判定 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学1.3.2矩形的判定专项练习题 核心知识点梳理：矩形的判定主要分为三类定理，是几何证明的重点考点。1. 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；2. 角判定：有三个角是直角的四边形是矩形；3. 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形。解题关键：先判定四边形为平行四边形，再结合直角或对角线相等证矩形；任意四边形可直接通过三角为直角判定。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，能判定四边形为矩形的是（） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 有三个角是直角 D. 一组邻边相等 2. 已知平行四边形ABCD，添加一个条件即可判定为矩形的是（） A. AB=BC B. AC=BD C. AC⊥BD D. ∠ABD=∠CBD 3. 下列说法正确的是（） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直 4. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD一定是（） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 平行四边形ABCD的对角线交于点O，下列条件能证明它是矩形的是（） A. AO=CO B. BO=DO C. AO=BO D. AC⊥BD 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 有一个角是直角的________是矩形。 2. 对角线________的平行四边形是矩形。 3. 四边形ABCD中，若∠A=90°，∠B=90°，∠D=90°，则四边形ABCD是________。 4. 平行四边形对角线互相平分，若对角线长相等，则该平行四边形为________。 5. 判定任意四边形为矩形，最简条件是四边形有________个内角为直角。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 已知四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，求证：四边形ABCD是矩形。 2. 已知平行四边形ABCD的对角线AC=BD，求证：平行四边形ABCD是矩形。 3. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD为矩形。 四、综合提升题（每题15分，共30分） 1. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，求证：四边形ABCD是矩形。 2. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.B 3.C 4.B 5.C 解析：1.三个角为直角可直接判定四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形，其余条件判定菱形；3.对角线平分说明是平行四边形，再加对角线相等，可判定矩形；4.四边形三个内角为直角，第四个角必为直角，为矩形；5.AO=BO可推出对角线AC=BD，平行四边形对角线相等即为矩形。 二、填空题：1.平行四边形 2.相等 3.矩形 4.矩形 5.三 解析：1.矩形定义判定核心条件；2.平行四边形专属矩形判定定理；3.三角为直角的四边形是矩形；5.只需三个直角即可判定，第四个角必然为90°。 三、基础解答题 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角相等，邻角互补。∵∠A=90°，∴∠B=∠C=∠D=90°，四个角均为直角，故平行四边形ABCD为矩形。 2. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。又AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，可证△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，有一个直角的平行四边形是矩形。 3. 证明：∵四边形内角和为360°，∠A=∠B=∠C=90°，∴∠D=360°-270°=90°，四个角都是直角，因此四边形ABCD是矩形。 四、综合提升题 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB。∵OA=OB，∴AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故四边形ABCD为矩形。 2. 证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，∠ADC=90°。∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AE=BD。又BD=DC，∴AE=DC，AE∥DC，四边形ADCE是平行四边形。又∠ADC=90°，故平行四边形ADCE是矩形。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.探索并证明矩形的判定定理。 2.能运用矩形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线的性质进行有关的计算和证明，进一步发展几何直观和推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 还记得我们是怎样得到菱形的判定条件的吗? 你能用类似的方法发现矩形的判定条件吗? 我们是从菱形的定义出发，并结合菱形的性质定理的逆命题，得到菱形的判定条件。 类似地，可以从矩形的定义出发，并结合矩形的性质定理的逆命题，得到矩形的判定条件。 探究新知 3 类比菱形，矩形的定义也是判定矩形的一种方法。 知识点 矩形的判定 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形? A B C D 矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 探究新知 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 探究新知 知识点 矩形的判定 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 探究新知 验证猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 A B C D 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）。 探究新知 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 ∠A=∠B=∠C=90° A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 探究新知 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，要使 成为矩形，需添加的条件可 以是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.[教材P14随堂练习T1变式] 如图，在四边形 中， ，是边的中点， 。求证：四边形 是矩形。 举一反三 10 证明：是边 的中点， ， 在和 中， ， 。 ， 举一反三 11 , ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是矩形。 返回 举一反三 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 探究新知 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化? 知识点 矩形的判定 当∠α 逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 α α 探究新知 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 知识点 矩形的判定 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 探究新知 验证猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在□ABCD中，AC，DB是两条对角线，AC=DB。 求证：□ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 探究新知 知识点 矩形的判定 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC。 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB 。 ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴ ∠ABC =∠DCB = × 180°= 90°。 ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）。 探究新知 矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 探究新知 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求□ABCD的面积。 例1 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4。 ∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC=BD=2OA=2×4=8。 ∴□ABCD是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。 知识点 矩形的判定 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∴BC=。 ∴□ABCD的面积=AB·BC=4×=16 探究新知 下列说法正确的是(　　) (1)对角线相等的四边形是矩形； (2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形； (3)有一个角是直角的四边形是矩形； (4)有三个角是直角的四边形是矩形； (5)四个角都相等的四边形是矩形； (6)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。 A.(1)(2)(3) B.(2)(4)(5) C.(4)(5)(6) D.(3)(4)(6) 跟踪训练 知识点 矩形的判定 B 探究新知 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 3.在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是 否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是( ) A A.测量四边形的三个角是否为直角 B.测量四边形的两组对边是否分别相等 C.测量四边形的对角线是否互相平分 D.测量四边形的其中一组邻边是否相等 返回 举一反三 21 矩形的判定： 有三个角是 . 对角线 . 有一个角是 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点 矩形的判定 探究新知 4.[成都模拟] 如图，点是射线 上的一点， ,平分交于点， 平分 ,于点 。 求证：四边形 是矩形。 举一反三 23 证明：平分,平分 ， , 。 , , ，即 。 ,平分 , ， 。 , , 四边形 是矩形。 返回 举一反三 24 知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形 5.如图，在中，对角线，相交于点。若 ，则当 的长为___时， 为矩形。 3 （第5题） 返回 举一反三 25 6.如图，的对角线，交于点， 是等边三角形， ，则 ( ) C （第6题） A. B. C. D.8 返回 举一反三 26 7.如图，在平行四边形中，点，分别在， 上， ，。请判断四边形 的形状，并说明理由。 举一反三 27 解：四边形 是矩形。 理由： 四边形 为平行四边形， ， 。 又 ， ，即 ， 四边形 为平行四边形。 又 ， 四边形 是矩形。 返回 举一反三 28 8. 如图，已知的四个内角的平分线分别交于点 ， ，，，则四边形 的形状是______，依据是________________ _______________。 矩形 有三个角是直角 的四边形是矩形 返回 举一反三 29 矩形的判定 定义法 角：有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 定理 课堂小结 谢谢观看 THANKS $