1.3.2 矩形的判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的判定定理，通过回顾菱形性质与判定、矩形定义，引导学生思考矩形性质定理的逆命题，构建知识关联，形成学习支架。 其亮点在于结合探究活动与例题变式，发展几何直观与推理能力，如通过平行四边形框架实验验证对角线相等的判定，例题中利用等边三角形判定矩形，小结系统归纳三种判定方法，帮助学生提升应用意识，教师可借助多样化例题提高教学效率。

第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第2课时矩形的判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 学习目标 1.探索并证明矩形的判定定理。 2.能运用矩形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线的性质进行有 关的计算和证明，进一步发展几何直观和推理能力。( 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 知识关联 1.我们前几节课学习了两个比较特殊的平行四边形：菱形和矩形，同学们 还记得它们有哪些特殊的性质吗? 相比较平行四边形而言，菱形的四条边相等、对角线互相垂直，矩 形的四个角都是直角、对角线相等. 2.你怎样判定一个四边形是菱形呢? 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.矩形的定义是什么? 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 4.矩形的定义可以作为矩形的一种判定方法.除了矩形的定义，我们根据 矩形性质定理的逆命题，还能得到哪些判定矩形的方法呢? 【思考 ·交流】 你能写出矩形性质定理的逆命题吗?它们都是真命题吗?为什么?与同 伴进行交流. 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 它们都是真 命题吗? (有一个角是直角)(有二个角是直角)(有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 【探究】矩形的判定 证明：1.有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：如图，∠A=∠B=∠C=90° . 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：在四边形ABCD中∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°, ∴ADII BC,ABIICD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 探究与应用 【探究】矩形的判定 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形。 四边形ABCD ∠A=∠B=∠C=90° 矩形ABCD 【探究】矩形的判定 【思考 ·交流】 你能写出矩形性质定理的逆命题吗?它们都是真命题吗?为什么?与同 伴进行交流. 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真 命题吗? (1)随着∠a的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化? 当∠α逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形 的形状会发生变化。 【探究】矩形的判定 (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征?由此你能得到一 个怎样的猜想? 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 【探究】矩形的判定 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 的形状会发生变化. 【探究】矩形的判定 证明：2.对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：如图，在-ABCD中，AC,DB是两条对角线，AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC,ABIIDC. 又∵BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB..∠ABC=∠DCB. ∵ABIIDC,∴∠ABC+∠DCB=180° . ∴□ABCD是矩形(矩形的定义). 探究与应用 矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中 ，AC=BD, ∴ □ABCD是矩形。 A D A D AC=BD B B C □ABCD 矩形ABCD 【探究】矩形的判定 试一试： 一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他 怎样才能判断该桌面是个矩形?请说明如何操作，并画图写出证明过 程.如果允许换工具，你还有其他方法吗? 1.用刻度尺测量对角线，如果互相平分且相等，则说明桌面是矩形. 2.用角尺，测量有三个角是直角，即可说明桌面是矩形. 探究与应用 【探究】矩形的判定 例 如图，在-ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△ABO是 等边三角形，AB=4,求-ABCD的面积. 解：∵∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OB=OC=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8. ∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). ∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角). 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB²+BC²=AC², ∴BC=√AC²-AB²=√ 8² -4²=4√3. ∴□ABCD的面积=AB·BC=4×4√3=16√3. 探究与应用 【理解应用】 如图，点B在直线MN上，点A在直线MN外，过AB的中点0作MN的平行线， 分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C,D.试判断四边形ACBD的形 状，并证明你的结论. 解：四边形ACBD是矩形， 证明：∵CD平行MN, ∴∠OCB=∠CBM. ∵BC平分∠ABM, ∴∠OBC=∠CBM. ∴∠OCB=∠OBC,∴OC=OB. 同理可证：OB=OD, ∴OA=OB=OC=OD..四边形ACBD是平行四边形. ∵CD=OC+OD,AB=OA+OB, ∴AB=CD. ∴平行四边形ACBD是矩形. 【拓展提升】 探究与应用 设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证：OE=OF; (2)若CE=12,CF=5,求OC的长； (3)连接AE,AF,当点○在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩 形?并说明理由. (1)证明：∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠ECB. ∵MNIIBC, ∴∠ECB=∠OEC. ∴∠ACE=∠OEC, ∴OE=OC. 同理可得OC=OF, ∴OE=OF. 【拓展提升】 变式 如图，在△ABC中，○是边AC上的一个动点，过点○作直MN IIBC. 探究与应用 变式 如图，在△ABC中，○是边AC上的一个动点，过点○作直MN IIBC. 设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角∠ACD的平分线于点F. (2)若CE=12,CF=5,求OC的长； (2)解：∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACD, ∴EF=√CE²+ CF2=√ 12²+52=13. 探究与应用 【拓展提升】 (3)解：当点○在边AC上运动到AC的中点时，四边 形AECF是矩形，理由如下： 当O为AC中点时，则OA=OC, 由(1)可知，OC=OE=OF, ∴OA=OC=OE=OF, ∴四边形AECF为平行四边形，且AC=EF, ∴平行四边形AECF为矩形. 设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角∠ACD的平分线于点F. (3)连接AE,AF,当点○在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形? 并说明理由. 【拓展提升】 变式 如图，在△ABC中，○是边AC上的一个动点，过点○作直MN IIBC. 探究与应用 有一个角是 直角 D 对角线_ 相等 有三个角是_ 直角 D B 矩形ABCD A D B 矩形ABCD B □ABCD C A D BL 四边形ABCD 矩形的判定： B 矩形ABCD 课堂小结 1.[2025德阳中考]如图，要使平行四边形ABCD是矩 形，需要增加的一个条件可以是( D ) A.AB//CD B.AB=BC C. ∠B=∠D D.AC=BD B 课堂练习 2.[2025昆明东川区期末]课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，如 何判断门框模型是否为矩形?老师提出了以下四个判定方法。方法一：测 量四个角是否相等。方法二：测量四条边是否相等。方法三：测量两条对 角线是否相等。方法四：验证是否为轴对称图形。其中能判定这个四边形 门框模型是矩形的是( A ) A.方法一 B.方法二 C.方法三 D.方法四 【解析】 方法一，四个角相等，则每个角都为90°,四边形为矩形；方 法二，四条边相等的四边形可能为菱形；方法三，两条对角线相等的四边 形可能为等腰梯形；方法四，轴对称图形可能为等腰梯形。 3. 在数学活动课上，同学们要检验一个四边形门框是否为矩 形.可行的测量方案是( C ) A. 测量对角线是否平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量对角线是否相等 4. 如图，在平面直角坐标系中， ∠AOB=90° , ∠AOB内一个动点P到这 个角两边的距离之和为5,则图中四边 形AOBP的周长是( B ) A.5 B.10 C.20 D. 无法确定 5. (新趋势学科内综合如图，在平面直角坐标系 中 ，A,B两点的坐标分别为(0,8),(-6,0),P为 线段AO上一动点，以PB,PA为边构造平行 四边形APBQ,则使对角线PQ的值最小的点 Q的坐标为( C ) A.(-3,4) B.(-4,3) C.(-6,4) D.(-6,3) 【点拨】如图，由端点分别在两条平行线上的所有线段中， 垂直于平行线的线段最短可知，当QP⊥AO时 ，PQ最短. ∵QPI AO,∠AOB=90°,∴∠APQ=∠AOB=90°, ∴PQ//BO.∵ 四边形APBQ是平行四边形，∴AP//BQ, AP=BQ, ∴PO//BQ.∵PO//BQ,PQ//B0,∠BOP=90°,∴ 四 边形POBQ是矩形，∴PQ=BO=6,BQ=OP=AP=4, ∴Q(-6,4). 6.[2025中山期中]如图，直角三角形ABC中 ， ∠ACB=90° ,AC=3,BC=4, 点D是AB上的一个 动点，过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC 于点F, 连 接EF, 则线段EF长的最小值为( C) A.√5 B.5 C.2.4 D.2.5 【解析】 如图，作CH⊥AB于点H, 连接CD。 ∵∠ACB=90° ,AC=3,BC=4, ∴AB=√AC²+BC²=√3²+42=5。 ∵DE⊥AC,DF⊥BC, ∴ ∠DEC=∠DFC=∠ECF=90° , ∴ 四边形ECFD是矩形，∴CD=EF。 ∵CD≥CH,∴EF≥2.4,∴ 线段EF长的最小值为2.4。 , ∴CH=2.4。 7.如图，有下列3个条件：①AB=BC,②∠ABC=90°, ③∠ADC=∠BAD, 从中选取1个作为补充条件，能使 □ABCD为矩形的有 ②③ (填序号). 8. 新考法逆向思维法如图，在矩形ABCD中 ，M为AD边的中点，P 为BC上一点，PE⊥MC于E,PF⊥MB 于F, 当AB,BC 满足 时，四边形PEMF为矩形. 9.教材复习题变式 [2025佛山桂江二中调研]如图，在矩形ABCD中 ， AD=12 cm, 点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，点Q以4 cm/ s的速度 从点C出发，在B,C 两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D 时，两点同时停止运动。这段时间内，当运动时间为2.4s,4 s或7.2 s 时，以P,Q,C,D 四点为顶点的四边形是矩形。 【解析】 根据题意可知，点Q将在BC上往返两次。∵四边形ABCD是矩 形，∴AD//BC,∠C=90° 。 当CQ=PD 时，四边形PQCD是矩形。①在 点Q第一次由点C到点B的运动过程中，设运动时间为t₁s, 则 PA= t₁cm, PD=(12-t₁)cm,CQ=4t₁cm ,∴12- t₁=4t₁ , 解得 t₁ =2.4;② 在 点Q第一次由点B到点C的运动过程中，设运动时间为t₂s, 则PA =t₂cm, PD=(12-t₂)cm,CQ=(24-4 t₂)cm, ∴12-t₂ =24-4t₂ , 解得t₂ = 4;③ 在 点Q第二次由点C到点B的运动过 程中，设运动时间为t₃s, 则PA =t₃cm ,PD=(12-t₃ )cm, CQ=(4t₃-24)cm, ∴12-t₃=4t₃- 24, 解得t₃ =7.2; ④在 点Q第二 次由点B到点C的运动过程中，设运动时间为t₄s, 则PA =t₄cm, PD=(12-t ₄)cm,CQ=(48-4t₄)c m,∴12-t₄=48-4t₄ , 解得 t₄=12, 此时点P与点D重合，点Q与点C重合，无法构成矩形。故当运动 时间为2.4s,4s 或7.2 s时，以P,Q,C,D四点为顶点的四边形是矩形。 10.[2025北京中考节选]如图，在△ ABC中 ，D,E 分别为 AB,AC的中点，DF⊥BC, 垂足为F, 点G在DE的延 长线上，DG=FC 。求证：四边形DFCG是矩形。 证明：∵D, E分别为AB, AC的中点， ∴ DE是△ ABC的中位线，∴ DE//BC, 又∵ DG=FC, ∴ 四边形DFCG是平行四边形， 又∵ DF⊥BC, ∴ ∠DFC=90°。 ∴ 平行四边形DFCG是矩形。 11.[2025南平建阳区期中]如图，在-ABCD中 ，对角线AC与BD相交于点0, 且OB=20C, 点E,F 分别为线段OB,OD 的中点，连接AE,EC,CF, FA。求证：四边形AECF是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC=OA, OD=OB。 ∵ 点E,F 分别为线段OB,OD 的中点， ∴ OB=20E,OD=20F, 又∵ OB=20C,∴OA=OC=OE=OF, ∴ 四边形AECF是平行四边形，OA+OC=0E+OF, ∴AC=EF, ∴ 平行四边形AECF是矩形。 12.[2025万宁期末]如图，已知四边形ABCD是平行四边 形，对角线AC,BD 交于点0,△ AOB是等边三角形。 (1)求证：四边形ABCD是矩形。 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD, 又∵△ AOB是等边三角形， ∴OA=OB=OC=OD,∴AC=BD, ∴ 平行四边形ABCD是矩形。 (2 )若AB=5, 求BC的长。 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°。 ∵ △ AOB是等边三角形， ∴AO=AB=5,∴AC=10, ∴BC=√AC²-AB²=5√3。 13.[2025扬州邗江区一模]如图，四边形ABCD 是平行四边形，点G,H 分别是AB,CD 的中 点，点E,F 在对角线AC上，且AE=CF, 连 接EG,GF,FH,HE。 (1)求证：△ AGE≌△ CHF。 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD,AB=CD, ∴∠GAE=∠HCF。 ∵ 点G,H 分别是AB,CD 的中点，∴AG=CH, 又∵ AE= CF, ∴△ AGE≌△CHF(SAS)。 ( 2 ) 若EF=AD, 求证：四边形EGFH是矩形。 解：连接GH。 ∵△ AGE ≌△ CHF, ∴GE=HF, ∠AEG=∠CFH, ∴ ∠GEF=∠HFE ,∴GE//HF, 又∵ GE=HF ,∴ 四边形EGFH是平行四边形。 ∵ AG=DH,AB//CD, ∴ 四边形AGHD是平行四边形，∴ AD=GH, 又∵ EF=AD, ∴EF=GH, ∴ 平行四边形EGFH是矩形。 $