1.4 正方形的判定 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定及中点四边形，通过旧知回顾菱形与正方形的性质，梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于知识结构化呈现，用关系图和判定思路分类培养几何直观，定理证明与例题解析强化推理能力，中点四边形拓展体现应用意识。学生能构建知识网络，教师可高效实施教学。

第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的判定 第2课时 菱形的判定 北师大版·九年级上册 第一章　特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 北师大版·九年级上册 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 概念 02 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab A B C D 知识回顾 知识回顾 02 学习目标 目标一 掌握从矩形、菱形、平行四边形和一般四边形出发判定正方形的方法． 目标二 掌握中点四边形问题． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 概念 平行四边形 ＋邻边相等 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab A B C D 课堂小结 包含关系：正方形既是矩形，也是菱形 边角：对边平行、四边相等、四角直角 对角线：相等且互相垂直平分，并平分对角 对称性：4条对称轴、中心对称 正方形的性质 旧知回顾 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 概念 02 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab A B C D 知识回顾 知识回顾 02 关系梳理 平行四边形 菱形 矩形 正方形 一组邻边相等 有一个角是直角 一组邻边相等且 有一个角是直角 一个角是直角 一组邻边相等 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的判定 03 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 文字语言 符号语言 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D O 知识点二 菱形的判定 03 文字语言 符号语言 图形 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D A B C D A B C D 判定定理 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形 已知：四边形ABCD是矩形，AB＝BC． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝90°． 又∵ AB＝BC， ∴ 四边形ABCD是正方形． A D B C [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的判定 03 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 文字语言 符号语言 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D O 知识点二 菱形的判定 03 文字语言 符号语言 图形 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D A B C D A B C D 判定定理 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形 已知：四边形ABCD是矩形，AC⊥BD． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD互相平分． 又∵ AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形． 又∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD是正方形． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的判定 03 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 文字语言 符号语言 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D O 知识点二 菱形的判定 03 文字语言 符号语言 图形 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D A B C D A B C D 判定定理 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形 已知：四边形ABCD是菱形，∠A＝90°． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC． 又∵ ∠A＝90°， ∴ 四边形ABCD是正方形． A D B C [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的判定 03 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 文字语言 符号语言 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D O 知识点二 菱形的判定 03 文字语言 符号语言 图形 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D A B C D A B C D 判定定理 定理4：对角线相等的菱形是正方形 已知：四边形ABCD是菱形，AC＝BD． 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又∵ AC＝BD， ∴ 四边形ABCD是矩形． 又∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ 四边形ABCD是正方形． A D B C O [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 判定方法 正方形判定的常见思路 ① 从边上证 矩形 一组邻边相等 正方形 ② 从边、角上证 平行四边形 一组邻边相等且 一个角为直角 正方形 四边形 四条边都相等且 有一个角是直角 ③ 从角上证 菱形 有一个角是直角 正方形 ④ 从对角线上证 矩形→对角线互相垂直→正方形 菱形→对角线相等→正方形 平行四边形→对角线相等且垂直→正方形 四边形→对角线相等且垂直且互相平分→正方形 正方形 1.7.2013 这一页我们来系统梳理一下正方形的判定思路。正方形作为特殊的平行四边形，其判定方法主要围绕“边”、“角”和“对角线”三个维度展开。 首先是从边的角度：如果已知是矩形，只需证明一组邻边相等即可；或者已知是菱形，证明有一个角是直角。 其次是边与角的综合判定：对于一般的平行四边形，需要同时满足邻边相等和一个角是直角；对于任意四边形，则需要四条边相等且有一个角是直角。 最后是利用对角线判定：这是非常简洁的方法。比如矩形的对角线互相垂直就是正方形；菱形的对角线相等就是正方形。掌握这些判定路径，能帮助我们快速解决几何证明题。 ‹#› 菱形的判定 03 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 文字语言 符号语言 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D O 知识点二 菱形的判定 03 文字语言 符号语言 图形 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D A B C D A B C D 教材P19例题 已知：在矩形ABCD中， BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， 且BF∥CE，CF∥BE． 求证：四边形BECF是正方形． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的判定 03 09 菱形是平行四边形：S＝底×高 设两条对角线长为a，b，S＝½ab 菱形的两条对角线互相垂直，菱形被分成四个直角三角形． B A D C 文字语言 符号语言 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D O 知识点二 菱形的判定 03 文字语言 符号语言 图形 定义法 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AB＝BC ∴ ▱ABCD是菱形 定理 四边相等的四边形是菱形 ∵ AB＝BC＝CD＝DA ∴ 四边形ABCD是菱形 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在▱ABCD中，∵ AC⊥BD ∴ ▱ABCD是菱形 A B C D A B C D A B C D 例题解析 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形BECF是平行四边形． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC＝90°，∠DCB＝90°． 又∵ BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴ ∠EBC＝45°，∠ECB＝45°． ∴ ∠EBC＝∠ECB，∴ EB＝EC． ∴ 四边形BECF是菱形． 在△EBC中， ∵ ∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴ ∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB ＝180°－2×45°＝90°． ∵ 四边形BECF是菱形，∠BEC＝90°． ∴ 四边形BECF是正方形． 矩形ABCD，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，且BF∥CE，CF∥BE． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 定理证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 05 解：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　　∴ AB＝AD（菱形的四条边相等）， 　　　　　AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， 　　OB＝OD＝½BD＝½×6＝3（菱形的对角线互相平分）． 　　 在等腰三角形ABD中， ∠BAD＝60°， 　 ∴ △ABD是等边三角形． 　 ∴ AB＝BD＝6． 　 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA²＋OB²＝AB²， 　　∴ OA＝√(AB²－OB²)＝√(6²－3²)＝3√3． 　　∴ AC＝2OA＝6√3（菱形的对角线互相平分）． B A D C O 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD． 求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC． 又∵ AC⊥BD， ∴ 直线BD是线段AC的垂直平分线． ∴ BA＝BC． ∴ ▱ABCD是菱形． 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD． 求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC． 又∵ AC⊥BD， ∴ 直线BD是线段AC的垂直平分线． ∴ BA＝BC． ∴ ▱ABCD是菱形． A B C D O 补充例题 如图，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形． A B C D A′ B′ C′ D′ [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 尝试·交流 用尺规作菱形 06 提示：对角线互相垂直且互相平分，注意构造直角三角形． 第1题：在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 第2题：菱形ABCD的周长为40 cm，一条对角线长10 cm． （1）求这个菱形每一个内角的度数． （2）求这个菱形另一条对角线的长． （1）如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC＝a． （2）满足（1）中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流． a （1）如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC＝a． （2）满足（1）中条件的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流． a 例题解析 ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 又∵ AA′＝BB′＝CC′＝DD′， ∴ A′B＝B′C＝C′D＝D′A． ∴ △AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′（SAS）． ∴ D′A′＝A′B′＝B′C′＝C′D′，∠2＝∠3． ∴ 四边形A′B′C′D′是菱形． ∵ ∠1＋∠2＝90°，又∠2＝∠3， ∴ ∠1＋∠3＝90°． ∴ ∠D′A′B′＝180°－（∠1＋∠3）＝90°． ∵ 四边形A′B′C′D′是菱形，且有一个角是直角， ∴ 四边形A′B′C′D′是正方形． A B C D A′ B′ C′ D′ 证法一：先证菱形，再补一个直角 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 尝试·交流（1） 08 解：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， 　　　　∴ AB＝AD（菱形的四条边相等）， 　　　　　AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， 　　OB＝OD＝½BD＝½×6＝3（菱形的对角线互相平分）． 　　 在等腰三角形ABD中， ∠BAD＝60°， 　 ∴ △ABD是等边三角形． 　 ∴ AB＝BD＝6． 　 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA²＋OB²＝AB²， 　　∴ OA＝√(AB²－OB²)＝√(6²－3²)＝3√3． 　　∴ AC＝2OA＝6√3（菱形的对角线互相平分）． B A D C O 证明：在△AOB中， ∵ AB＝√5，OA＝2，OB＝1， ∴ AB²＝OA²＋OB²． ∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角． ∴ AC⊥BD． ∴ ▱ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【解析】先由数量关系判定△AOB为直角三角形，再得到对角线垂直． 证明：在△AOB中， ∵ AB＝√5，OA＝2，OB＝1， ∴ AB²＝OA²＋OB²． ∴ △AOB是直角三角形，∠AOB是直角． ∴ AC⊥BD． ∴ ▱ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【解析】先由数量关系判定△AOB为直角三角形，再得到对角线垂直． A B C D O 分别以A，C为圆心，以大于1／2AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，A． ∵ AB＝BC＝CD＝DA， ∴ 四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）． A B C D 例题解析 证法二：先证矩形，再补一组邻边相等 由证法一中△AA′D′≌△BB′A′， 得∠AD′A′＝∠B′A′B，A′D′＝B′A′． 又∵ ∠AA′D′＋∠AD′A′＝90°， ∴ ∠AA′D′＋∠B′A′B＝90°， ∴ ∠D′A′B′＝90°． 同理可证其余三个角均为90°， ∴ 四边形A′B′C′D′是矩形． 又∵ A′D′＝A′B′， ∴ 矩形A′B′C′D′是正方形． A B C D A′ B′ C′ D′ [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P8例题 例2 10 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD＝60°，BD＝6． （1）求AB和AC的长； （2）求菱形ABCD的面积． B A D C O 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝√5，OA＝2，OB＝1． 求证：▱ABCD是菱形． 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝√5，OA＝2，OB＝1． 求证：▱ABCD是菱形． A B C D O 尝试·思考 连接各边中点会得到怎样的四边形？ 顺次连接正方形ABCD各边的中点，会得到怎样的四边形？先猜想，再证明．如果四边形ABCD是矩形呢？ A D B C [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 教材P8随堂练习 随堂练习 12 提示：对角线互相垂直且互相平分，注意构造直角三角形． 第1题：在菱形ABCD中，AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 第2题：菱形ABCD的周长为40 cm，一条对角线长10 cm． （1）求这个菱形每一个内角的度数． （2）求这个菱形另一条对角线的长． 1．你能用折纸的方法得到一个菱形吗？动手试一试，并说明你的方法的正确性． 2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ 1．你能用折纸的方法得到一个菱形吗？动手试一试，并说明你的方法的正确性． 2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ A D B C 拓展知识 中点四边形 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形． 任意四边形的中点四边形一定是平行四边形． 矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形． A B C D E F G H [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 随堂练习解析 第1题：用折纸得到菱形 13 解析：∵ 菱形的两邻角的度数之比为1∶2，两邻角的和为180°， 　　　∴ ∠ABC＝60°，∠BAD＝120°． 　　　∵ 菱形的周长为8， 　　　∴ 边长AB＝BC＝2． 方法一：由上知△ABC是等边三角形， 　　　　∴ 菱形的对角线AC＝2，AO＝½AC＝1． 　　　　在Rt△AOB中，BO＝√(AB²－AO²)＝√(2²－1²)＝√3， 　　　　∴ BD＝2BO＝2√3． 　　　　∴ ＝½AC·BD＝½×2×2√3＝2√3． B A D O C 【解析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形，当AB＝BC时，▱ABCD是菱形；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．而∠BAD＝90°、AC＝BD都不能说明▱ABCD是菱形． 答案：①③． 【解析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形，当AB＝BC时，▱ABCD是菱形；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．而∠BAD＝90°、AC＝BD都不能说明▱ABCD是菱形． 答案：①③． ① 将一张矩形纸片先上下对折，再左右对折，得到互相垂直的两条折痕AC，BD，交于点O． ② 分别取折痕与各边的交点A，C和B，D，依次连接AB，BC，CD，DA． ③ 沿四边折叠或剪下，得到菱形ABCD． A B C D O 方法技巧 中点四边形由原四边形两条对角线决定 原四边形两条对角线相等 ⇒ 中点四边形四条边相等 ⇒ 菱形或正方形． 原四边形的两条对角线垂直 ⇒ 中点四边形四个角是直角 ⇒ 矩形或正方形． 两条对角线既相等又垂直 ⇒ 中点四边形是正方形． [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 随堂练习解析 第2题：等宽纸条的重叠部分 14 解析：∵ 菱形的两邻角的度数之比为1∶2，两邻角的和为180°， 　　　∴ ∠ABC＝60°，∠BAD＝120°． 　　　∵ 菱形的周长为8， 　　　∴ 边长AB＝BC＝2． 方法一：由上知△ABC是等边三角形， 　　　　∴ 菱形的对角线AC＝2，AO＝½AC＝1． 　　　　在Rt△AOB中，BO＝√(AB²－AO²)＝√(2²－1²)＝√3， 　　　　∴ BD＝2BO＝2√3． 　　　　∴ ＝½AC·BD＝½×2×2√3＝2√3． B A D O C 【解析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形，当AB＝BC时，▱ABCD是菱形；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．而∠BAD＝90°、AC＝BD都不能说明▱ABCD是菱形． 答案：①③． 【解析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形，当AB＝BC时，▱ABCD是菱形；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形．而∠BAD＝90°、AC＝BD都不能说明▱ABCD是菱形． 答案：①③． 四边形ABCD是菱形． 理由：设两张等宽的纸条的宽为h． ∵ 纸条的对边平行， ∴ AD∥BC，AB∥DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又∵ S□ABCD＝BC·h＝AB·h， ∴ BC＝AB． ∴ 平行四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 两张纸条的宽均为h A D B C 补充例题 在四边形ABCD中，AB与CD不平行． E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形． （2）① 当AB与CD满足什么条件时，EGFH为菱形？ ② 当AB与CD满足什么条件时，EGFH为矩形？ A B C D E F G H [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 15 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2， 则菱形的面积为（　　）． A．8√3　　B．8　　C．4√3　　D．2√3 B A D C O 如图，下列条件中能使▱ABCD是菱形的有________（填序号）． ① AC⊥BD；　② ∠BAD＝90°； ③ AB＝BC；　④ AC＝BD． A B C D A B C D 如图，下列条件中能使▱ABCD是菱形的有________（填序号）． ① AC⊥BD；　② ∠BAD＝90°； ③ AB＝BC；　④ AC＝BD． 补充练习1 例题解析 （1）证明： ∵ E、G分别是AD、BD的中点， ∴ EG是△DAB的中位线． ∴ EG＝½AB，EG∥AB． 同理，FH＝½AB，FH∥AB． ∴ EG＝FH，EG∥FH． ∴ 四边形EGFH是平行四边形． A B C D E F G H [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 16 已知菱形的周长为8，两邻角的度数之比为1∶2， 则菱形的面积为（　　）． A．8√3　　B．8　　C．4√3　　D．2√3 B A D C O 如图，下列条件中能使▱ABCD是菱形的有________（填序号）． ① AC⊥BD；　② ∠BAD＝90°； ③ AB＝BC；　④ AC＝BD． A B C D A B C D 如图，下列条件中能使▱ABCD是菱形的有①③（填序号）． ① AC⊥BD；　② ∠BAD＝90°； ③ AB＝BC；　④ AC＝BD． 补充练习1 例题解析 （2）① 若EGFH是菱形，则EG＝EH． 由中位线定理，EG＝½AB，EH＝½CD， ∴ AB＝CD． ② 若EGFH是矩形，则∠GEH＝90°，即EG⊥EH． 又EG∥AB，EH∥CD， ∴ AB⊥CD． 答案：① AB＝CD；② AB⊥CD． A B C D E F G H [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． 菱形的性质：先继承，再发现特殊 课堂小结 菱形的判定 概念 16 特殊性质 四边相等 对角线垂直 计算工具 S＝底×高 S＝1/2ab A B C D 课堂小结 菱形 定义 平行四边形＋一组邻边相等 边 四边相等的四边形 对角线 平行四边形＋对角线互相垂直 性质：菱形 ⇒ 结论　　判定：条件 ⇒ 菱形 课堂小结 20 课堂小结 [Sources] - 北师大版新教材PDF，第21—24页． - 中学教材全解PDF，第38—54页． - 用户提供的教材全解重点截图． $