第13章三角形5大考点集训2026-2027学年数学八年级上册人教版

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过5大考点20道梯度题构建三角形知识网络，融合逻辑推理与几何直观，实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的边|4题|三边关系不等式/稳定性判定|从实际应用到边长计算，强化几何直观| |三线性质|4题|重心性质/中线周长关系|以中线为核心，延伸至重心比例模型| |内角|4题|角平分线模型/准互余定义应用|从内角和定理到动态几何推理| |外角|4题|外角性质/角平分线综合|结合平行线性质构建角转化关系| |综合|4题|辅助线添加/多结论证明|整合三线、内外角知识，培养数学建模能力|

第13章三角形5大考点集训-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材） 考点汇总 考点一：三角形的边 考点二：三角形的中线、角平分线和高 考点三：三角形的内角 考点四：三角形的外角 考点五：三角形综合 考点集训 考点一：三角形的边 1．（2026•贺州一模）如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 2．（2026•雨花区校级二模）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 3．（2025秋•富锦市期末）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 4．（2026•徐州校级开学）聪聪用三根小棒围成了一个三角形，其中两根小棒的长度分别是4cm和6cm．第三根小棒的长度可能是（　　） A．9cm B．10cm C．11cm D．1cm 考点二：三角形的中线、角平分线和高 5．（2026春•芗城区校级期中）如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，若BC＝26，则BE＝ 　 　 ． 6．（2026春•闵行区校级期中）一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是　 　 ． 7．（2025秋•沛县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，点G是△ABC的重心，AD＝12，则AG＝ 　 　 ． 8．（2026春•高新区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24cm，AB比AC长3cm．则△ACD的周长为　 　 cm． 考点三：三角形的内角 9．（2026春•上街区期中）在△ABC中，∠A∠B∠ACB，∠CDB＝90°，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数． 10．（2026春•密云区期末）完成下面证明． 如图，三角形ABC，CD∥AB，G为AC上一点，∠BCD＝70°，∠CBG＝20°，点E、F分别在AG、BG上，且∠EFG＝50°． 求证：AB∥EF． 证明：∵AB∥CD，∠BCD＝70°， ∴∠BCD＝∠　 　 ＝70°．（依据：　 　 ） ∵∠CBG＝20°， ∴∠ABG＝　 　 °． ∵∠EFG＝50°， ∴∠EFG＝∠　 　 ． ∴AB∥EF．（依据：　 　 ） 11．（2025秋•广安区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，并证明． 12．（2026春•青原区期末）定义：若三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”．例如：在△ABC中，∠B＝100°，∠C＝10°，∠B﹣∠C＝90°，则△ABC为“准互余三角形”，∠C与∠B为“准互余角”． （1）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”． 考点四：三角形的外角 13．（2026春•吉林校级期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B＝50°，∠ADC＝80°．求∠C的度数． 14．（2025秋•厦门期末）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，点E是AB边上一点，连接ED交AC于点F，∠BED＝∠AFD． （1）若∠BED＝110°，求∠A的度数； （2）若∠A＝2∠D，判断△ABC的形状，并说明理由． 15．（2025秋•裕安区校级期末）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABD的角平分线，∠C＝60°，∠CAE＝55°，求∠B的度数． 16．（2026春•肇源县校级期末）如图，△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D，∠ABC的外角平分线与CO的延长线交于点F． （1）求证：BF∥OD； （2）若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 考点五：三角形综合 17．（2026春•单县期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF． 18．（2026春•新余期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN在如图1所示的位置时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系． （2）当△PMN在如图2所示的位置时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°， （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝30°，求∠N的度数． 19．（2026春•中原区校级期中）如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　 　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　 　 ． 20．（2026春•朝阳区校级期中）【感知】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．若∠B＝40°，则∠CFE＝ 　 　 °，∠CEF＝ 　 　 °． 【探究】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF． 【拓展】如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝α，则∠CEF的大小为 　 　 （用含α的代数式表示）． 第13章三角形5大考点集训-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材） 参考答案与试题解析 1．【解答】解：自行车的车架使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：A． 2．【解答】解：A．∵3+2＞4，故能构成三角形，符合题意； B．∵5+6＜12，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵2+5＜9，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵5+2＝7，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 3．【解答】解：设这个三角形的第边长是x， 由三角形三边关系定理得：6﹣3＜x＜6+3， ∴3＜x＜9， ∴这个三角形的第三边长可以是6． 故选：B． 4．【解答】解：设第三根小棒的长度是xcm， ∵三角形两根小棒长度分别为4cm和6cm， ∴6﹣4＜x＜6+4，即2＜x＜10， 选项中只有9cm符合要求． 故选：A． 5．【解答】解：在△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E， ∴AE是△ABC的中线， ∴E是BC的中点， ∵BC ＝26， ∴． 故答案为：13． 6．【解答】解：由题知， 因为一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6， 所以这个直角三角形斜边上的中线为9， 所以这个直角三角形的斜边长是：2×9＝18． 故答案为：18． 7．【解答】解：连接CG，连接BG并延长交AC于点E，延长AD到F，使DF＝DG，连接BF，CF，如图所示： ∴GF＝DF+DG＝2DG， ∵点G是△ABC的重心， ∴BE是△ABC的中线， ∴AE＝CE， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DF＝DG， ∴四边形AFCG是平行四边形， ∴CF∥BG， ∴CF∥GE， 又∵AE＝CE， ∴GE是△AFC的中位线， ∴AG＝GF＝2DG， ∴AD＝AG+DE＝3DG， ∵AD＝12， ∴3DG＝12， ∴DG＝4， ∴AG＝2DG＝8． 故答案为：8． 8．【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB比AC长3cm， ∴AC＝AB﹣3， ∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝24cm， ∴△ACD周长＝AC+CD+AD＝AB+BD+AD﹣3＝24﹣3＝21（cm）． 故答案为：21． 9．【解答】解：∵∠A∠B∠ACB， ∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝2∠A＝2×30°＝60°，∠ACB＝3∠A＝3×30°＝90°， ∵点D在AB上，∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BCE∠ACB90°＝45°， ∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°， ∴∠DCE的度数是15°． 10．【解答】证明：∵AB∥CD，∠BCD＝70°， ∴∠BCD＝∠ABC＝70°，（两直线平行，内错角相等） ∵∠CBG＝20°， ∴∠ABG＝50°， ∵∠EFG＝50°， ∴∠EFG＝∠ABG． ∴AB∥EF．（同位角相等，两直线平行） 11．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝35°， ∴∠ADC＝65°， ∴∠E＝25°； （2）∠E（∠ACB﹣∠B）． 设∠B＝n°，∠ACB＝m°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∵∠B＝n°，∠ACB＝m°， ∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°， ∴∠BAD（180﹣n﹣m）°， ∴∠3＝∠B+∠1＝n°（180﹣n﹣m）°＝90°n°m°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE＝90°， ∴∠E＝90°﹣（90°n°m°）（m﹣n）°（∠ACB﹣∠B）． 12．【解答】解：（1）∵∠B和∠A是“准互余角”， ∴∠B＝110°﹣90°＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣20°﹣110°＝50°； （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠C＝90°， ∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝∠DAB+90°， ∴∠BDA﹣∠DAB＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”． 13．【解答】解：由三角形外角性质可得，∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝80°﹣50°＝30°． ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠BAD＝60°． ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°． 14．【解答】解：（1）由三角形外角可知，∠AFD＝∠A+∠AEF，∠BED＝∠A+∠AFE， ∵∠BED＝∠AFD， ∴∠A+∠AEF＝∠A+∠AFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠BED＝110°， ∴∠AEF＝∠AFE＝180°﹣110°＝70°， ∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 由（1）可知，∠AEF＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠CFD，∠A＝2∠D， ∴∠FCD＝180°﹣∠CFD﹣∠D＝180°∠A＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°， 即△ABC是直角三角形． 15．【解答】解：AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝30°， ∵∠CAE＝55°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°， ∵AE是△ABD的角平分线， ∴∠BAD＝2∠DAE＝50°， ∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝40°， ∴∠B的度数是40°． 16．【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠ABE＝180°，BF平分∠ABE，BO平分∠ABC， ∴∠ABO+∠ABF∠ABC∠ABE（∠ABC+∠ABE）＝90°， ∴∠FBO＝90°， ∴BF⊥BO． ∵OD⊥OB， ∴BF∥OD； （2）解：∵BF∥OD， ∴∠COD＝∠F＝35°， ∴∠BOC＝90°+35°＝125°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣125°＝55°． ∵BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠ABC+∠ACB＝2×55°＝110°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣110°＝70°． 17．【解答】（1）解：△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝70°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝55°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝35°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝35°； （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝35°， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF． 18．【解答】解：（1）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM＝90°． 如图①，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM， ∵∠MPN＝90°， ∴∠NPH+∠HPM＝90° ∴∠PFD+∠AEM＝90°． （2）证明：设PN与AB相交于点G，如图②， ∵AB∥CD， ∴∠PFD＝∠PGB， ∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM， ∴∠PFD﹣∠AEM＝90°． （3）如图②，∵∠PEB＝30°，∠P＝90°， ∴∠PFD＝∠PGB＝∠P+∠PEB＝120°， ∴∠OFN＝∠PFD＝120°， ∵∠DON＝20°，∠OFN+∠DON+∠N＝180°， ∴∠N＝180°﹣∠OFN﹣∠DON＝180°﹣120°﹣20°＝40°． 19．【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在△DAC中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣35°＝15°． 故答案为：15°； 【拓展提问】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°∠B∠C， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD ＝90°∠B∠C﹣（90°﹣∠B） （∠B﹣∠C） 20°， ＝10°， 答：∠DAE的度数为10°； 【拓展变式】如图，过点A作AN⊥BC于点N， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC （180°﹣∠B﹣∠C） ＝90°（∠B+∠C）， ∵AN⊥BC， ∴∠ANB＝90°， ∴∠BAN＝90°﹣∠B． ∴∠NAE＝∠BAE﹣∠BAN ＝90°（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B） （∠B﹣∠C）， ∵AN⊥BC，MD⊥BC， ∴∠ANE＝∠MDE＝90°， ∴AN∥MD． ∴∠M＝∠NAE（∠B﹣∠C），即∠M（∠B﹣∠C）． 故答案为：∠M（∠B﹣∠C）． 20．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠B＝40°， ∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∠ACD＝90°﹣50°＝40°， ∵AE是角平分线， ∴， ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD＝65°，∠CEF＝∠DAF+∠B＝65°， 故答案为：65，65； （2）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵AE是角平分线， ∴∠CAF＝∠DAF， ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， ∴∠CEF＝∠CFE； （3）解：∵∠ACB＝90°， ∴∠GAB＝∠B+∠ACB＝90°+α， ∵AF为∠BAG的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $