第13章 三角形专题 课堂练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 这份三角形专题同步练习通过基础理解、综合应用、拓展探究三层递进设计，实现从单一知识点到跨专题综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|三角形三边关系、高、中线面积|以证明与计算为主，如利用三边关系说明不等关系| |综合应用|双角平分线与外角综合|含动态探究，如角平分线角度是否随顶点移动变化| |拓展探究|折叠、五角星角度、变式应用|需归纳猜想与模型建立，如探究折叠后角度关系|

第13章三角形专题 专题1与三角形有关的线段综合 知识，点1利用三角形的三边关系说明不等关系 1.如图，P是△ABC内一点，连接BP,CP,并延长BP交AC于点D (I)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系： (②)试探究AB+CA与PB+PC的大小关系. 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.求证： AB+BC+CD+AD>AC+BD 1/17 知识点2与三角形的高有关的问题 3.如图，在△ABC中，AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.求证： DE+DF=BG 4.如图，AM是等边三角形ABC的高，P为△ABC内一点，由点P向三边作 垂线，分别为PE,PF,PD.求证：AM=PE+PF+PD 知识点3与三角形的中线有关的面积问题 5.如图，△ABC的两条中线AM,BN相交于点O,△BOM的面积为3，那 么△AON的面积为 2/17 6.如图，△ABC的两条中线AM,BN相交于点O,若△ABO的面积为4，则 四边形MCNO的面积为（) A.4.5B.4C.3.5 D.3 专题2三角形中的双角平分线问题 模型一 模型二 模型三 模型四 (双内角平分线) (双外角平分线) (内外角平分线) (对顶三角形双内角平分线) D 图形 D B C R 结论 ∠D=90+片∠A ∠A 2 ∠D=90°-1 LD=A LP-2(ZA+ZD) 1.如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线， 3/17 BP,CP是△ABC的外角平分线. (1)当∠A=40时，∠D的度数为，∠P的度数为： (2)当∠A的大小变化时，试探究∠D+∠P的度数是否变化.如果不变化， 求∠D+∠P的度数；如果变化，请说明理由. 2.如图，∠AOB=90°，点C,D分别在射线OA,OB上，CE是∠ACD的平 分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线相交于点F (1)若∠OCD=50,试求∠F的度数： (2)当点C,D在射线OA，OB上任意移动时（均不与点O重合），判断∠F 的大小是否变化，并说明理由 4/17 3.如图，BE,CD相交于点A,∠BCD和∠DEB的平分线相交于点F (I)∠F与∠B,∠D有何数量关系？请证明. (2)当∠B:∠D:∠F=2:4:X时，X的值为多少？ 4人 专题3综合与探究 1.探索归纳： (1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A, 则∠1+∠2=； (2)如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后形成四边形，则 ∠1+∠2= (3)根据(1)与(2)的求解过程，归纳猜想：∠1+∠2与∠A的关系是 (4)若没有剪掉∠A,而是把它折成如图3所示的形状，试探究∠1+∠2与 5/17 ∠A的关系，并说明理由」 B B 图1 图2 图3 2.【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P,连接BP,CP,求证： ∠P=∠1+∠A+∠2 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=-------口 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G的度数， 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，一共得到10个角，则这 10个角的和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是 6/17 图1 图4 3.【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,猜 想∠EAD与∠B,∠C之间的数量关系 ()小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入 ∠B,∠C的值求∠EAD的值，得到几组对应值如下表： ∠B 10° 30° 30° 20° 20° LC 70° 70° 60° 60 80° ∠EAD 30° a° 15° 20° 30° 上表中a= 于是得到∠EAD与∠B,∠C之间的数量关系为 【变式应用】 (2)小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把 7/17 “AD⊥BC于点D”改为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于点D”,求∠DFE 的度数，并直接写出∠DFE与∠B,∠C之间的数量关系. 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B,C两个字母的位置，在图3中，若把(2)中的 “F是线段AE上一点”改为“F是EA的延长线上一点”，其余条件不变，当 ∠ABC=88°，∠C=24时，∠F的度数为 B ED ED E BD 图1 图2 图3 答案 专题1 1.解：(1)根据三角形的三边关系，可得 AB+AD>BD,BC+CD>BD' .AB+AD+BC+CD>BD+BD. .∴.AB+BC+CA>2BD. 8/17 (②)根据三角形的三边关系，可得 AB+AD>BD,PD+CD>PC' .AB+AD+PD+CD>BD+PC. .AB+AD+CD>BD-PD+PC' 即AB+CA>PB+PC 2.证明：根据三角形的三边关系，可得 AB+BC>AC,CD+AD>AC,BC+CD>BD,AB+AD>BD,全部相加，得 2AB+2BC+2CD+2AD>2AC+2BD' .'AB+BC+CD+AD>AC+BD 3.证明：如图，连接AD .DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC, 六S△Am=2AB-DE, Saen2AC·DP :SAABC=5AC·BG :SAAB=S△ABD+S△ACD' 9/17 ∴2AC~G=2AB:DE+号AC-DF .∴.AC·BG=AB·DE+AC·DF 又.AB=AC, .∴.AC·BG=AC·DE+AC·DF ∴.AC·BG=ACDE+DF: .'DE+DF=BG 4.证明：如图，连接PA,PB,PC :SAABC=S△PAC+SAPBC+S△PAB' 号8 C.AM-1AC-PE+号BC PF+AR-PD. 又：△ABC是等边三角形， 即AB=BC=AC, .∴.AM=PE+PF+PD 5.3 6.B 10/17 专题2 1.解：(1)110°70 (②)∠D+∠P的度数不变.理由如下：由题意，易得 ∠D=90°+号∠A, 2 2P=90-32A, .∠D+∠P=180°. 2.解：(1).∠AOB=90°， OCD=50°， .∠CD0=40°，∠ACD=130° :CE是∠ACD的平分线，DF是LCDO的平分线， ∠ECD=1∠ACD=65, ∠CDF=1∠CD0=20 ,'∠ECD=∠F+∠CDF, ∴.∠F=∠ECD-∠CDF=45 (②)不变化.理由如下： .∠AOB=90°， .∴.∠CDO=90°-∠OCD :CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线， 11/17 ∠ECD-克4ACD =180.∠0cD =90号0cD. ∠CDF=∠CD0 =453<0cD, .∠ECD=∠F+∠CDF, '.∠F=∠ECD-∠CDF =w0c-号0m =45 3.解：(1)∠D+∠B=2∠F」 证明如下：如图，设CD与EF相交于点H,CF与BE相交于点G ∴.∠D+∠1=∠DHF=∠EHA=∠F+∠3， ∠B+∠4=∠BGF=∠AGC=∠F+∠2. ∴.∠D+∠B+∠1+∠4=2∠F+∠2+∠3 .∠DEA,∠BCA的平分线相交于点F, ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 12/17 ∴.∠D+B=2∠F (2)设∠B=2k, 则∠D=4k,∠F=xk 由(1)可得2k+4k=2kx,解得x=3 专题3 1.解：(1)270° (2)220 (3)∠1+∠2=180°+∠A (4∠1+∠2=2∠A,理由如下： :△EFP是由△EFA折叠得到的， ∴.∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF. .∠1=180°-2∠AFE' ∠2=180°-2∠AEF. .∠1+∠2=360°-2∠AFE+∠AEF 又.∠AFE+∠AEF=180°-∠A, .∠1+∠2=360°-2180°-∠A =2∠A. 2.【建立模型】证明：如图，延长BP交AC于点M 13/17 M B .'∠BPC=∠1+∠PMC ∠PMC=∠A+∠2， ∴.∠BPC=∠1+∠A+∠2. 【尝试应用】解：如图，设BD与CE相交于点N 同【建立模型】，得 ∠CND=∠A+∠C+∠D. .'∠BNE=∠CND: ∴.∠BNE=∠A+∠C+∠D. 在△BEN中， ∠BNE+∠B+∠E=180°， ..∠A+∠C+∠D+∠B+∠E=180°. 故答案为180. 【拓展创新】解：如图，设CA与DG的延长线相交于点K 14/17 .∠CAG=180°-∠KAG, ∠DGA=180°-∠KGA' .∴.∠CAG+∠DGA=360°-（∠KAG+∠KGA) 在△KAG中， ∠KAG+∠KGA=180°-∠K, ∴.∠CAG+∠DGA=360°-180°-∠K=180°+∠K 同【尝试应用】，得 ∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180°， .∴.∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DGA =180°+∠K+∠B+∠C+∠D+∠E =180°+180° =360°. 【提升思维】解：由【拓展创新】得，当五角星截去一个角后多出一个角 时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出180°， :.当五角星截去五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为 15/17 180°+5×180°=1080° 故答案为1080. 3.解：(1)20 ∠EAD= C-B副 (2)如图，过点A作AGL BC于点G B .FD⊥BC,AG⊥BC, .∴.FD/1AG ∴.∠DFE=∠EAG .∠B=35°，∠C=75°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∠BAG=90°-∠B=55°. :AE平分∠BAC, ∠BAE=∠CAE=}∠BAC=35 ∴.∠EAG=∠BAG-∠BAE=20°. ∴.∠DFE=20 知∠Eac-C-∠BL ∠DFE=∠C-∠B (3)如图，过点A作AG⊥BC于点G E GBD 16/17 .:FD⊥BC,AG⊥BC, ∴.AG//FD ∴.∠EAG=∠F. 同(2)可得 ∠EAG=∠ABc-∠C,∠F=∠ABC-∠C=2×B8-24=32 故答案为32. 17/17