第26章 二次函数 小专题6&小专题7&小专题8（分层作业本）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

把0225)代人，得225=0-2nm)产+3 (1,0) .二次函数图象上的点(-3,0)向右平移3个单位长度后 解得n=-5(舍去)或n=1. 经过坐标原点， 把(0,0)代人，得0=- 0-2o48. .将该二次函数图象向右平移3个单位长度，可使平移后 所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个 解得n=-8(舍去)或n=4. 交点的坐标为(4,0). 综上所述，n的取值范围为1≤n≤4. 9.解：(1)y=ax2+2ax-4, 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 .抛物线的对称轴为x= 1.B2.A 2-1, 2a 3.解：(1)y=2x2-4x-1=2(x-1)2-3, 设点A的坐标为(L,0), .二次函数的图象开口向上，对称轴为x=1,顶点坐标为 0B=20A,点B的坐标为(-2,0)， (1,-3) .t-(-1)=-1-(-2),解得t=2, 2)y=(*1(-2)=2-2-(-7-。 .点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(-4,0) (2)将(2,0)代人y=aax2+2ax-4, ·二次函数的图象开口向上，对称轴为x=2,顶点坐标为 得0=4a+4a-4,解得a=2 1 六抛物线的解折式为)=子权4 4.C5.(1)1小3(2)2大7(3)145 6.(1)y=2(x-1)2-8. (3)港物线)=了+4+1-的顶点C的坐标 (2)略. (3)当x<1时，y随x的增大而减小. 为(-1，-2 (4)当x=-1或3时，y=0;当x<-1或x>3时，y>0;当-1<x :将点A(2,0)向左平移3个单位长度，再向下平移9个单 <3时，y<0. (5)当0<x<4时，y的取值范围是-8≤y<10. 位长度后得到点c(-1,号 (6)以函数图象与两坐标轴的交点为顶点的三角形的面积 1 为12. 平移后抛物线的解析式为y三)(x+1+3)2一99 22 7.C8.C9.B10.C11.C12.D 13.y2<y1<y314.-415.2 2(x+4)2-9 16.解：晨晨同学的解答过程不正确.理由如下： y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 小专题4二次函数与线段问题 .该二次函数的图象开口向上，顶点坐标是(1，-4)， 1.解：(1)·抛物线的解析式为y=-x2+4x+5, .当x=1时，函数有最小值-4 .C(0,5),B(5,0),BC=√5+5=52 当x=-2时，y=5;当x=5时，y=12 (2)如解图，连接PB. .当-2≤x≤5时，y的取值范围为-4≤y≤12. :点A与点B关于直线l对称， 小专题3二次函数解析式的求法 .PA+PC=PB+PC. 当点C,P,B共线时，PB+PC=BC 1.y=x2+2变式y=x2-4x+5 为最小值，即为PA+PC的最小值. 2 2x+1)-33y=5x2+20x+15变式B 由(1)可知，C(0,5),B(5,0), 易得直线BC的解析式为y=-x+5, 4()三次函数的解析式为y=-T+3+12 :对称轴1为x=2,且当x=2时，y=-2+5=3, (2)二次函数的解析式为y=5x2+20x+15. .当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(2,3). (3)二次函数的解析式为y=-x2+4x-3. 之解：(1)由题意，得{6，。解得0=-2， (9+3b+c=0. (c=-3, 5.y=(x+2)2+1变式y=2(x-2)2+16.y=-x2+4x-3 .抛物线的解析式为y=x2-2x-3, -1 (2)设直线AB的解析式为y=kx+n(k≠0)， 将B(0,-3),A(3,0)分别代入， 3 8.(1)y=-2-+2 丹n2。年号2 (3k+n=0, 12 3 (2)解：令y=0,得-2-x+之=0，解得x=-3,,=1, .直线AB的解析式为y=x-3, .二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(-3,0)和 设P(m,m2-2m-3),则D(m,m-3), 参考答案 n为CP的三等分点①CP或C0-子c, .n-6n+13+1+n=10,解得n=1或n=2, 点N的坐标为(2,1)或(2,2). (m-2m-3）3或m-3)2 即-(m-3)。1 3.解：如解图，PQ1x轴于点Q, -(m2-2m-3)3’ .∠PQA=90°， 解得m,=2,m,=3(不符合题意，舍去)或m,= 2,m=3(不 :△APQ是等腰直角三角形， .AQ=PO. 符合题意，舍去) 点P在抛物线y=x2-x-2上， 当a=2时m-2m-3=-3.当m=时m-2-3=- 15 .设Q(m,0),则P(m,m2-m-2）, 4 由题意，得A(-1,0), 点P的坐标为2.-3)或（分孕。 ∴.AQ=1m-(-1)1=1m+11,PQ=|m2-m-21, .1m+11=1m2-m-21, 小专题5二次函数与面积问题 .m+1=m2-m-2或m+1=-(m2-m-2), 1.4 即m2-2m-3=0或m2=1. 2.解：设Q(m,-m2+3m+4),△QAB的面积为S. 当m2-2m-3=0时，解得m=3或m=-1(舍去)， 如解图，连接00，则S=S△0m+S△oa0 Y 此时P(3,4); 5au=20Bm+0i(-m+3n+ B 当m2=1时，解得m=1或m=-1(舍去)，此时P(1,-2). 综上所述，点P的坐标为(3,4)或(1，-2). 4-0A.0B, 小专题7二次函数与特殊四边形问题 1.(1)y=x2-2x-3 易得A(4,0),C(-1,0),B(0,4), (2)解：存在.由(1)得y=x2-2x-3, .∴.0A=0B=4. .S=-2m2+8m=-2(m-2)2+8, 由题意，设N(1,n),M(m,m2-2m-3), .当m=2时，S大=8，此时-m2+3m+4=6, C(0,-3),对称轴为x=1,.F(2,-3), 当以AF为对角线时，如解图1， .Q(2,6). 3.解：(1)抛物线的解析式为y=(x-1)2-4. -1+2=1+m, .m=0,.M(0,-3); (2)令y=0,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3, (0+(-3)=n+(m2-2m-3), .A(-1,0),B(3,0). 当以AN为对角线时，如解图2， 1 -1+1=2+m, (3)存在.由(2)知，AB=4.Sa=2×4x4=8, 0+n=-3+(m2-2m-3),六m=-2,M(-2,5): 5 1 当以AM为对角线时，如解图3， 则Sapw=4Sau=10,2×41y,=10,则ll=5. -1+m=2+1, m=4,.M(4,5) 点P在抛物线y=(x-1)2-4上，.yp≥-4，.yp=5, (0+(m2-2m-3)=-3+n, 由(x-1)2-4=5,解得x1=-2,x2=4, 综上所述，点M的坐标为(0，-3)或(-2,5)或(4,5). .存在满足条件的点P,其坐标为(-2,5)或(4,5). Y= 小专题6二次函数与特殊三角形问题 1.(1)y=-x2+2x+3 (2)解：由题意，得0A=3,0B=3, 由勾股定理，得AB=√3+32=32 当△ABM为等腰三角形时， ①若MA=MB,则此时点O即为所求的点M, C(M 故点M的坐标为(0,0)： 解图1 解图2 解图3 ②若AB=MB,则M(0,3-32)或M(0,3+3√2)； ③若AB=AM,则M(0,-3). 2.解：(1)把A(0,-2),B(4,0)分别代人y= 综上所述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标为(0， c=-2, 1c=-2, 0)或(0,3-32)或(0,3+3√2)或(0，-3). 得 2×16+46+c=0, 解得 3 2.解：存在.由条件可设点N的坐标为(2，n), b=-2' 由题意，得A(1,0),B(0,3), 则NB2=2+(n-3)2=n2-6n+13,NA2=(2-1)2+n2=1+n2, ∴.抛物线的解析式为y= 22 AB2=10, (2)存在. 当△ABN是以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理，得 在y=-2x+8中，令x=0,则y=8,.C(0,8) NB'+NA2=AB, A(0,-2),B(4,0), 参考答案 .AB2=4+22=20,BC2=42+82=80,AC2=102=100 小专题8二次函数中的动点问题 .AC2=AB2+BC2,.∠ABC=90°， 如解图，过点C作CM∥AB,过点A作 1 (2)一次 AM∥BC,则四边形ABCM是矩形， (3)解：.AP=tcm,∴.CP=(6-t)cm, .'X8-xA=xc-xm,Y8-YA=Yc-ym, 4 设M(m,n), CQ=31 em, B 则4-0=0-m,0-(-2)=8-n, s=x(6-x4 2+4=- .m=-4,n=6,.M(-4,6). 2 3 -36 3.解：存在以AB为边的四边形ABQP为菱形.理由如下： ①当m<0时， 3<0,0≤1≤6， ·四边形ABQP为菱形，A(-m,0),B(0,m), S的最大值为6. .AP=AB=-√2m,AP∥QB, 2.（1)证明：△ABC是等边三角形， .∠A=∠B=60°，AB=AC. ∴.P(-m,-√2m)或P(-m,2m), (AD=BE. 4 1 4 -2m=-3m-3m或5m=-3m2-3m, :AD=CF,.AF=BD.在△ADF和△BED中 ∠A=∠B, AF=BD, 解得m=0(不合题意，舍去)或m=32-4(不合题意，舍 ∴.△ADF≌△BED(SAS). 去)或m=-32-4: (2)解：如解图，分别过点C,F作CH⊥AB, ②当m>0时，同理可得P(-m,-√2m), FG1AB,垂足分别为H,G, 4 在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC= AC=4,.CH=23, 解得m=0(不合题意，舍去)或m=3√2-4。 综上所述，m的值为-32-4或32-4. SSc=)AB·CH=4月 4.解：(1)抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于点A(3,0), AD的长为x, H ∴.-9+6+c=0,解得c=3. .'.AD=BE=CF=x, 该抛物线的对称轴为x= 2 2x(-1)1 六F=4-x,iFG= 2(4-x). (2)存在 .·y=-x+2x+3,.C(0,3), Saw-AD FG5 4(4-), 设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)， 由(I)可知△ADF≌△BED,同理可证，△BED≌△CFE, 把A(3.0),C(0,3)分别代人，得3%+=0， b=3, SAAOF=SAWDE=SACE(4-) 帝公 ”.直线AC的解析式为y=-x+3, y=5aac-35A4oe=45-3 4x(4-x) 352-33x+45. 4 设D(t,-t+3), .·点B与点A(3,0)关于直线x=1对称， (3)解：由(2)可得30，质数图象的对称轴为 .B(-1,0),AB=3-(-1)=4, -35 =2,且0≤AD≤4. 当AB为正方形ABDE的边时，如解图， 2+ 则BD=AB,BD⊥AB,AE=AB,AE⊥AB, 4 .-t+3=4,解得t=-1, ∴.当0≤AD≤2时，△DEF的面积随AD的增大而减小：当 .D1(-1,4),E(3,4): 2<AD≤4时，△DEF的面积随AD的增大而增大. 当AB为正方形ADBE的对角线时，如 D 26.3二次函数与一元二次方程 解图，设AB交DE于点F 1.C 则DE⊥AB,EF=DF=AF=BF= 2.(1)x1=1,x2=3(2)x1=x2=2(3)x1=0,x2=4(4)C 3.x=-24.m≥-45.-1<x<2x<-1或x>2 6=2,-+3=2,解得=1，.D,(1,2), 6.-3<x<17.C E2(1,-2) 综上所述，点E的坐标为(3,4)或(1，-2). 8C9-3(答案不唯-）10.4111或-号 参考答案 12.(1)m的取值范围为m≤2 (2)解：设种植乙种水稻x亩，总收益为y元 8 ①当x≤100时，y=800(400-x)+1200x=400ax+320000. (2)m=3,此二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0,1)， 400>0,.当x=100时，y有最大值，最大值为360000： 与x轴的交点坐标为(20)和(1,0)。 ②当x>100时，y=800(400-x)+[1200-2(x-100)]x= -2x2+600x+320000=-2(x-150)2+365000, 13.(1)证明：对于y=x2-(m-2)x+m-3, -2<0,∴.当x=150时，y有最大值，最大值为365000. ∵4=[-(m-2)]2-4(m-3)=m2-4m+4-4m+12=m2-8m .·365000>360000, +16=(m-4)2≥0. .当种植乙种水稻150亩，甲种水稻250亩时，总收益最 无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点. 大，最大总收益为365000元. (2)解：设抛物线与x轴的交点坐标分别为(a,0),(b,0). 第3课时抛物线形问题 由题意，得1a-b1=4,a+b=m-2,ab=m-3, 1.C2.9.6 (a-b)2=16,.(a+b)2-4ab=16, 3.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+6(a≠0).由已知可 .(m-2)2-4(m-3)=16,解得m=0或8. 得，点D的坐标为(4,2)，且在此抛物线上，.2=a×42+6, 26.4实际问题与二次函数 第1课时运动类问题、面积问题 解得。=一子地物线的解折式为)=一子+6 1.451350 (2)不能.理由如下：当=±1.4时y=-子+6=551. 1 2.(1)小球的运动时间是4s时，小球回落到地面. (2)圆圆的说法不对.理由略 :5.6>5.51,.这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道. 3.C4.C5.D6.107.② 4.C5.D6.0.3 7.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=aax2+bx+c(a≠0)，根 数空 据题意，得抛物线过(0,10)和(3,7)，对称轴为x=1, (2)当点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大. [c=10, a=-1 9(1)隧道截面的面积S=(分-4)产+16r(0<4). 则9n+36+c=7, 解得b=2, b -=1 c=10. 2a (2)隧道截面的面积S的最大值为25.5m2. 10.解：(1)由题意，得AB=xm,∴.BC=(28-x)m. y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10. (2)根据题意，得x≥6，且28-x≥15，.6≤x≤13. (2)在y=-x2+2x+10中，令y=0,得0=-x2+2x+10, 假设花园的面积能为192m2,则x(28-x)=192, 解得x=√11+1或x=-√11+1（舍去）， 解得x=12或x=16（不合题意，舍去)， .运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为（√T+ .花园的面积能为192m2,此时x的值为12 1)m. (3)根据题意，得S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+ 8.解：(1)符合要求.理由如下：由题意可得，函数图象的顶点 196(6≤x≤13). 坐标为(0.5,2.25)， .-1<0,抛物线的对称轴为x=14, ∴.可设函数解析式为y=a(x-0.5)2+2.25(a≠0)， ·.当6≤x≤13时，S随x的增大而增大， 函数图象过点(0,2)，∴.a(0-0.5)2+2.25=2, .当x=13时，S取得最大值，最大值为-(13-14)2+196 解得a=-1, =195. .函数解析式为y=-(x-0.5)2+2.25, 第2课时最大利润问题 令y=0,则-(x-0.5)2+225=0,解得x=2或x=-1(舍去)， 1.C2.B .小张同学设计的水池符合要求 3.（1)w与x之间的函数关系式为0=-2x+340x-12000. (2)令y=1.25,则-(x-0.5)2+2.25=1.25, (2)当这种绿茶的销售单价是85元/千克时，该茶庄这种 绿茶在这段时间内的销售利润最大，最大利润是2450元. 解得x=1.5或x=-0.5(舍去)， 4.3505.(1)120655 .为了不影响水流，圆形集水槽的半径不能超过1.5m. 6.当每副春联的售价定为35元时，日销售利润最大，最大日 第二十六章整合复习与对接中考 销售利润是2250元 一阶关联知识整合练 7.5 1.(1)下x=12(-1,0)和(3,0)(0,3)大大4 8.（1)y与x之间的函数关系式为y=-40x+680. (1,4)(2)略.(3)增大3-5≤y≤4(4)<< (2)当每袋棕子的售价定为12.5元时，所获日销售利润最 2.(1)y=a(x-2)2-1(2)x=2(2,-1) 大，最大日销售利润是810元. 9.(1)1000 (3)①解：该二次函数的表达式为y=)-2x+山，②> 参考答案小专题6二次函数与特殊三角形问题 类型1二次函数与等腰三角形 以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点 【方法总结】利用抛物线求等腰三角形分三步： N的坐标；若不存在，请说明理由 先分类，按腰相等分为三种情况，再根据勾股定 理列方程，然后解方程并检验， 1.如图，已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个 交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),对称 轴为x=1. (1)抛物线的解析式为 (2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，求点M的坐标。 类型3二次函数与等腰直角三角形 3.如图，抛物线y=x2-x-2与x轴相交于A,B两 点.在抛物线上有一点P,过点P作x轴的垂线 交x轴于点Q,若△APQ是等腰直角三角形， 求点P的坐标 类型2二次函数与直角三角形 【方法总结】利用抛物线求直角三角形，逐次选 择直角顶点分类讨论，一般运用勾股定理列方 程，然后解方程并检验 2.如图，抛物线y=(x-2)2-1与x轴交于点A,C (点A在点C的左边)，与y轴交于点B.在抛 物线的对称轴上是否存在一点N,使△ABN是： 43 小专题7二次函数与特殊四边形问题 类型1二次函数与平行四边形 类型2二次函数与矩形 1.如图，抛物线与坐标轴相交于A(-1,0),B,C 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)2+ (0,-3),对称轴为x=1. (1)抛物线的解析式为 bx+c与坐标轴交于A(0,-2),B(4,0)两点，直 (2)点F为点C关于抛物线的对称轴对称的 线BC:y=-2x+8交y轴于点C. 点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴 (1)求抛物线的解析式： 上，是否存在以点F,A,M,N为顶点的平行四 (2)在第二象限内是否存在一点M,使得四边 边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请 形ABCM为矩形？若存在，求出点M的坐标； 说明理由 若不存在，请说明理由。 0B 44 X 类型3二次函数与菱形 类型4二次函数与正方形 3.直线y=x+m与x轴交于点A,与y轴交于点4.如图，抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于点A(3, B,点P为都物线)=-言+号上一点，点0 4 0),B,与y轴交于点C (1)求c的值及该抛物线的对称轴： 为y轴上一点.是否存在以AB为边的四边形 (2)若点D在直线AC上，点E是平面内一点. ABQP为菱形？若存在，求出满足条件的m的 是否存在点E,使得以点A,B,D,E为顶点的四 值；若不存在，请说明理由。 边形是正方形？若存在，请求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由. B 0 45 小专题8二次函数中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm, 2.(2023广西)如图，△ABC是边长为4的等边 BC=8cm.动点P,Q分别从A,C两点同时出 三角形，点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运 发，点P沿边AC以1cm/s的速度匀速运动到 动，满足AD=BE=CF 点C停止，点Q沿边CB匀速运动到点B停 (1)求证：△ADF≌△BED; 止，点P,Q同时停止运动.设运动时间为ts. (2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关 (1)点Q的速度为 cm/s; 于x的函数解析式； (2)设点P,C之间的距离为y,则y与t满足 (3)结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积 (填“正比例”或“一次”或“二次”)函 随AD的增大如何变化 数关系； (3)连接PQ,设△PCQ的面积为Scm2,请用含 t的代数式表示S,并求出S的最大值 46