第25章一元二次方程6大考点集训 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程6大核心考点，从概念到应用分层设计，题量充足且典例代表性强，体现从概念到应用的逻辑递进，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与一般形式|4题|概念辨析与形式转化|基础概念，后续解法的前提| |方程的解|4题|根的代入与代数式求值|衔接定义，深化根的意义| |解方程|4题|因式分解、配方法、公式法|技能核心，承上启下| |根与系数关系|4题|判别式应用与关系推导|理论深化，连接代数性质| |经济问题|4题|增长率与利润模型|实际应用，体现数学语言表达| |几何问题|4题|面积与动态几何建模|跨领域应用，发展数学眼光|

第25章一元二次方程6大考点集训-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 考点汇总 考点一：一元二次方程的定义与一般形式 考点二：一元二次方程的解 考点三：解一元二次方程 考点四：一元二次方程根与系数的关系 考点五：一元二次方程与经济问题 考点六：一元二次方程与几何问题 考点集训 考点一：一元二次方程的定义与一般形式 1．（2025秋•嵩县期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0 C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1 2．（2025秋•闵行区校级期末）若方程6x﹣2＝□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．2y2 B．22 C．3x2 D．x 3．（2026春•沙坪坝区校级同步）把一元二次方程x（4x﹣1）＝2x+3化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　） A．4，1，3 B．4，﹣3，﹣3 C．4，﹣2，3 D．1，﹣3，﹣3 4．（2026春•苍梧县期中）将一元二次方程3x2﹣2＝x化成一般形式后，常数项是﹣2，则二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．3，﹣2 B．3，1 C．3，﹣1 D．3，0 考点二：一元二次方程的解 5．（2026•呼图壁县一模）如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 6．（2025秋•榆林期末）若x＝m是一元二次方程x2+5x﹣2＝0的一个根，则代数式m2+5m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5 7．（2025秋•聊城期末）若关于x的方程x2﹣3x﹣a＝0有一个根为1，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3 8．（2026春•淄博校级月考）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 考点三：解一元二次方程 9．（2026春•沙坪坝区校级同步）解方程： （1）x（x+1）＝2x+2； （2）2x2+6x﹣1＝0． 10．（2026春•同步）解下列一元二次方程： （1）（x﹣5）（3x﹣2）＝10； （2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2． 11．（2026春•同步）用配方法解下列一元二次方程： （1）2x2+4x﹣3＝0； （2）3x2﹣8x﹣3＝0． 12．（2026春•同步）用配方法解下列方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0； （2）2x2﹣3x﹣1＝0． 考点四：一元二次方程根与系数的关系 13．（2026春•莱州市期末）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 14．（2026春•义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一根恰为另一根的2倍，求m的值． 15．（2026•嘉陵区一模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（其中a、b、c为常数，a≠0）． （1）当a+b+c＝0时，求证：方程总有实数根； （2）若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根，且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 16．（2026春•下城区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值． 考点五：一元二次方程与经济问题 17．（2025秋•西宁期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 18．（2025秋•赣州期末）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 19．（2025秋•冷水江市期末）某地一种植户，2023年承包种植橙子树75亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到2025年共种植108亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为7元/千克时，每天可卖出160千克，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是420元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 20．（2026春•苍梧县期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少10%． （1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表； 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①　 　 ②　 　 （2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； （3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 考点六：一元二次方程与几何问题 21．（2025秋•扶余市期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 22．（2025秋•呼伦贝尔期末）如图，某中学准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（其中墙CD留宽2m的入口），现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm． （1）BC的长为　 　 m，x的取值范围是　 　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为336m2？ （3）亮亮说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 23．（2026春•乳山市期末）园林部门准备在一块长25米、宽20米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为440平方米，求小路的宽度． 24．（2026•新昌县二模）根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD拼成一个大正方形EFGH． （1）求解方程x（x+5）＝6的正根，可令m＝x+5，n＝x，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形ABCD，大正方形EFGH的面积各是多少？ ②利用大正方形EFGH的边长，请你求出方程x（x+5）＝6的正根． （2）小明用此方法求关于x的方程x（3x+t）＝14（t为常数，且t＞0）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 第25章一元二次方程6大考点集训-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 参考答案与试题解析 1．【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、是二元二次方程，故本选项错误； D、当m＝1时，是一元一次方程，故本选项错误． 故选：B． 2．【解答】解：根据一元二次方程定义对各选项分析如下： A选项：代入后方程为6x﹣2＝2y2，含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程定义； B选项：代入后方程为6x﹣2＝22，整理得6x﹣24＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； C选项：代入后方程为6x﹣2＝3x2，整理得3x2﹣6x+2＝0，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，符合一元二次方程定义，符合题意； D选项：代入后方程为6x﹣2＝x，整理得5x﹣2＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 3．【解答】解：x（4x﹣1）＝2x+3， 方程整理得：4x2﹣3x﹣3＝0， 则a，b，c的值分别是4，﹣3，﹣3． 故选：B． 4．【解答】解：根据题意可知，方程3x2﹣2＝x的一般形式为3x2﹣x﹣2＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项为﹣2， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣1． 故选：C． 5．【解答】解：∵2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根， ∴22﹣2c+2＝0， 解得c＝3， 故选：A． 6．【解答】解：将x＝m代入方程x2+5x﹣2＝0，得 m2+5m﹣2＝0， 解得m2+5m＝2． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 7．【解答】解：把x＝1代入x2﹣3x﹣a＝0得1﹣3﹣a＝0，解得a＝﹣2． 故选：A． 8．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 9．【解答】解：（1）x（x+1）＝2x+2， x（x+1）﹣2（x+1）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2． （2）2x2+6x﹣1＝0， a＝2，b＝6，c＝﹣1， x， ∴x1，x2． 10．【解答】解：（1）（x﹣5）（3x﹣2）＝10， 3x2﹣2x﹣15x+10＝10， 3x2﹣17x＝0， x（3x﹣17）＝0， x＝0或3x﹣17＝0， 解得； （2）（3x﹣4）2＝（4x﹣3）2， （3x﹣4）2﹣（4x﹣3）2＝0， （3x﹣4+4x﹣3）（3x﹣4﹣4x+3）＝0， （7x﹣7）（﹣x﹣1）＝0， （x﹣1）（x+1）＝0， x﹣1＝0或x+1＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣1． 11．【解答】解：（1）2x2+4x﹣3＝0， ， ， ， ， ， ，； （2）3x2﹣8x﹣3＝0， ， ， ， ， ， x1＝3，． 12．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， x﹣2＝±， x1＝2，x2＝2； （2）2x2﹣3x﹣1＝0， x2x0， x2x， x2x， （x）2， x±， x1，x2． 13．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 14．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的一根为t，则另一根为2t， 根据题意得t+2t＝2m，t•2t＝m2﹣4， ∴tm，2t2＝m2﹣4， ∴m2＝m2﹣4，即m2＝4 ∴m＝±6． 15．【解答】（1）证明：∵a+b+c＝0， ∴c＝﹣a﹣b． ∵Δ＝b2﹣4a（﹣a﹣b）＝b2+4a2+4ab＝（b+2a）2≥0 ∴方程总有实数根． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得， ，． ∴①；②． ②﹣①得：，即，所以a2+b2＝c2． ∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形． 16．【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x1＝3，x2＝2， ∴x1﹣x2＝3﹣2＝1， ∴方程x2﹣5x+6＝0是“邻根方程”． （2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， ∴x2﹣mx+x﹣m＝0， ∴（x﹣m）（x+1）＝0， ∴x＝m或x＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m﹣（﹣1）＝1或﹣1﹣m＝1， ∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1， ∴m＝0或﹣2； （3）ax2+bx+1＝0， ∴x， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝8a﹣b2， ∴a2+4a＝8a﹣t． ∴t＝4a﹣a2＝﹣（a﹣2）2+4， ∵a＞0， ∴当a＝2时，t的最大值为4． 17．【解答】解：（1）设日平均增长率为x， 由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338， 整理得，200x2+400x﹣138＝0， 解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍）， 答：日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 解得y1＝2，y2＝﹣46（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 18．【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 19．【解答】解：（1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， ∴根据题意，75（1+x）2＝108， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%； （2）设单价应定为x元/千克， 根据题意，（x﹣5）[160﹣（x﹣7）×20]＝420， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， ∵要让顾客得到实惠， ∴x＝8满足题意； 答：单价应定为8元/千克． 20．【解答】解：（1）该景区4月份的游客人数为a万人，由题意可得： ∴该景区5月份的游客人数为（1+60%）a＝1.6a万人， ∴6月份的游客人数为（1﹣10%）×（1+60%）a＝1.44a万人． ∴五月的人数为1.6a万人，六月的人数为1.44a万人； 填表如下： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a 1.6a 1.44a 故答案为：1.6a，1.44a； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：a（1+x）2＝1.44a， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为20%； （3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣40）元，每天可卖出20+2（60﹣y）＝（140﹣2y）件， 根据题意得：（y﹣40）（140﹣2y）＝432， 整理得：y2﹣110y+3016＝0， 解得：y1＝52，y2＝58， ∵为尽快销售完该款商品， ∴y＝52． 答：每件售价应定为52元． 21．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米， 根据题意得：x（18+2﹣x）＝96， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， 当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）； 当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）． 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚． 22．【解答】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， ∵， ∴x＜31． 故答案为：（62﹣2x），x＜31； （2）根据题意得：x（62﹣2x）＝336， 整理得：x2﹣31x+168＝0， 解得：x1＝7（不符合题意，舍去），x2＝24． 答：当x为24时，矩形花园ABCD的面积为336m2； （3）亮亮的说法不正确，理由如下： 假设矩形花园ABCD的面积可以为500m2， 根据题意得：x（62﹣2x）＝500， 整理得：x2﹣31x+250＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣31）2﹣4×1×250＝﹣39＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立， 即矩形花园ABCD的面积不可以为500m2， ∴亮亮的说法不正确． 23．【解答】解：设小路的宽度为x米， ∴25×20﹣（25﹣5x）x﹣（20﹣5x）x﹣（5x）2＝440． 500﹣25x+5x2﹣20x+5x2﹣25x2＝ 440 解得x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍）． 答：小路的宽度为1米． 24．【解答】解：（1）①由题意，∵m＝x+5，n＝x，长方形面积mn＝6， ∴小正方形的边长为m﹣n＝（x+5）﹣x＝5， ∴小正方形的面积为：（m﹣n）2＝52＝25． 又∵大正方形的边长为m+n， ∴其面积为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝25+4×6＝25+24＝49． 答：小正方形面积为25，大正方形面积为49； ②由（1）得EF＝m+n＝7＝2x+5， ∴x＝1，即方程x（x+5）＝6 的正根为x＝1； （2）由题意得， ∴t＝1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $