专题02实际问题与一元二次方程题型专练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过七类典型题型构建"问题情境-模型建立-方程求解"的完整解题链，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率/下降率|19题|含连续增长、累计增长、下降率子类型|以(1±x)ⁿ模型为核心，覆盖时间跨度与数据类型变式| |面积问题|13题|涉及矩形围栏、道路宽度、边框设计|通过几何图形边长关系转化为二次方程，强化空间观念| |销售利润|12题|含单变量降价、多变量促销、利润最大化|建立"单价-销量-利润"函数关系，培养数据分析能力| |循环/传染|5题|单循环赛制、病毒传染、礼物互送模型|基于组合原理构建x(x-1)/2或(1+x)ⁿ方程，体现抽象思维| |综合应用|11题|分式方程与二次方程结合、增长率与利润综合|多知识点交叉，提升复杂问题解决能力|

专题02实际问题与一元二次方程题型专练 题型一 增长率 / 下降率问题 1．（2026•双柏县二模）某社区图书室2月初的借阅人次为3600次．通过增设便民服务和开展阅读推广活动，4月初的借阅人次达到6400次．若设2～4月该社区图书室借阅人次的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．3600（1+x）＝6400 B．3600（1+2x）＝6400 C．3600（1+x）2＝6400 D．3600（1+x2）＝6400 2．（2025秋•伊犁州期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 3．（2026春•宁海县校级期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次．若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（　　） A．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910 B．250（1+x）2＝910 C．250（1+x2）＝910 D．250+250（1+x）+250（1+x2）＝910 4．（2026•通川区模拟）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．50（1+x）＝150 B．50（1﹣x）2＝150 C．50（1+x）2＝150 D．50（1+x）3＝150 5．（2026•云南模拟）普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从2023年的95kg增长到2025年的120kg．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．95（1+2x）＝120 B．95（1+x）2＝120 C．95（1+x2）＝120 D．95（1+x）＝120 6．（2026•武威模拟）2023年安徽省货物进出口总额为8648.5亿元，2025年该省货物进出口总额达到10135.6亿元．若设2023年至2025年安徽省货物进出口总额的年平均增长率为x，依题意，可列出方程为（　　） A．8648.5（1+x）2＝10135.6 B．8648.5[1+（1+x）+（1+x）2]＝10135.6 C．8648.5（1+2x）＝10135.6 D．8648.5（1+3x）＝10135.6 7．（2026•凉州区模拟）云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．2025年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设2023年该企业光伏产品全年销量为150万台，2025年该企业光伏产品全年销量为216万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．150（1+2x）＝216 B．150（1+2x）2＝216 C．150（1+x）2＝216 D．150（1+x2）＝216 8．（2026•铁东区校级一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A．450（1﹣x）＝370 B．450（1﹣x2）＝370 C．450（1﹣2x）＝370 D．450（1﹣x）2＝370 9．（2026•渭南模拟）某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为100g，经过2分钟反应时间后，总质量变为64g，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为x，则可列方程为　 　 ． 10．（2025秋•闵行区校级期末）2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，根据中国民航局的数据预测，到2025年，我国低空经济的市场规模将达到1.5万亿元．若设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，则根据题意可列方程为　 　 ． 11．（2026春•乳山市期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．60（1+x）2＝285 B．60（1﹣x）2＝285 C．60（1+x）+60（1+x）2＝285 D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285 12．（2026•岳池县模拟）某特色美食街的商户七月份的营业额为300万元，九月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　） A．300（1+x）＝432 B．300+300（1+x）＝432 C．300（1+x）2＝432 D．300（1+2x）＝432 13．（2026•漳州模拟）某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到8a，则可列方程为（　　） A．a（1+x）2＝8a B．ax2＝8a C．2ax＝8a D．a+x2＝8a 14．（2026•永安市三模）2026年天猫618活动正在火热进行中，某美妆品牌在此期间推出多场预售与现货活动．该品牌第二季度的总销售额为662万元，其中4月作为预售启动月，销售额为200万元．设5月、6月随着大促热度攀升，月销售额的平均增长率为x．若根据季度总销售额列方程求该平均增长率，下列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝662 B．200+200（1+x）＝662 C．200+200x+200（1+x）2＝662 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662 15．（2026春•姑苏区校级期中）某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为x，则可列方程为　 　 ． 16．（2026春•南湖区校级期中）袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为x，可列方程为　 　 ． 17．（2026春•安徽校级期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　 　 ． 18．（2026•太和县模拟）某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率． 19．（2026•扶余市模拟）某新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条．求该门店这两周该数据线销量的周平均增长率． 题型二 面积问题（围栏、小道、边框） 20．（2026春•下城区期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB＝x，则可列方程为（　　） A．（34﹣3x）x＝96 B．（32﹣3x）x＝96 C．（36﹣3x）x＝96 D． 21．（2026春•临淄区期末）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（　　） A． B．（35﹣x）（23﹣x）+2x2＝23×35 C． D．（35﹣x）（23﹣x）＝23×35 22．（2026•楚雄市二模）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 23．（2026春•北碚区校级同步）某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 24．（2026•楚雄市模拟）如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为13m，要使围成的花坛的面积为30m2，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．x（13+x）＝30 B．x（13﹣x）＝30 C．x（x﹣13）＝30 D．2x+（13﹣x）＝30 25．（2026•盂县模拟）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，宽为30cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm，如果要使整个挂图的面积是2450cm2，那么x满足的方程是 　 　 ． 26．（2026春•顺义区校级期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意可列方程为　 　 ． 27．（2025秋•呼伦贝尔期末）如图，某中学准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（其中墙CD留宽2m的入口），现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm． （1）BC的长为　 　 m，x的取值范围是　 　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为336m2？ （3）亮亮说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 28．（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 29．（2026春•瑶海区校级期中）庐阳城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度x直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 30．（2025秋•扶余市期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 31．（2026春•乳山市期末）园林部门准备在一块长25米、宽20米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为440平方米，求小路的宽度． 32．（2026春•姑苏区校级期中）某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为7米，则BC＝　 　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 题型三 销售利润问题 33．（2026•西丰县一模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价x元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 34．（2026•哈密市模拟）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售．经市场调查发现，每件T恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价x元，则可列方程是（　　） A．（20﹣x）（200+8x）＝3600 B．（20﹣x）（200+x）＝3600 C．（40﹣x）（200+8x）＝3600 D．（60﹣x）（200+8x）＝3600 35．（2025秋•黄浦区校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 36．（2026•岳麓区校级竞赛）新世纪百货某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装盈利1400元，则每件童装应降价　 　 元． 37．（2025秋•桑植县期末）成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 38．（2026春•下城区期中）杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元，请回答： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的　 　 折出售． 39．（2026春•肥城市期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 40．（2026•昂仁县三模）列方程（组）解应用题： 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价50元，售价65元，每天可售出300盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价1元，每天销量将增加10盒，若要实现每天销售利润3500元，则每盒应降价多少元销售？ 41．（2026•武威二模）某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 42．（2025秋•武侯区校级期末）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出　 　 个A种商品，若售价下降x元（x＞0），每月能售出　 　 个A种商品； （2）若本月有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 43．（2026•盂县模拟）红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元/kg，当购买红薯的质量超过250kg时，每多购买25kg，红薯的单价降低0.2元/kg，但要求红薯的单价不低于2元/kg．已知某零售商购买红薯的质量超过了300kg，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 44．（2026•岳西县模拟）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为x元（40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是　 　 件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 题型四 循环、传染、互送礼物问题 45．（2026•云南一模）为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有x支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝14 C．x（x﹣1）＝28 D． 46．（2025秋•濠江区期末）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 47．（2026•柳北区一模）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　） A．（1+x）2＝100 B．x2＝100 C．x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100 48．（2026春•余姚市校级期中）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有　 　 人． 49．（2025秋•江西校级期末）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 题型五 分式方程 + 一元二次方程混合 50．（2026春•沙坪坝区校级同步）列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． （1）求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ （2）公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 51．（2026春•双流区校级期中）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 52．（2026春•漳浦县期末）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用960元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多20斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的1.5倍． （1）求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； （2）两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1280元．求m的值． 题型六 增长率 + 利润综合题 53．（2026春•东平县期末） 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 54．（2026•利津县一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 55．（2026春•河口区期末）某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利6000元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 56．（2026春•岱岳区期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 57．（2026春•定远县校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 题型七 纯一元二次方程（代数式、存在性、方案可行性） 58．（2026春•牡丹江期中）江滨公园喜迎春季花卉展，要将原来400m2的正方形花坛，欲建成300m2的长宽比为5：3的长方形花坛，或改建成面积为300m2的圆形花坛，如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的围墙，利用旧栅栏的费用（包括安装、粉刷）每米10元，问两个改建方案是否都可行？并计算预计费用．（参考数据，π≈3，费用精确到元） 59．（2026春•瑶海区校级期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 60．（2026春•亳州期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置IP，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价x元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是　 　 件； （2）若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； （3）为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实际问题与一元二次方程题型专练 题型一 增长率 / 下降率问题 题型二 面积问题（围栏、小道、边框） 题型三 销售利润问题 题型四 循环、传染、互送礼物问题 题型五 分式方程 + 一元二次方程混合 题型六 增长率 + 利润综合题 题型七 纯一元二次方程（代数式、存在性、方案可行性） 题型一 增长率 / 下降率问题 1．（2026•双柏县二模）某社区图书室2月初的借阅人次为3600次．通过增设便民服务和开展阅读推广活动，4月初的借阅人次达到6400次．若设2～4月该社区图书室借阅人次的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．3600（1+x）＝6400 B．3600（1+2x）＝6400 C．3600（1+x）2＝6400 D．3600（1+x2）＝6400 【答案】C 【分析】利用该社区图书室4月初的借阅人次＝该社区图书室2月初的借阅人次×（1+2～4月该社区图书室借阅人次的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3600（1+x）2＝6400． 故选：C． 2．（2025秋•伊犁州期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 【答案】D 【分析】利用2024年某款新能源汽车的预估销售量＝2022年某款新能源汽车的销售量×（1+这款新能源汽车的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：22（1+x）2＝28.6． 故选：D． 3．（2026春•宁海县校级期中）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次．若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（　　） A．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910 B．250（1+x）2＝910 C．250（1+x2）＝910 D．250+250（1+x）+250（1+x2）＝910 【答案】A 【分析】第二个月进馆人次为250（1+x），第三个月进馆人次为250（1+x）2，再根据题意列式即可． 【解答】解：由题意得：第二个月进馆人次为250（1+x），第三个月进馆人次为250（1+x）2， ∴250+250（1+x）+250（1+x）2＝910， 故选：A． 4．（2026•通川区模拟）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．50（1+x）＝150 B．50（1﹣x）2＝150 C．50（1+x）2＝150 D．50（1+x）3＝150 【答案】C 【分析】利用该软件第三天在某平台的下载量＝该软件首日在某平台的下载量×（1+下载量的日平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：50（1+x）2＝150． 故选：C． 5．（2026•云南模拟）普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从2023年的95kg增长到2025年的120kg．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．95（1+2x）＝120 B．95（1+x）2＝120 C．95（1+x2）＝120 D．95（1+x）＝120 【答案】B 【分析】根据题意列出一元二次方程即可． 【解答】解：根据题意可得95（x+1）2＝120． 故选：B． 6．（2026•武威模拟）2023年安徽省货物进出口总额为8648.5亿元，2025年该省货物进出口总额达到10135.6亿元．若设2023年至2025年安徽省货物进出口总额的年平均增长率为x，依题意，可列出方程为（　　） A．8648.5（1+x）2＝10135.6 B．8648.5[1+（1+x）+（1+x）2]＝10135.6 C．8648.5（1+2x）＝10135.6 D．8648.5（1+3x）＝10135.6 【答案】A 【分析】利用2025年安徽省货物进出口总额＝2023年安徽省货物进出口总额×（1+2023年至2025年安徽省货物进出口总额的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：8648.5（1+x）2＝10135.6． 故选：A． 7．（2026•凉州区模拟）云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．2025年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设2023年该企业光伏产品全年销量为150万台，2025年该企业光伏产品全年销量为216万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．150（1+2x）＝216 B．150（1+2x）2＝216 C．150（1+x）2＝216 D．150（1+x2）＝216 【答案】C 【分析】根据题意可知，2023年销量×（1+增长率）2＝2025年销量，然后列方程即可． 【解答】解：由题意可得， 150（1+x）2＝216， 故选：C． 8．（2026•铁东区校级一模）某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A．450（1﹣x）＝370 B．450（1﹣x2）＝370 C．450（1﹣2x）＝370 D．450（1﹣x）2＝370 【答案】D 【分析】利用第三个月生产钠离子电池的成本＝第一个月生产钠离子电池的成本×（1﹣该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则第二个月生产钠离子电池的成本是450（1﹣x）万元，第三个月生产钠离子电池的成本是450（1﹣x）2万元， 根据题意得：450（1﹣x）2＝370． 故选：D． 9．（2026•渭南模拟）某化学实验中，一种反应物的质量随反应时间不断减少，已知初始质量为100g，经过2分钟反应时间后，总质量变为64g，设该反应物这2分钟内每分钟减少的百分率均为x，则可列方程为　100（1﹣x）2＝64　 ． 【答案】100（1﹣x）2＝64． 【分析】已知初始质量，平均减少率和变化后的质量，根据平均变化率的数量关系列方程即可． 【解答】解：根据题意可得：100（1﹣x）2＝64． 故答案为：100（1﹣x）2＝64． 10．（2025秋•闵行区校级期末）2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，根据中国民航局的数据预测，到2025年，我国低空经济的市场规模将达到1.5万亿元．若设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，则根据题意可列方程为　0.5（1+x）2＝1.5　 ． 【答案】0.5（1+x）2＝1.5． 【分析】设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x，根据2023年我国低空经济的市场规模为0.5万亿元，则2024年我国低空经济规模为0.5（1+x）万亿元，2025年我国低空经济规模为0.5（1+x）2万亿元，据此即可求解． 【解答】解：设这两年低空经济市场规模年平均增长率为x， 根据题意得：0.5（1+x）2＝1.5． 故答案为：0.5（1+x）2＝1.5． 11．（2026春•乳山市期末）某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．60（1+x）2＝285 B．60（1﹣x）2＝285 C．60（1+x）+60（1+x）2＝285 D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【解答】解：根据题意可得方程60+60（1+x）+60（1+x）2＝285， 故选：D． 12．（2026•岳池县模拟）某特色美食街的商户七月份的营业额为300万元，九月份的营业额为432万元，若月均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　） A．300（1+x）＝432 B．300+300（1+x）＝432 C．300（1+x）2＝432 D．300（1+2x）＝432 【答案】C 【分析】利用该特色美食街的商户九月份的营业额＝该特色美食街的商户七月份的营业额×（1+月均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：300（1+x）2＝432． 故选：C． 13．（2026•漳州模拟）某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的x倍，最终能量密度达到8a，则可列方程为（　　） A．a（1+x）2＝8a B．ax2＝8a C．2ax＝8a D．a+x2＝8a 【答案】B 【分析】依次求出两次迭代升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【解答】解：根据题意可列方程为 ax2＝8a． 故选：B． 14．（2026•永安市三模）2026年天猫618活动正在火热进行中，某美妆品牌在此期间推出多场预售与现货活动．该品牌第二季度的总销售额为662万元，其中4月作为预售启动月，销售额为200万元．设5月、6月随着大促热度攀升，月销售额的平均增长率为x．若根据季度总销售额列方程求该平均增长率，下列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝662 B．200+200（1+x）＝662 C．200+200x+200（1+x）2＝662 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662 【答案】D 【分析】分别表示出第二季度每个月的销售额，再根据总销售额列方程即可得到正确结果． 【解答】解：∵4月销售额为200万元，月销售额平均增长率为x， ∴5月销售额为200（1+x），6月销售额为200（1+x）2， ∵第二季度总销售额为4月、5月、6月销售额之和，总销售额为662万元， ∴列方程得200+200（1+x）+200（1+x）2＝662． 故选：D． 15．（2026春•姑苏区校级期中）某地农村人居住环境显著改善，农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，若设该地农村卫生厕所普及率年平均增长的百分率为x，则可列方程为　（1+x）2＝2　 ． 【答案】（1+x）2＝2． 【分析】根据农村卫生厕所普及率两年内实现翻一番，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：（1+x）2＝2． 故答案为：（1+x）2＝2． 16．（2026春•南湖区校级期中）袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为x，可列方程为　800（1+x）2＝1000　 ． 【答案】800（1+x）2＝1000． 【分析】根据平均增长率的等量关系a（1+x）2＝b，列出方程即可． 【解答】解：根据题意可列方程为800（1+x）2＝1000． 故答案为：800（1+x）2＝1000． 17．（2026春•安徽校级期末）近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　10%　 ． 【答案】10%． 【分析】依据题意，设月平均增长率为x，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【解答】解：设该新能源汽车月平均增长率为x， ∴（1+x）2＝1.21， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（负值不合题意，舍去）， ∴该新能源汽车月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 18．（2026•太和县模拟）某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据增长后的游客人数＝增长前的游客人数×（1+增长率），设5月、6月游客人数的平均增长率是x，根据今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，据此即可列方程解出即可． 【解答】解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有 （1+x）2＝（1+44%）×（1+21%）， 解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（应舍去）． 答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%． 19．（2026•扶余市模拟）某新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条．求该门店这两周该数据线销量的周平均增长率． 【答案】20%． 【分析】设该门店这两周该数据线销量的周平均增长率为x，根据第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条列方程解决即可． 【解答】解：设该门店这两周该数据线销量的周平均增长率为x，根据题意可得： 125（1+x）2＝180， 解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 答：数据线销量的周平均增长率为20%． 题型二 面积问题（围栏、小道、边框） 20．（2026春•下城区期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB＝x，则可列方程为（　　） A．（34﹣3x）x＝96 B．（32﹣3x）x＝96 C．（36﹣3x）x＝96 D． 【答案】D 【分析】设AB＝x米，则BC（36﹣3x）米，根据两个鸡场的总面积为96平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设AB＝x米，则BC（34+2﹣3x）（36﹣3x）米， 根据题意得：（36﹣3x）x＝96． 故选：D． 21．（2026春•临淄区期末）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（　　） A． B．（35﹣x）（23﹣x）+2x2＝23×35 C． D．（35﹣x）（23﹣x）＝23×35 【答案】A 【分析】根据图中曲桥分布，列出方程即可． 【解答】解：如图， 由平移性质可得， 故选：A． 22．（2026•楚雄市二模）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 【答案】C 【分析】当边框的宽度为xcm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm，根据整个挂图的面积是6300cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当边框的宽度为xcm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm， 根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300． 故选：C． 23．（2026春•北碚区校级同步）某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 【答案】A 【分析】建立关于面积和边长的等量关系，列出一元二次方程并求解即可． 【解答】解：根据矩形的面积公式可列出关于x的一元二次方程：（20﹣2x）（15﹣x）＝248． 故选：A． 24．（2026•楚雄市模拟）如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为13m，要使围成的花坛的面积为30m2，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．x（13+x）＝30 B．x（13﹣x）＝30 C．x（x﹣13）＝30 D．2x+（13﹣x）＝30 【答案】B 【分析】根据篱笆的总长及花坛较短边的长度，可得出花坛较长边的长度为（13﹣x）m，根据花坛的面积为30m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设花坛较短边的长度为x，则花坛较长边的长度为13﹣x， 根据题意得：x（13﹣x）＝30． 故选：B． 25．（2026•盂县模拟）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，宽为30cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm，如果要使整个挂图的面积是2450cm2，那么x满足的方程是 　（65+2x）（30+2x）＝2450　 ． 【答案】（65+2x）（30+2x）＝2450． 【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（65+2x）cm，宽就为（30+2x）cm，根据整个挂图的面积是2450cm2列出方程即可． 【解答】解：设金色纸边的宽为xcm， 根据题意得：（65+2x）（30+2x）＝2450， 故答案为：（65+2x）（30+2x）＝2450． 26．（2026春•顺义区校级期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意可列方程为　（40﹣x）（22﹣x）＝520　 ． 【答案】（40﹣x）（22﹣x）＝520． 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程． 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为xm，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520， 故答案为：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 27．（2025秋•呼伦贝尔期末）如图，某中学准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（其中墙CD留宽2m的入口），现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为xm． （1）BC的长为　（62﹣2x）　 m，x的取值范围是　x＜31　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为336m2？ （3）亮亮说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 【答案】（1）（62﹣2x），x＜31； （2）24； （3）亮亮的说法不正确，理由如下： 假设矩形花园ABCD的面积可以为500m2， 根据题意得：x（62﹣2x）＝500， 整理得：x2﹣31x+250＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣31）2﹣4×1×250＝﹣39＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立， 即矩形花园ABCD的面积不可以为500m2， ∴亮亮的说法不正确． 【分析】（1）利用BC的长＝60+入口的宽度﹣2×AB的长，可用含x的代数式表示出BC的长，由各边长度为正值及旧围墙MN的长度，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2）根据矩形花园ABCD的面积为336m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设矩形花园ABCD的面积可以为500m2，根据矩形花园ABCD的面积可以为500m2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣39＜0，可得出原方程无实数根，进而可得出假设不成立，即亮亮的说法不正确． 【解答】解：（1）设AB的长为xm，则BC的长为60+2﹣2x＝（62﹣2x）m， ∵， ∴x＜31． 故答案为：（62﹣2x），x＜31； （2）根据题意得：x（62﹣2x）＝336， 整理得：x2﹣31x+168＝0， 解得：x1＝7（不符合题意，舍去），x2＝24． 答：当x为24时，矩形花园ABCD的面积为336m2； （3）亮亮的说法不正确，理由如下： 假设矩形花园ABCD的面积可以为500m2， 根据题意得：x（62﹣2x）＝500， 整理得：x2﹣31x+250＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣31）2﹣4×1×250＝﹣39＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立， 即矩形花园ABCD的面积不可以为500m2， ∴亮亮的说法不正确． 28．（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 【分析】设出垂直住房墙一边长，再利用建造的围墙与门的总长为（32+2）m，用建造的围墙与门的总长减去两条垂直住房墙的边长，最后根据矩形面积公式列式求解． 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm， 由题意得x（32﹣2x+2）＝140， 解得x1＝7，x2＝10， 当x＝7时，32﹣2x+2＝20＞18（舍去）， 当x＝10时，32﹣2x+2＝14＜18， 答：所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 29．（2026春•瑶海区校级期中）庐阳城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度x直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 【答案】步行道的宽为8米． 【分析】根据“绿化种植区总占地面积为220平方米”列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：根据题意得，（30﹣x）（18﹣x）＝220， 解得x1＝40（舍去），x2＝8， 答：步行道的宽为8米． 30．（2025秋•扶余市期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚． 【分析】设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米，根据围成车棚的面积为96m2，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米， 根据题意得：x（18+2﹣x）＝96， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， 当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）； 当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）． 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚． 31．（2026春•乳山市期末）园林部门准备在一块长25米、宽20米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为440平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米． 【分析】设小路的宽度为x米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：设小路的宽度为x米， ∴25×20﹣（25﹣5x）x﹣（20﹣5x）x﹣（5x）2＝440． 500﹣25x﹣5x2﹣20x+5x2﹣25x2＝440， 解得x1＝1，x2＝﹣4（不合题意，舍）． 答：小路的宽度为1米． 32．（2026春•姑苏区校级期中）某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为7米，则BC＝　（48﹣3x）　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）（48﹣3x）； （2）边CD的长为9米； （3）矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米， 根据题意得：x（48﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣16x+80＝0， ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×80＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 【分析】（1）利用BC的长＝建成后木栏总长+3﹣3×CD的长，可用含x的代数式表示出BC的长； （2）根据矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为25米，即可确定结论； （3）假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米，根据矩形饲养场ABCD的面积为240平方米，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣64＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 【解答】解：（1）根据题意得：BC＝45+3﹣3x＝（48﹣3x）米． 故答案为：（48﹣3x）； （2）根据题意得：x（48﹣3x）＝189， 整理得：x2﹣16x+63＝0， 解得：x1＝7，x2＝9， 当x＝7时，48﹣3x＝48﹣3×7＝27＞25，不符合题意，舍去； 当x＝9时，48﹣3x＝48﹣3×9＝21＜25，符合题意． 答：边CD的长为9米； （3）矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米， 根据题意得：x（48﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣16x+80＝0， ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×80＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 题型三 销售利润问题 33．（2026•西丰县一模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价x元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设每盒应降价x元，再根据利润＝（售价﹣进价）×销量即可列出方程． 【解答】解：根据题意可得： ， 故选：B． 34．（2026•哈密市模拟）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销量，该商场准备降价销售．经市场调查发现，每件T恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，设每件T恤降价x元，则可列方程是（　　） A．（20﹣x）（200+8x）＝3600 B．（20﹣x）（200+x）＝3600 C．（40﹣x）（200+8x）＝3600 D．（60﹣x）（200+8x）＝3600 【答案】A 【分析】根据题意，每件利润为售价减进价，降价x元后每件利润为（60﹣x）﹣40＝（20﹣x）元；销售量因降价增加，为（200+8x）件，总利润为每件利润乘以销售量，据此列方程． 【解答】解：每件T恤每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利3600元，则： ∵降价后每件利润为（60﹣x）﹣40＝（20﹣x）元，每周销售量为（200+8x）件， ∴由总利润3600元得方程：（20﹣x）（200+8x）＝3600， 故选：A． 35．（2025秋•黄浦区校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）20%； （2）50元/个． 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量＝该品牌头盔4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价上涨y元，则每个的销售利润为（40+y﹣30）元，月销售量为（600﹣10y）个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其代入（40+y）中，可求出售价，再结合尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：200×（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设售价上涨y元，则每个的销售利润为（40+y﹣30）元，月销售量为6005＝（600﹣10y）个， 根据题意得：（40+y﹣30）（600﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， 当y＝10时，售价为40+10＝50（元/个）， 当y＝40时，售价为40+40＝80（元/个）， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 36．（2026•岳麓区校级竞赛）新世纪百货某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装盈利1400元，则每件童装应降价　12或20　 元． 【答案】12或20． 【分析】设每件童装应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（205）件，利用平均每天销售这种童装的总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（205）件， 根据题意得：（40﹣x）（205）＝1400， 整理得：x2﹣32x+240＝0， 解得：x1＝12，x2＝20， ∴每件童装应降价12或20元． 故答案为：12或20． 37．（2025秋•桑植县期末）成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）头盔销售量的月增长率为20%； （2）该品牌的头盔每个应涨价5元． 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价m元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【解答】解：（1）设头盔销售量的月增长率为x， 根据题意列一元二次方程得：375（1+x）2＝540， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴头盔销售量的月增长率为20%； （2）设头盔每个涨价m元， 根据题意列一元二次方程得：（10+m）（500﹣20m）＝6000， 整理得m2﹣15m+50＝0， 解得m1＝5，m2＝10（不符合题意，舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 38．（2026春•下城区期中）杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元，请回答： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的　八　 折出售． 【答案】（1）20%； （2）①1元或9元； ②八． 【分析】（1）设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x，利用该专卖店春笋干货5月份的销售量＝该专卖店春笋干货3月份的销售量×（1+该专卖店春笋干货销售量的月增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①设每千克春笋干货降价y元，则每千克春笋干的销售利润为（45﹣25﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克，利用总利润＝每千克春笋干的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论； ②由要尽可能让利于顾客，可确定y的值，再将其代入10中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x， 根据题意得：2500（1+x）2＝3600， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该专卖店春笋干货销售量的月增长率为20%； （2）①设每千克春笋干货降价y元，则每千克春笋干的销售利润为（45﹣25﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克， 根据题意得：（45﹣25﹣y）（100+10y）＝2090， 整理得：y2﹣10y+9＝0， 解得：y1＝1，y2＝9． 答：每千克春笋干货应降价1元或9元； ②∵要尽可能让利于顾客， ∴y＝9， ∴1010＝8， ∴应按原售价的八折出售． 故答案为：八． 39．（2026春•肥城市期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）20%； （2）售价应降低20元． 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价2t元，则单件利润为（40﹣2t）元，每日销量为（30+4t）件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 【解答】解：（1）设月平均增长率为x， 根据题意，可得700（1+x）2＝1008， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， ∴x＝0.2＝20%， 答：月平均增长率为20%； （2）设降价2t元，则单件利润为90﹣2t﹣50＝40﹣2t（元），每日销量为30+4t（件）， 根据题意，可得（30+4t）（40﹣2t）＝1400， 解得，t2＝10， ∵要求尽快减少库存， ∴2×10＝20元， 答：售价应降低20元． 40．（2026•昂仁县三模）列方程（组）解应用题： 端午节是中国传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗．在端午节来临之际，某超市准备了一批粽子，每盒进价50元，售价65元，每天可售出300盒．超市为了让利顾客，决定降价销售．根据市场调研，若每盒售价每降价1元，每天销量将增加10盒，若要实现每天销售利润3500元，则每盒应降价多少元销售？ 【答案】每盒应降价5元销售． 【分析】设每盒降价x元，则每盒利润为（15﹣x）元，每天销量为（300+10x）盒．根据“每天销售利润＝单盒利润×日销量”列方程求解，注意检验解的合理性． 【解答】解：设每盒降价x元，则每盒售价为（65﹣x）元，每盒利润为（65﹣x）﹣50＝（15﹣x）元，每天销量为（300+10x）盒， 由题意得：（15﹣x）（300+10x）＝3500， 解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意舍去）， 答：每盒应降价5元销售． 41．（2026•武威二模）某商家推出一款玩具，成本为40元/个，当售价定为70元/个时平均每天可售出60个．该商家决定采取降价措施以提升销量，试销一段时间后发现，该款玩具的单价每降2元，平均每天可多售出10个．商家为了尽快减少库存，且希望平均每天盈利2160元．求每个玩具应降价多少元？ 【答案】每个玩具应降价12元． 【分析】设出降价金额后，分别表示出降价后单个玩具的利润和每天的销售量，根据总盈利等于单个利润乘以销售量建立方程求解，再结合“尽快减少库存”的要求对所得的解进行取舍即可． 【解答】解：设每个玩具应降价x元，则降价后每个玩具的利润为（70﹣x﹣40）元，平均每天的销售量为个， 得：， 解得：x＝12或x＝6， 由题意可得：x＝12， 答：每个玩具应降价12元． 42．（2025秋•武侯区校级期末）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出　1600　 个A种商品，若售价下降x元（x＞0），每月能售出　（600+200x）　 个A种商品； （2）若本月有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600，（600+200x）； （2）每个A商品的售价为37元； （3）月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个A商品降价y元，则每月能售出（600+200y）个A商品， 由题意得：（40﹣30﹣y）（600+200y）＝9600， 整理得：y2﹣7y+18＝0， ∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0， ∴方程无实数根， ∴月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据题意得出售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品降价x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每个A商品降价y元，则每月能售出（600+200y）个A商品，根据月获利达到9600元列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴售价每下降5元，其月销售量就增加1000个， ∴若售价下降5元，每月能售出600+1000＝1600个A商品， 若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个A商品； 故答案为：1600，（600+200x）； （2）设每个A商品降价x元， 由题意得：（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝4时，600+200x＝1400＞1210，不符合题意，舍去； 当x＝3时，600+200x＝1200＜1210，符合题意； ∴40﹣x＝37， 答：每个A商品的售价为37元； （3）月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个A商品降价y元，则每月能售出（600+200y）个A商品， 由题意得：（40﹣30﹣y）（600+200y）＝9600， 整理得：y2﹣7y+18＝0， ∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0， ∴方程无实数根， ∴月获利不能达到9600元． 43．（2026•盂县模拟）红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元/kg，当购买红薯的质量超过250kg时，每多购买25kg，红薯的单价降低0.2元/kg，但要求红薯的单价不低于2元/kg．已知某零售商购买红薯的质量超过了300kg，且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量． 【答案】该零售商购买红薯的质量为350kg． 【分析】设该零售商购买红薯的质量为（250+y）kg，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【解答】解：设该零售商购买红薯的质量为（250+y）kg． ． 解得y1＝25，y2＝100． 当y＝100时，250+y＝350＞300，且． 当y＝25时，250+y＝275＜300，舍去． 答：该零售商购买红薯的质量为350kg． 44．（2026•岳西县模拟）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为x元（40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是　　 件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）50元/件； （3）该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元， 根据题意列一元二次方程得，， 整理得x2﹣140x+5000＝0， ∵Δ＝（﹣140）2﹣4×1×5000＝﹣400＜0， ∴此一元二次方程没有实数根， ∴该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 【分析】（1）小家电的数量等于原来的数量100加上增长的数量，列式化简即可； （2）根据利润等于单价乘以数量列方程，求解方程，即可得解； （3）根据利润等于单价乘以数量列方程，根据判别式判断方程解的情况． 【解答】解：（1）该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为：； （2）根据题意列一元二次方程得，， 解得x1＝50，x2＝90（不合题意，舍去）， 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； （3）该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意列一元二次方程得，， 整理得x2﹣140x+5000＝0， ∵Δ＝（﹣140）2﹣4×1×5000＝﹣400＜0， ∴此一元二次方程没有实数根， ∴该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 题型四 循环、传染、互送礼物问题 45．（2026•云南一模）为响应全民健身热潮，促进城际间的体育文化交流，某热门联赛计划组织多支足球队进行单循环赛制的友谊赛．参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排28场比赛．设有x支足球队参赛，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝14 C．x（x﹣1）＝28 D． 【答案】A 【分析】根据参赛的每两支足球队之间都要比赛一场，赛程计划安排28场比赛，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 46．（2025秋•濠江区期末）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【答案】D 【分析】利用每组安排比赛的场数＝每组邀请球队数×（每组邀请球队数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据每组安排比赛的场数＝每组邀请球队数×（每组邀请球队数﹣1）÷2可得： ， 故选：D． 47．（2026•柳北区一模）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　） A．（1+x）2＝100 B．x2＝100 C．x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100 【答案】A 【分析】根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【解答】解：根据题意可列方程为：（1+x）2＝100， 故x满足的方程为（1+x）2＝100， 故选：A． 48．（2026春•余姚市校级期中）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有　9　 人． 【答案】9． 【分析】设这个数学小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组一共送了72张贺卡，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个数学小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 即这个数学小组共有9人， 故答案为：9． 49．（2025秋•江西校级期末）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】设参赛队伍数量为x，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【解答】解：设共有x个队参赛， 由题意列一元二次方程可得，， 整理得，x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）， 答：共有6个队参赛． 题型五 分式方程 + 一元二次方程混合 50．（2026春•沙坪坝区校级同步）列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． （1）求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ （2）公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 【答案】（1）B型汽车进价为每辆20万元，A型汽车进价为每辆30万元； （2）m的值为0.5． 【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆1.5x万元，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意，先分别列式求出第一个月和第二个月的利润，再根据第二个月比第一个月的利润多3万元，列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）设B型汽车的进价为每辆x万元， 依题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是方程的解，且符合题意， 则1.5x＝1.5×20＝30， 答：B型汽车的进价为每辆20万元，A型汽车的进价为每辆30万元； （2）第一个月的利润为： （35﹣30）×8+（25﹣20）×6＝70（万元）， 第二个月的利润为： （35﹣30﹣m）×（8+2m）+（25×90%﹣20）×13 ＝（5﹣m）×（8+2m）+2.5×13 ＝40+10m﹣8m﹣2m2+32.5 ＝﹣2m2+2m+72.5， ∵第二个月比第一个月的利润多3万元， ∴﹣2m2+2m+72.5﹣70＝3， ﹣2m2+2m﹣0.5＝0， 解得m＝0.5， 即m的值为0.5． 51．（2026春•双流区校级期中）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个． （1）求每个A种、B种挂件的价格； （2）世界运动会期间，该文旅中心的A种挂件平均每天销售12个，世界运动会结束后，该文旅中心决定对A种挂件降价销售，根据市场调研反馈，每降价1元销售数量会增加4个，但是销售单价不得低于8元，请问是否存在某一天A种挂件销售总额为216元，若存在请计算出当天A种挂件的销售单价，若不存在请通过计算说明理由． 【答案】（1）每个A种挂件的价格是12元，每个B种挂件的价格是9元； （2）存在某一天A种挂件销售总额为216元，当天A种挂件的销售单价为9元/个． 【分析】（1）设每个A种挂件的价格是x元，则每个B种挂件的价格是x元，利用数量＝总价÷单价，结合用270元购买B种挂件的数量比用240元购买A种挂件的数量多10个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每个A种挂件的价格），再将其代入x中，即可求出每个B种挂件的价格； （2）存在，设当天A种挂件的销售单价为y元/个，则平均每天可售出（60﹣4y）个，利用销售总额＝销售单价×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合销售单价不得低于8元，即可确定结论． 【解答】解：（1）设每个A种挂件的价格是x元，则每个B种挂件的价格是x元， 根据题意得：10， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意， ∴x12＝9（元）． 答：每个A种挂件的价格是12元，每个B种挂件的价格是9元； （2）存在，设当天A种挂件的销售单价为y元/个，则平均每天可售出12+4（12﹣y）＝（60﹣4y）个， 根据题意得：y（60﹣4y）＝216， 整理得：y2﹣15y+54＝0， 解得：y1＝6，y2＝9， ∵销售单价不得低于8元， ∴y＝9． 答：存在某一天A种挂件销售总额为216元，当天A种挂件的销售单价为9元/个． 52．（2026春•漳浦县期末）漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用960元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多20斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的1.5倍． （1）求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； （2）两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1280元．求m的值． 【答案】（1）黄翅鱼单价为16元/斤，石斑鱼单价为24元/斤； （2）8． 【分析】（1）设黄翅鱼的单价为x元/斤，则石斑鱼的单价为1.5x元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意得出第二次购买时，石斑鱼的数量为（40+2m）斤，黄翅鱼的数量为80﹣（40+2m）＝（40﹣2m） 斤，根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设黄翅鱼的单价为x元/斤，则石斑鱼的单价为1.5x元/斤． 根据题意，， 解得x＝16， 检验：当x＝16时，1.5x≠0， 所以x＝16是原方程的解， 则石斑鱼的单价为：1.5x＝1.5×16＝24（元/斤）． 答：黄翅鱼单价为16元/斤，石斑鱼单价为24元/斤； （2）第一次购买石斑鱼的数量：（斤）， 第二次购买时，石斑鱼的数量为（40+2m）斤，黄翅鱼的数量为80﹣（40+2m）＝（40﹣2m） 斤； 石斑鱼的单价变为（24﹣m）元/斤，黄翅鱼单价仍为16元/斤． 根据题意，16（40﹣2m）+（24﹣m）（40+2m）＝1280， 解得m＝﹣20（不合题意，舍去）或m＝8． 答：m的值为8． 题型六 增长率 + 利润综合题 53．（2026春•东平县期末） 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65﹣m）元，销售量为（30+3m）个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为（65﹣y）元，销售量为（30+3y）个，根据平均每天能否获利2100元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x， 由题意得：6（1+x）2＝8.64， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%； （2）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65﹣m）元，销售量为（30+3m）个， 由题意得：（65﹣m﹣30）（30+3m）＝1500， 整理得：m2﹣25m+150＝0， 解得：m1＝15，m2＝10（不符合题意，舍去）， ∴65﹣m＝50， 答：下调后每个手办的售价为50元； （3）平均每天不能获利2100元，理由如下： 设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为（65﹣y）元，销售量为（30+3y）个， 由题意得：（65﹣y﹣30）（30+3y）＝2100， 整理得：y2﹣25y+350＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×350＝﹣775＜0， ∴原方程无实数根， ∴平均每天不能获利2100元． 54．（2026•利津县一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）25%； （2）200套． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝﹣2.25（不符合题意，舍去），x2＝0.25＝25%， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， ∵1600×100＝160000＜240000元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 根据题意得：， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝300，m2＝200， 当m＝300时，售价（不符合题意，舍去）； 当m＝200时，售价＝160040＝1200＞1000，符合题意； 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 55．（2026春•河口区期末）某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克64元，连续两次降价后每千克49元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利6000元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）12.5%； （2）5元． 【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，64降至49就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为x，则： 64（1﹣x）2＝49 ∴，（舍去）， 答：每次下降的百分率为12.5%． （2）设每千克应涨价x元，则： （10+x）（500﹣20x）＝6000， ∴x1＝10，x2＝5， ∵尽可能减少库存， ∴选择较小的涨价幅度x＝5， 答：每千克应涨价5元． 56．（2026春•岱岳区期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）20%； （2）404元． 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为x， 由题意得150（1+x）2＝216 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为20%． （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： ， 解得y1＝416，y2＝404， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 57．（2026春•定远县校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设售价上涨y个0.5元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， ∴200×（1+x）2＝288， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设售价上涨y个0.5元， 则（40+0.5y﹣30）（600﹣5y）＝10000， ∴y1＝80，y2＝20， 当y＝20时，售价为40+0.5y＝50元， 当y＝80时，售价为40+0.5y＝80元， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 题型七 纯一元二次方程（代数式、存在性、方案可行性） 58．（2026春•牡丹江期中）江滨公园喜迎春季花卉展，要将原来400m2的正方形花坛，欲建成300m2的长宽比为5：3的长方形花坛，或改建成面积为300m2的圆形花坛，如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的围墙，利用旧栅栏的费用（包括安装、粉刷）每米10元，问两个改建方案是否都可行？并计算预计费用．（参考数据，π≈3，费用精确到元） 【答案】两个改建方案都可行，长方形改建预计费用为715元，圆形花坛改建预计费用为600元． 【分析】先求出原正方形花坛周长，再分别计算出长方形花坛和圆形花坛的周长，再根据周长判断旧栅栏是否够用，最后根据费用标准计算出预计费用． 【解答】解：原正方形花坛的边长为， 所以原正方形花坛周长为20×4＝80（m）． 设长方形花坛的宽为3xm，长为5xm， 由题意可知5x•3x＝300， 解得：（负值舍去）． ∵长方形花坛周长，此方案可行， ∴矩形费用元≈715（元）； 设圆形花坛半径为rm， πr2＝300， 解得r＝10（负值舍去）． ∴圆形花坛的周长为2×3×10＝60（m）＜80m， ∴所需费用为：60×10＝600（元）， 综上所述，两个改建方案都可行，长方形改建预计费用为715元，圆形花坛改建预计费用为600元． 59．（2026春•瑶海区校级期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【答案】（1）10%； （2）每件应降价36元． 【分析】（1）若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，据此列方程求解即可． （2）设每件应降价y元，则每天可售出（30+2y）件，根据销售额＝售价×总数量列方程求解，由于要回馈顾客并减少库存，降价较多的解即为答案． 【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得100（1﹣x）2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9 （不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%． （2）设每件应降价y元， 依题意，得（81﹣y）（30+2y）＝4590， 解得y1＝36，y2＝30． ∵由题意可得：要尽快减少库存， ∴y＝36， 答：每件应降价36元． 60．（2026春•亳州期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置IP，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价x元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是　（500﹣5x）　 件； （2）若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； （3）为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 【答案】（1）（500﹣5x）； （2）此时模型的实际售价为50元； （3）扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元， ∵每售出一件捐赠5元， ∴每件实际利润为（x﹣40﹣5）＝（x﹣45）元， 假设利润能达到3800元，列方程：（x﹣45）（500﹣5x）＝3800， 展开并整理得x2﹣145x+5260＝0， ∵此方程中a＝1，b＝﹣145，c＝5260， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣145）2﹣4×1×5260＝﹣15＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴不存在满足条件的售价x ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 【分析】（1）根据题意列出代数式； （2）利用一元二次方程求解； （3）列出一元二次方程，通过根的判别式进行判断． 【解答】解：（1）由题意可得：每降1元，销量增5件， ∵降价（60﹣x）元， ∴销量＝200+5（60﹣x）＝500﹣5x； 故答案为：（500﹣5x）； （2）∵每件利润（x﹣40）元，销量（500﹣5x）件，利润2500元， ∴（x﹣40）（500﹣5x）＝2500， 解得x1＝90，x2＝50， ∵40≤x≤60， ∴x＝90舍去， ∴此时模型的实际售价为50元； （3）∵每售出一件捐赠5元， ∴每件实际利润为（x﹣40﹣5）＝（x﹣45）元， 假设利润能达到3800元，列方程：（x﹣45）（500﹣5x）＝3800， 展开并整理得x2﹣145x+5260＝0， ∵此方程中a＝1，b＝﹣145，c＝5260， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣145）2﹣4×1×5260＝﹣15＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴不存在满足条件的售价x ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $