期中考前满分冲刺之优质压轴题 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册考点解惑

**基本信息** 聚焦期中几何压轴，以十大类型题构建“模型-方法-应用”体系，融合抽象能力与推理意识，实现知识整合与解题技巧的系统突破。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠与最值|6题|对称转化、将军饮马模型|三角形性质→折叠对称→最值计算| |角平分线与垂直平分线|6题|角平分线性质、中垂线性质|全等判定→性质应用→线段关系证明| |倍长中线与截长补短|6题|倍长中线构造全等、截长补短法|中线性质→辅助线添加→线段和差关系| |将军饮马与数形结合|6题|对称化折为直、勾股定理建模|几何模型→代数表达→最值求解|

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、折叠、最值问题(选、填) 1．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设，由折叠可得，，，，，利用平角的定义和直角三角形两锐角互余求出，在中，根据勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：设， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∴． 2．在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据沿着折叠，点落在线段上的点处，可得，，，根据沿折叠，点与点重合，可得，，，在和中，根据勾股定理求得，即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 3．如图，在中，，，平分，，分别为，上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取点，使，连接，过点作，交于，利用角平分线证明，进而证明，然后把的最小值转化为，再结合角构造等腰直角三角形，用勾股定理算出即可． 【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作，交于， 平分， ， 在和中， ， ， ，当点，，共线时，取得最小值，即， 为点到的最短距离， 当与重合，即当点运动到点，点运动到点，取得最小值， ，， ， ， ， ，即， 解得， 的最小值为． 4．如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，设，根据折叠的性质得，，，，，推出，根据含的直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，最后在中，根据建立关于方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 5．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题： 几何应用1：如图2，在边长为2的等边中，D，E分别是、的中点，是上的一动点，则的最小值为_____； 几何应用2：如图3，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键； 几何应用1：连接，由题意易得，则点B、C关于线段对称，然后可得当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，进而问题可求解； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，由题意易得，，，，然后同理可得的最小值为线段的长，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：几何应用1：连接，如图所示： ∵是边长为2的等边三角形，D，E分别是、的中点， ∴， ∴点B、C关于线段对称， ∴， ∴， ∴当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，如图所示： ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：的最小值为线段的长， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 6．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为_____． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 类型二、正确结论、阴影部分问题(选、填) 1．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定和三角形的面积公式，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．因为求的阴影部分面积其实是两个三角形的面积和，转化为两个三角形的面积问题，然后作出对应三角形的高，并合理转化高，发现每个三角形都与等底等高，验证即可求解． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点P，过点C作交的延长线于点Q，过点G作交的延长线于点S，过点C作交的延长线于点T，作交于点H， ∴，， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴，同理可证， ∴，， ∴， 故选：B． 2．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A．27 B．36 C．40 D．45 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，设交于G，交于H，可证明，得到；再证明三点共线，则可证明，得到，根据，得到，则，由勾股定理可得，则正方形的面积是45． 【详解】解：如图所示，设交于G，交于H， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点恰好是的中点， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是45， 故选：D． 3．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：C 4．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】根据题意利用割补法，通过全等三角形将阴影部分面积转化为两个直角三角形面积之和，进而化简为，最后利用完全平方公式变形求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ∴，，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 5．如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是______（填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形．由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 6．如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据同角的余角相等得到； 对于②，通过证明，进而得到； 对于④，通过证明垂直平分，得到，，，进而得到，是等腰三角形； 对于③，根据平行线的性质和，是等腰三角形，若平分，则是等边三角形，由于题目中无条件可以证明是等边三角形，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 由②知， ∵是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形，故④正确； 由④知，是等腰三角形， ∴， 若平分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，题目中无条件可以证明是等边三角形，故③错误． 综上，正确结论的序号是①②④． 类型三、角平分线与垂直平分线结合应用(解) 1．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据角平分线的性质可得，，证明，得到，推出，结合 ， 即可求解． 【详解】（1）略 （2），，平分， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ． 2．已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）图中哪条线段和BE相等？为什么？ （2）若AB=6，AC=3，求BE的长． 【答案】（1）BE=CF，理由见解析；（2） 【分析】（1）连CD、BD，如图，根据角平行线的性质定理得到DE=CF，根据线段垂直平分线的性质得CD=BD，则可利用“HL“证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而得到BE=CF； （2）先证明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，设BE=CF=x，则AE=6-x，而AE=AF=AC+CF=3+x，则3+x=6-x，然后解方程求出x即可． 【详解】（1）BE=CF．理由如下： 连CD、BD，如图， ∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=CF， 又∵DG垂直平分BC， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中 ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE=CF； （2）在Rt△ADF和Rt△ADE中， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴AE=AF， 设BE=CF=x，则AE=6-x， ∵AF=AC+CF=3+x， ∴3+x=6-x，解得x=， 即BE=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质． 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长． 【答案】（1）证明： 连接DB、DC， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴DB＝DC． ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． 在Rt△DBE和Rt△DCF中 ， Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）， ∴BE＝CF． （2）AE＝7，BE＝1． 【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论； （2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论． 【详解】解：（1） 略 （2）在Rt△ADE和Rt△ADF中 ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）． ∴AE＝AF． ∵AC+CF＝AF， ∴AE＝AC+CF． ∵AE＝AB﹣BE， ∴AC+CF＝AB﹣BE， ∵AB＝8，AC＝6， ∴6+BE＝8﹣BE， ∴BE＝1， ∴AE＝8﹣1＝7． 即AE＝7，BE＝1． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 4．如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，，则______． 【答案】(1) 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）先证明得到，设，然后根据，得出方程解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：在，中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 5．如图，在中，平分，且平分于点，于点交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵平分，，， ∴， ∵且平分于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （）连接，由角平分线性质得，根据垂直平分线性质可得，再证明，即可得出结论； （）由（）得出，证明，则，又，代入可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）知， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，已知中，边的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交AC于点G，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，，平分， ∴， 又为的垂直平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ (2)2 【分析】（1）通过判定，即可求证； （2）通过证明，得到，设，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 在和中， ∵ ∴， ∴，∴， 设，则， 解得：， 即 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 类型四、整数部分与小数部分(解) 1．请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查无理数的估算，涉及二次根式性质、代数式求值，读懂文字材料，理解表示无理数整数部分与小数部分的方法是解决问题的关键． （1）先估算的范围，再由材料中的方法表示即可得到答案； （2）先估算的范围，再由材料中的方法表示，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为2，小数部分为； （2）解：， ， ∴， 是的整数部分，是的小数部分， ，， ． 2．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了无理数估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：∵ ∴， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， 4．阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： (1)的小数部分是___________，的整数部分是___________； (2)若的小数部分是，的整数部分是，求的值； (3)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】（1）估算出的整数部分，即可求得其小数部分；估算出的整数部分，即可确定的整数部分； （2）求出的整数部分，再得到的整数数部分，即可求得m；估算出的整数部分，即可求得n，代入即可求解； （3）估算出的整数部分与小数部分，从而确定出a与b的值，进而求得的值，从而求得其平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为5，则小数部分为； ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为1，则小数部分为，即， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为10，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 5．阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能够熟练运用夹逼法是解题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的小数部分为； （2）解：， ，， ，， ； （3）解： ， ∴， ∴， 又∵，其中是整数，且， ∴， ∴， ∴的平方根是． 6．因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，直接写出哪位同学的结果精确度更高． 【答案】(1)2， (2)， (3)① ②小明 【分析】本题考查了无理数的估算和完全平方公式的应用．熟练掌握无理数的估算和完全平方公式是解题的关键． （1）利用“比较平方数大小估算无理数范围”即可求解； （2）先由得到，再根据（是整数，），的形式，拆分出整数部分和小数部分； （3）①利用完全平方公式进行变形，因，可以忽略，近似求解； ②通过比较两个近似值的平方与的接近程度来判断精确度即可． 【详解】（1）解：（即）， 的整数部分是2， 的小数部分为． 故答案为2，； （2）解：由可得， （是整数，）， 的整数部分为，即， 将代入， 解得， 故答案为，； （3）解：①， ，即， ， 很小，可忽略不计， 近似为，即， 解得， ； ②小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又， 小明的结果精确度更高． 类型五、两个斜边的一半问题(解) 1．实验操作： 如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系．教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请结合图2，已知：在中，，，求证：． (2)实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． (3)拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接， 则, 、 是等边三角形， ； (2) 证明：对折矩形纸片，为折痕， 、 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 、、 ； (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）以B为圆心，以长为半径作弧，交延长线于D，连接，则，证得是等边三角形，进而证得； （2）根据折叠的性质折叠、，进而证得，根据，证得； （3）过点C作交延长线于点D，证得、，根据直角三角形的面积公式进行计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图4，过点C作交延长线于点D， ． 2．学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好地理解和运用相关定理或结论．课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小颖受此启发给出如下证明过程： 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：如图，延长至点，使． 因为，所以垂直平分． 所以． 因为，，所以． 所以是等边三角形． 所以，即． 独立思考： （1）如图①，在中，，，作边上的中线，请判断： ①的形状； ②与的数量关系． 合作交流： （2）如图②，在（1）的基础上，是边上任意一点，连接，作等边三角形，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①是等边三角形； ②； （2）．证明如下： 如图3，连接． ∵，都是等边三角形， ∴． ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 【分析】（1）①由题意可得，根据30度角的直角三角形的性质和为边上的中线可得，进而可得结论； ②根据等边三角形的性质和即可证得结论； （2）连接，根据等边三角形的性质可证得，可得，进而可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）①是等边三角形．理由如下： ∵， ∴，． ∵为边上的中线， ∴． ∴． 又， ∴是等边三角形． ②．理由如下： 由①，得是等边三角形． ∴． ∵为边上的中线， ∴． ∴． （2）略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键． 3．数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理． (1)推理证明：本学期，我们利用两个含的全等的三角尺拼成一个等边三角形，从而发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 如图1，在中，，，则，请你证明这个结论． (2)迁移应用：利用上述结论解决以下问题： ①如图2，在中，，，且．点P是边上一点．若，求点P到边的距离． ②如图3，在中，，，点P是边上一点，连接．若，求出的最小值． 【答案】(1)证明：如图，延长至点，使，连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． (2)①；②的最小值为 【分析】（1）如图，延长至点，使，连接，易证得，可得，进而可知是等边三角形，可得； （2）①如图，利用（1）中证明的结论求得，结合勾股定理可得，由，可得，过点作于，再次利用（1）中结论可得，即可得点到边的距离； ②如图，作点关于直线的对称点，连接，则，过点作， 可知，当，，在同一直线上时取等号，即此时，由题意可得，，，进而可得，可知，结合勾股定理，即可得的最小值为． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，在中，，且． ∴， ∴，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， 故点到边的距离； ②如图，作点关于直线的对称点，连接，则， 过点作， 则：，当，，在同一直线上时取等号， 即此时， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握含的直角三角形的性质的证明及构造含的直角三角形运用其求边长度是解决问题的关键． 4．小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 分析：要证明等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到点，使得，连接，只需通过证明三角形全等即可证明． 证明：延长到点，使得，连接，如图2所示． …… 【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明； 【问题再探】如图3，在中，于点，是边的中线，垂直平分，若，则的度数为________； 【拓展提升】如图4，，是的两条高，，分别是，的中点，若，，试求线段的长． 【答案】[问题解决] 证明：是的中线， ． ，， ． ，． 在中，， ． ，， ． ． ， ． 即证“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． [问题再探] [拓展提升]． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质、等边对等角、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． [问题解决]证明得出，，再证明得出，从而推出，即可得证； [问题再探]连接，求出，由直角三角形的性质得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案； [拓展提升]连接，，由直角三角形的性质可得，，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】[问题解决] 证明：是的中线， ． ，， ． ，． 在中，， ． ，， ． ． ， ． 即证“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． [问题再探] 解：如图，连接， ，，， ， 是边的中线， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； [拓展提升] 解：如图所示，连接，， 于点， ． 在中，，为的中点， ． 同理可得． ． 为的中点， ，． 在中，， ． 5．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．    【答案】 解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接．    在和中，， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中，， ∴， ． ∴， （2）证明：连接． ，且为的中点，   ， ， ， ， ， ∴， ； （3）解：如图所示，过作于，连接．   ，且， ． ∴． ． ， ， ∴为等边三角形． ，， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】（1）略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 6．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 【答案】 （1）证明：如图所示： 延长到，使得，连接．   AI 在和中， ， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴； （2）证明：连接． ，且为的中点，   ， ， ， ， ， ∴， ； （3） 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过作于，连接．   ，且， ． ∴． ，， ∴，，， ∴为等边三角形． ，， ， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 类型六、倍长中线法与截长补短法(解) 1．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：延长到R，使得，连接， ∵点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 【分析】（1）延长至点E，使，连接， 证明，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点F，使，连接，可证，可得，，证明，得到，即得； （3）延长到R，使得，连接，证明，可得，，可证，可得， ，得，． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长至点F，使，连接，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 3．综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 【答案】（1），10，； （2）（i）证明： ， 平分． （ii） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、中线的性质及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）结合，代入数据，即可求解； （2）（i）根据等角的余角相等，即可得证； （ii）延长至点，使，连接，．证明，即可推出三点共线，根据三角形的面积公式，求得，设点到的距离为，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）（i）略 （ii）如图，延长至点，使，连接，． 是的中点， 在和中， 即三点共线， 设点到的距离为， 则， ，即点到的距离为． 4．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 5．【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边右侧一点，，则线段之间的数量关系为__________； 【迁移应用】 （2）如图2，为等边三角形，点在边上，，且．试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）如图3，在四边形中，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，则与的数量关系为________；若此时，则的面积为_________． 【答案】（1） （2）．理由： 如图，在上取点F，使，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）， 【分析】（1）延长到点E，使，连接，可得是等边三角形，得，证明，得，即得； （2）在上取点F，使，连接，证明是等边三角形，得，证明，，，得，，可得； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，证明，得，可得，得，根据，即得.当时，连接，过点D作于点H，于点I，于点J，证明，得，得平分，根据平分，得点D在的平分线上，得，，可得，，，得，即得． 【详解】解：（1）如图，延长到点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）．证明： 如图，在延长线上取一点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 连接，过点D作于点H，于点I，于点J， 则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴平分， ∴点D在的平分线上， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段的截长补短综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 6．综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明： 如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2），，辅助线如图3 （3），证明： 如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 类型七、全等、等腰、直角三角形动点求t ( 解) 1．如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ，     ， ， ，     ， 又，， ； (2)或 (3)存在，当或秒时，与全等 【分析】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明； （2）根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出时，然后列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，由（1）知， ，      当点在线段上时，， ，解得； 当点在射线上时，， ，解得； 综上所述，当或秒时，； （3）解：存在． 由（1）知， ， ，即， 如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 2．如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以a的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为s； (2)当与全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求t的值； (3)如图②、当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)5 (2)①2；②2.5 (3)存在，t的值为2.5或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据时间计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可． ②当时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）（1）点M的运动时间（秒）， 故答案为：5； （2）①点M、N的移动速度相同， ， ， ， 当时，与全等， 则有，解得. ②点M、N的移动速度不同， ， 当时，两个三角形全等， 运动时间. （3）若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时， 若点M、N的移动速度相同，则，， ∴或， 解得（舍弃）或， 综上所述，满足条件的t的值为或． 3．如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，求出此时线段的长（用含的代数式表示），并直接写出的取值范围； (2)在运动过程中，当为何值时，是以为底边的等腰三角形． 【答案】(1) (2)当为秒或秒时，是以为底边的等腰三角形 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，根据路程等于速度乘以时间，求出点运动的路程，进而表示出，再用，表示出即可； （2）根据是以为底边的等腰三角形，得到，分点在上和点在上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点运动的速度为每秒，运动时间为秒， ∴点移动的路程为， ∴， ∴， ∵（秒），（秒）， ∴当点在上时，． （2）解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 如图，当点在上时，过点作于，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点在上时，， 由（1）可知， ∴， 解得：； 综上所述：当为秒或秒时，是以为底边的等腰三角形． 4．如图，在长方形中，，．为边上一点，连接，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动，连接．设点的运动时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)连接，当时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为3或4 【分析】（1）用得； （2）由全等对应边列方程求t； （3）时为矩形，列方程求t； （4）等腰三角形分、：直接列方程；作垂线用勾股定理算，再列方程，舍去构不成三角形的解． 【详解】（1）解：已知，点P速度为2单位 / 秒，运动时间为t秒，则． ∴； （2）解：如图，，． 当时，． ，即，解得：； （3）解：时，，四边形为矩形，故． ∴，则​ 解得； （4）解：已知，分两种情况讨论： 情况 1：， 则， 解得； 情况 2： 过E作于F，则，． 在中，，由勾股定理： P在F左侧：，即，解得． P在F右侧：，P与C重合，三点共线无法构成三角形，故舍去． 综上，t的值为：3 或 4． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形分类、动点代数化．采用了数形结合、分类讨论、方程思想；动点用时间表示线段，等腰三角形分情况讨论腰．解题关键是用t表示线段长，依几何条件列方程；易错点：等腰三角形两点重合时无法构成三角形，需舍去． 5．如图，在中， ，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． (1)点运动到的中点时，求t的值； (2)运动时间在秒内，若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间路程速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：． （2）解：连接， 根据题意，得， 故秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 在中，根据勾股定理，得 即， 解得， 故． （3）解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 在中，， ∴， 即； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 6．如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点P运动2秒后，求的周长； (2)当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ (3)另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1)； (2)或； (3)2秒或6秒． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积计算、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理求出的长，由题意得出，，再由勾股定理求出的长，即可得解； （2）分两种情况：当点在上运动时，为直角三角形；当P点在上时，时，为直角三角形，分别求解即可； （3）分两种情况：当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， 由，，， 由勾股定理得：， 动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，，， ， ， 的周长为：； （2）解：，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴当点在上运动时，为直角三角形， ， 当P点在上时，时，为直角三角形， ， ， 解得：， ， ， 点P的速度为每秒， ， 综上所述：当或时，为直角三角形； （3）解：当P点在上，Q点在上时，则，， ，直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 当P点在上，Q点在上时，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当t为2秒或6秒时直线把的周长分成相等的两部分． 类型八、勾股定理中的平方关系证明(解) 1．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 2．完成以下问题 (1)问题：如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)探索：如图2，当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段、、之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)结论： 证明：如图，连接， ， ， ， 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在 中：， ． (3) 【分析】（1）由 和 得，结合、， 证，得．再由全等得，而，故 ，即 ． （2）连接，由 ，得，结合、，证 ，得 ，．由 为等腰直角三角形得，故，从而．由勾股定理得 ，即． （3）过作，使，通过构造等腰直角三角形，先证，得 ．由 和为等腰直角三角形得，从而．由勾股定理求，再在等腰中求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ． 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过作，使，连接 、． ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 在 中，， ， 设 ， 则， ，解得， ． 3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 4．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】 证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】略 5．【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 【答案】（1）；； （2）； 证明：如图1，分别过点，作，，垂足分别为，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， 设，，则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ； （3） 【分析】（1）①由四边形是正方形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果；②由四边形是菱形，得，，，在中，由，得到，即可得到结果；③由四边形是矩形，得，运用勾股定理求出，，即可得到结果； （2）分别过点，作，，垂足分别为，．证明，运用勾股定理求出，，即可解答； （3）连接，延长至点，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由（1）得，运用勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：（1）①如图1.1， 四边形是正方形， ，，， ，， ； 故答案为：； ②如图1.2， ∵四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ； 故答案为：； ③如图1.3， 四边形是矩形， ，，，， ，， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图2，连接，延长至点，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ∴由（2）结论可得， ，，， ， ∵，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理证明平方关系． 6．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) 证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 类型九、三角形与勾股定理的新定义应用(解) 1．定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3) 证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）略 2．定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“漂亮三角形”． (1)根据“漂亮三角形”的定义，判断： ①命题“等边三角形一定是漂亮三角形”是____命题 ②命题“若等腰三角形是漂亮三角形，则它一定是等边三角形”是___命题；（填“真”或“假”） (2)在 中，，且，若 是“漂亮三角形”，求的值； (3)如图，在四边形 中，，若在四边形内存在点E使得． ①求证：是“漂亮三角形”； ②当是直角三角形时，且 ，求线段的长． 【答案】(1)①真；②真 (2) (3)①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是“漂亮三角形”； ②或 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则两边平方和，第三边平方的两倍为：，再根据“漂亮三角形”的定义判断即可；②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c，则腰长的平方和为，底边长的平方为，再分，，两种情况讨论求解即可； （2）由勾股定理得，再由是“奇异三角形”，，得到，进而求出，则； （3）①由勾股定理得，，再由，，即可证明，则可证明是“漂亮三角形”；②设，，则，，由（3）①得：，则；当时，由勾股定理得，当时，由勾股定理得，两种情况求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为a， ∴两边平方和，第三边平方的两倍为： ∵ ∴等边三角形一定是漂亮三角形， ∴命题“等边三角形一定是漂亮三角形”是真命题， 故答案为：真； ②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c， ∴腰长的平方和为，底边长的平方为， 当时，则， ∴这个等腰三角形是等边三角形； 当，则， ∴这个等腰三角形是等边三角形； ∴命题“若等腰三角形是漂亮三角形，则它一定是等边三角形”是真命题， 故答案为：真； （2）解：∵是直角三角形， ∴， ∵是“奇异三角形”，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：①略 ②设，， ∴，， 由①得：， ∴ ∵为直角三角形，点E在四边形内部， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，判断命题真假，勾股定理，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键． 3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则_____； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3，在邻余四边形中，为中点，，，时，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：垂直平分，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形． (3) 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：． （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 4．定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：连接， 和都是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 在中，， ， ∴点是的和谐点 (2)或或2 【分析】（1）根据和都是等边三角形，可得，同时，，可证明，得到，根据，所以在中，，用替换，得到，即可证明点是的“和谐点”． （2）如图3所示：①当最长时：可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；②当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；③当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时． 【详解】（1）略． （2）解：如图3所示：①当最长时： 可以找到一个点P，此时， ， 所以，故； ②当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故； ③当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故， 所以的长为或或2． 5．【概念感知】定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图1，在四边形中，，，则四边形为等直四边形． 【实践应用】（1）下列四边形一定是等直四边形的是________（填序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 （2）如图2，在等边中，点为内部一点，且平分，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形； 【拓展应用】（3）如图3，已知线段，射线，射线平分，点，分别在射线，上，若，与不相等，且四边形是等直四边形，求的长． 【答案】（1）④ （2）证明：是等边三角形， ，， 平分， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 四边形是等直四边形； （3）的长为或 【分析】本题主要考查了新定义下的特殊四边形，特殊平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质和新定义特殊四边形． （1）结合特殊平行四边形的性质以及新定义特殊四边形进行求解即可； （2）根据旋转得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出角的度数，证明，得出相关角的度数，然后利用新定义进行证明即可； （3）根据新定义，分两种情况进行讨论，利用全等三角形得出相等的边，过作于，设，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）正方形的四个内角为直角，且四条边相等，满足等直四边形的定义， ∴正方形是等直四边形， 故答案为：④； （2）略 （3）由题意得， 射线， ， ①当时，如图4， 满足四边形是等直四边形， ； ②如图5， 在①中，由， 平分， ，而， ， ，此时满足条件， ； 当点与点重合时，即时， 过作于， ，设， 由； ， 由勾股定理得， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时， ； 综上所述，的长为或． 6．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“神圣三角形”． (1)下列三角形一定是“神圣三角形”的是（    ） A．直角三角形    B．等腰三角形    C．等腰直角三角形    D．等边三角形 (2)如图1，是“神圣三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和26，则正方形的面积是______． (3)如图2，在四边形中，，，E是四边形外一点，且，．求证：是“神圣三角形”． (4)若是“神圣三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______． 【答案】(1)D (2)44 (3) 连接．如图2， ， 和均为直角三角形， 在中，， 在中，， ，， ， 是“神圣三角形”； (4)或 【分析】本题考查了勾股定理、新定义的理解和利用平方根解方程，解决本题的关键是掌握新定义的理解． （1）设等边三角形的边长为，再根据新定义即可判断； （2）根据正方形的性质可求得正方形和正方形两边的边长，再根据新定义即可求得正方形的边长，进而即可求得面积； （3）连接，根据勾股定理和新定义即可求判断求解； （4）根据是“神圣三角形”进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， 则， 等边三角形是“神圣三角形”， 故选：D； （2）解：正方形和正方形的面积分别是8和26， ， 是“神圣三角形”，且， ， ， ， 故答案为：44； （3）略 （4）解：设斜边长为，则另一边长为， 是“神圣三角形”， 或， 解得（舍去）或，（舍去）， 故斜边的长为或． 故答案为：或． 类型十、将军饮马与数形结合最值(解) 1．综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 【答案】模型解决：，，，；模型应用：周长的最小值是9 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 模型解决：由点与点关于直线l对称得出直线l是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形三边关系即可得解； 模型应用：设直线与交于点，由题意可得点、关于直线对称，从而可得当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长． 【详解】模型解决：在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ， 在中，， ，即最小 模型应用：设直线与交于点， ∵直线是边的垂直平分线， ∴点、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 2．唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 【答案】任务一：；任务二： 【分析】任务一：连接，则的长度即为的最小值，再加上的长即可求得周长的最小值； 任务二：作于，交于点，由的面积等于，求得，由等腰三角形的性质得，由点到直线的距离垂线段最短知：的最小值为，即可求解． 【详解】解：任务一：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ， ，即就是的最小值， ，为的中点，是等边三角形， ，，， ， 周长的最小值为：； 任务二：作于，交于点，如图， ，， ， ， 是中线，， 是边上的高线，即垂直平分， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 (1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； (2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 【答案】(1)周长的最小值为 (2)的最小值为7 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． （1）根据给出示例，连接，，利用轴对称的性质确定点位置，然后利用等腰三角形的性质求解即可； （2）根据给出示例，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ，为边中点， ，， ， ， ． 是的垂直平分线， ． ， 当点在线段上时，，此时的值最小，即的最小值为4． 为中点， ． ． 周长的最小值为； （2）解：如图，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小． 是等边三角形，是边上的高， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 是等边三角形，边长为10， ． ， ， ， ， ． 又， ， ． 是等边三角形， ， ∴是等边三角形． ， 的最小值为7． 4．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 5．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】 （1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）略 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 6．（1）【思想应用】已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析．小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示________，用含的代数式表________； ②据此写出的最小值________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求出代数式的最小值； （3）【拓展应用】已知，，为正数，且，试运用构图法，直接写出的最小值________． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）①根据图形，运用勾股定理即可求解；②根据勾股定理，最短路径的运用即可求解； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解； （3）构造边长为1的正方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，都是直角三角形，， ∴在中，，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； ②如图所示，过点所交延长线于点， ∴， 当点三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2），， 如图所示，，，，，设，则， ∴，， 当三点共线时，的值最小， ∴根据（1）中的证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）∵，如图所示，作边长为1的正方形，在边上截取长为的线段， ∴，，， 则， 当点四点共线时，线段最短， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、折叠、最值问题(选、填) 1．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，平分，，分别为，上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 5．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题： 几何应用1：如图2，在边长为2的等边中，D，E分别是、的中点，是上的一动点，则的最小值为_____； 几何应用2：如图3，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______． 6．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为_____． 类型二、正确结论、阴影部分问题(选、填) 1．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形．连结，，若的面积为2.5，则阴影部分面积为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．8 2．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A．27 B．36 C．40 D．45 3．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 4．青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为______． 5．如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是______（填所有正确结论的序号）． 6．如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 类型三、角平分线与垂直平分线结合应用(解) 1．如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）图中哪条线段和BE相等？为什么？ （2）若AB=6，AC=3，求BE的长． 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE=CF； （2）如果AB=8，AC=6，求AE，BE的长． 4．如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，，则______． 5．如图，在中，平分，且平分于点，于点交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 6．如图，已知中，边的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交AC于点G，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型四、整数部分与小数部分(解) 1．请阅读下面的文字，完成相应的任务 怎样表示无理数的小数部分 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来， 于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．其过程如下： ∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的值． 2．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 4．阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： (1)的小数部分是___________，的整数部分是___________； (2)若的小数部分是，的整数部分是，求的值； (3)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 5．阅读《无理数》课堂实录，解决问题： 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全地写出来，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数字之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下，的小数部分； (2)若为的小数部分，为的小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的平方根． 6．因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，直接写出哪位同学的结果精确度更高． 类型五、两个斜边的一半问题(解) 1．实验操作： 如图1，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，你能通过实验操作，借助这个图形，找到的直角边与斜边之间的数量关系．教材中有这样的结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请结合图2，已知：在中，，，求证：． (2)实践思考：如图3，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕后再把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点D恰好落在折痕上的点M处．求证：． (3)拓展运用：如图4，已知三角形衣架中，，，求的面积． 2．学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好地理解和运用相关定理或结论．课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小颖受此启发给出如下证明过程： 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：如图，延长至点，使． 因为，所以垂直平分． 所以． 因为，，所以． 所以是等边三角形． 所以，即． 独立思考： （1）如图①，在中，，，作边上的中线，请判断： ①的形状； ②与的数量关系． 合作交流： （2）如图②，在（1）的基础上，是边上任意一点，连接，作等边三角形，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并证明． 3．数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理． (1)推理证明：本学期，我们利用两个含的全等的三角尺拼成一个等边三角形，从而发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 如图1，在中，，，则，请你证明这个结论． (2)迁移应用：利用上述结论解决以下问题： ①如图2，在中，，，且．点P是边上一点．若，求点P到边的距离． ②如图3，在中，，，点P是边上一点，连接．若，求出的最小值． 4．小明在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了深入的思考与总结．阅读小明的笔记，并完成相应任务． 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 分析：要证明等于的一半，可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到点，使得，连接，只需通过证明三角形全等即可证明． 证明：延长到点，使得，连接，如图2所示． …… 【问题解决】请根据小明的分析过程，在不添加其他辅助线的情况下，完成该定理的证明； 【问题再探】如图3，在中，于点，是边的中线，垂直平分，若，则的度数为________； 【拓展提升】如图4，，是的两条高，，分别是，的中点，若，，试求线段的长． 5．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．    6．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 类型六、倍长中线法与截长补短法(解) 1．【背景问题】老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是多少？ 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出的取值范围是___________； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，求证：． 2．八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 3．综合与实践 【问题情境】 倍长中线法是指延长边上的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“”证明）． 例：如图1，是的中线，若，设，求的取值范围． 小明同学的解题方法：如图2，延长至点，使，连接． 是的中线， 在和中， 在中，， ∴ ① ② 的取值范围是 ③ ． 【问题解决】 （1）将小明同学的解题方法补充完整：①____________；②____________；③____________． 【拓展延伸】 （2）如图3，已知是的中点，是上一点，是上一点，连接，，． （i）若，求证：平分． （ii）若，且，求点到的距离． 4．“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 5．【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边右侧一点，，则线段之间的数量关系为__________； 【迁移应用】 （2）如图2，为等边三角形，点在边上，，且．试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）如图3，在四边形中，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，则与的数量关系为________；若此时，则的面积为_________． 6．综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 类型七、全等、等腰、直角三角形动点求t ( 解) 1．如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 2．如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以a的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为s； (2)当与全等时， ①若点M、N的移动速度相同，求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求t的值； (3)如图②、当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 3．如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，求出此时线段的长（用含的代数式表示），并直接写出的取值范围； (2)在运动过程中，当为何值时，是以为底边的等腰三角形． 4．如图，在长方形中，，．为边上一点，连接，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动，连接．设点的运动时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)连接，当时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 5．如图，在中， ，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． (1)点运动到的中点时，求t的值； (2)运动时间在秒内，若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 6．如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点P运动2秒后，求的周长； (2)当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ (3)另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 类型八、勾股定理中的平方关系证明(解) 1．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 2．完成以下问题 (1)问题：如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)探索：如图2，当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段、、之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 3．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 4．如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 5．【特例感知】 （1）①在正方形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：____________； ②在菱形中，设其边长为，则对角线，和的数量关系有：_____________； ③在矩形中，设，，则对角线，和，的数量关系有：____________； 【规律探究】（2）如图1，在中，设，，猜想对角线，和，的数量关系有：_____________并证明你的结论； 【知识应用】（3）如图2，在四边形中，，，，，，点为的中点，求的长． 6．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 类型九、三角形与勾股定理的新定义应用(解) 1．定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 2．定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“漂亮三角形”． (1)根据“漂亮三角形”的定义，判断： ①命题“等边三角形一定是漂亮三角形”是____命题 ②命题“若等腰三角形是漂亮三角形，则它一定是等边三角形”是___命题；（填“真”或“假”） (2)在 中，，且，若 是“漂亮三角形”，求的值； (3)如图，在四边形 中，，若在四边形内存在点E使得． ①求证：是“漂亮三角形”； ②当是直角三角形时，且 ，求线段的长． 3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则_____； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3，在邻余四边形中，为中点，，，时，求的长． 4．定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 5．【概念感知】定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图1，在四边形中，，，则四边形为等直四边形． 【实践应用】（1）下列四边形一定是等直四边形的是________（填序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 （2）如图2，在等边中，点为内部一点，且平分，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形； 【拓展应用】（3）如图3，已知线段，射线，射线平分，点，分别在射线，上，若，与不相等，且四边形是等直四边形，求的长． 6．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“神圣三角形”． (1)下列三角形一定是“神圣三角形”的是（    ） A．直角三角形    B．等腰三角形    C．等腰直角三角形    D．等边三角形 (2)如图1，是“神圣三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和26，则正方形的面积是______． (3)如图2，在四边形中，，，E是四边形外一点，且，．求证：是“神圣三角形”． (4)若是“神圣三角形”，且一条直角边长为，则斜边长为______． 类型十、将军饮马与数形结合最值(解) 1．综合与实践： 【模型背景】 相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图①，小甘将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小甘作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小甘对此进行了说明，请帮他补全说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线． _____， _____．___________． 在中，，，即最小． 【模型应用】 如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，求周长的最小值． 2．唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 3．综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 (1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； (2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 4．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 5．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 6．（1）【思想应用】已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析．小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示________，用含的代数式表________； ②据此写出的最小值________； （2）【类比应用】根据上述的方法，求出代数式的最小值； （3）【拓展应用】已知，，为正数，且，试运用构图法，直接写出的最小值________． 1 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