期中考前满分冲刺之解答题 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册考点解惑

**基本信息** 覆盖期中核心知识点，通过基础计算、综合证明、动点探究及新定义题型，系统整合代数与几何逻辑，培养推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根与立方根|3题|解方程与求值|概念基础→运算应用| |全等三角形|3题|性质判定与证明|图形全等→推理应用| |勾股定理应用|3题|实际问题与计算|定理推导→实际建模| |动点问题|3题|全等与等腰分类讨论|几何性质→动态分析| |新定义|3题|奇异/勾股高三角形|知识迁移→创新应用|

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一平方根与立方根解方程 1．求的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 2．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】先转化为，然后通过平方根的定义即可求解； 根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴或； （2）解：， ， ， ∴． 3．解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或． （2）解：， ， ， 解得． 覆盖二 实数的简单运算 4．计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、绝对值和立方根，再加减运算即可求解． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【分析】先根据乘方、算术平方根、立方根的性质分别计算每一项的结果，再进行加减合并得到最终答案； 【详解】解：原式 ． 6．计算； 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，立方根，求解即可； 【详解】解：原式； 覆盖三 全等三角形的简单性质与判定 7．如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 【答案】证明：∵， ． ， ， 即． 在和中， ， ． 【详解】略． 8．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】本题考查垂线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂线的定义得到，再利用等腰三角形的性质得到，利用“”的判定方法进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，进而求出长，利用四边形的面积等于进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，， ， ， 四边形的面积为： ． 9．如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 覆盖四格点三角形 10．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． (1)在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1） (2)是格点三角形． ①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【答案】(1)6 (2) ①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）． ②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）． 【分析】（1）利用割补法求解面积即可． （2）①根据三角形全等的判定，②画出图形即可．利用旋转和对称画出图形即可． 【详解】（1）解：如图1中，， 故答案为：6． （2）略 【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)图1中，画出与全等的格点；（画出一个即可） (2)图2中，在网格内画出点，使得； (3)图3中，将的某一个顶点沿网格线平移一次得到点，使得点与的另两个顶点围成新的三角形，且该三角形的周长、面积都是有理数．画出平移一个顶点后得到的新三角形． 【答案】(1) 如图所示： (2) 点即为所求： (3)如图所示： 【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理是解题的关键． 借助网格作出与对应边相等的三角形即可； 分别作线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点使得； 把点向左平移格，得到，把点向右平移格，得到，即可得到符合要求的三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如下图所示，把点向左平移格，得到， 由图可知、，， ， 的周长是，面积是； 把点向右平移格，得到， 由图可知、，， ， 的周长是，面积是； 点为所求作点． 12．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图甲中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形为等腰三角形． (2)在图乙中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形是以为直角边的直角三角形； 【答案】(1) 解：如图，点D即为所作，（答案不唯一） (2) 解：如图，点C即为所作（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，正确理解等腰三角形和直角三角形是解题关键． （1）根据等三角形的定义进行作图即可； （2）根据直角三角形的定义进行作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 覆盖五无刻度尺作图 13．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角； (2)在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作的角平分线． 【答案】(1) 等腰直角即为所求： (2) 角平分线即为所求： 【分析】本题主要考查了作图的应用和设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，掌握网格线的特征是解题的关键． （1）取格点D，使，即可解答； （2）取格点F，连接交网格线于点E，即可解答． 【详解】（1）解：理由：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：理由：由作法得：， ∵， ∴， ∴平分． 14．阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 【答案】(1)角边角 （ASA）；全等三角形的对应边相等 (2) 令 与 交于点 ， 在 和 中 ， ， ， ， ， ， ， ， (3) 即为所求； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）根据全等三角形的判定方法与全等三角形的性质可得答案； （2）令 与 交于点 ，证明 ，可得 ，再进一步可得结论； （3）如图，取格点，连接，，交于点，作射线，则 即为所求； 【详解】（1）解：上述材料中的依据1是指角边角 （）， 依据2是指全等三角形的对应边相等 （2） 略 （3）解：理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的画图是解本题的关键. 15．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 【答案】(1)5 (2) 如图，等腰即为所求(答案不唯一) (3) 如图，即为所求． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离． （1）利用勾股定理求解即可； （2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可； （3）在的延长线上取格点E，使，连接，取的中点D，连接，即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5； （2）略 （3）略 覆盖六 平方根与立方根的综合应用 16．已知正数的算术平方根是3，的立方根是．求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】根据算术平方根以及立方根的性质求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵正数的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 17．已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】 【分析】先从“平方根是它本身”确定为零，再根据立方根和算术平方根的定义分别列出关于和的方程并求解，最后将的值代入目标代数式，求其平方根． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 18．已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)± 【分析】（）根据平方根和立方根的定义可得，解方程即可得到答案； （）根据（）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ； （2）解： ， ， 的平方根为． 覆盖七等腰三角形的性质与判定 19．如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此可证明结论； （2）由三线合一定理得到，则可求出，证明是等腰直角三角形，可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 20．已知：如图，，是的高交于O点，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据、是的高，得出，证明 ， 得出，即，则，即是等腰三角形； （2）由（1）中，可得， 即，即可证明． 【详解】（1）证明：∵、是的高， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，即， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：由（1）中，可得， 即， ∴． 21．如图，在四边形中，，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且平分． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半； （1）由得，由平分得即可得结论； （2）先证，再求，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴E是的中点， 由（1）可知，为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ． 覆盖八垂直平分线的性质与判定 22．如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：，， 在与中， ， ， (2) 证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) ∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握是解题关键 （1）根据直角三角形全等的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴即 又∵ ∴ ∴，即平分； (2) 证明：∵ ∴ 由（1）可得 ∴垂直平分 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的判定； （1）证明得出，即可得证； （2）根据（1）可得，，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 覆盖九角平分线的性质与判定 25．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 26．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 27．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：，． ． 在与中，，，． ． ，． 平分． (2) 【分析】（1）证明，得出，根据角平分线的判定定理，即可解答； （2）证明，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：在和中，，， ． ． ． 覆盖十尺规作图 28．如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，连接，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴（等腰三角形的三线合一）． 【分析】（1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图即可得； （2）先得出，则，再得出，进而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． 29．在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 【答案】 【分析】延长和交于一点，作的角平分线，连接与角平分线交点即为所求点． 【详解】略 30．已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【答案】 【分析】作的垂直平分线，再过点作的垂线，两线交点即为点． 【详解】略 覆盖十一勾股定理的应用 31．数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【分析】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 【详解】解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 32．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 33．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 覆盖十二 勾股定理逆定理的应用 34．如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 【答案】26 【分析】利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的面积，运用分割法求解即可； 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ． 35．如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得到，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据求解： （2）由垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：，，， ， 又，，， ，即， ， 答：这块试验田的面积为； （2）解：连接， 在的垂直平分线上， ， 设，则， 由（1）知， ，即， 解得， 答：点到点的距离为． 36．如图所示，有一块四边形花圃，，，，，． (1)求B，D之间的距离； (2)若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需多少元？ 【答案】(1) (2)1800元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用. （1）连接，则在直角中，已知，根据勾股定理可以计算； （2）因为，所以为直角三角形，根据四边形的面积为和面积之和计算即可． 【详解】（1）解：连接， 在中，，， ； （2）解：在中，， ， 的面积为平方米， 的面积为平方米， 四边形面积平方米， 共需花费元元． 答：共需花费元． 覆盖十三等边三角形的性质与判定 37．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 38．如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． (2)5 【分析】（1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 覆盖十四勾股定理的证明 40．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 41．综合实践 【问题背景】 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． (1)【探索求证】 请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． (2)【深入实践】 同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． (3)【拓展迁移】 如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________． 【答案】(1) 解：选图1： 大正方形边长为，因此大正方形面积， 大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为的小正方形组成，因此总面积也可表示为：， 因此，勾股定理得证． 选图2：大正方形边长，面积， 整理得，勾股定理得证． 选图3：梯形面积， 整理得，勾股定理得证． (2) 证明：∵都是正数， 要证，两边平方等价于证明，整理得， 结合勾股定理，代入得：， 整理得， ∵， ∴该式恒成立， 因此原不等式​得证． (3) 解：． 理由：设中，， 过点分别作， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵​，，． 将前两式相加，代入，消去相同项后整理得：． 【分析】（1）从图1，图2，图3任选一个图形，根据整体的面积等于每部分面积和即可证明； （2）根据都是正数，要证，两边平方等价于证明，结合勾股定理，得，结合，得出该式恒成立，即可证明； （3）设中，，分别求出，由勾股定理得，即可得出，结合​，，．证出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 42．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2) 证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）略 （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 覆盖十五三线合一与斜中定理结合 43．如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明： ， 是直角三角形， 又是的中点， ， ， 是直角三角形， 又是的中点， ， ． (2) 证明： 由（1）可知， 是等腰三角形， 又是的中点，即是底边上的中线， ． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的“三线合一”性质．熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． （1）因为，，所以与是直角三角形，再结合是的中点，根据直角三角形斜边中线定理，得到，即可证明； （2）由（1）得到，所以是等腰三角形，结合是的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 44．如图，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)图中与有怎样的位置关系？试证明你的结论． 【答案】(1) 证明：∵，是的中点， ∴，； ∴ (2) ，证明： 在中，，点是的中点， ∴ ． 【分析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质． （1）由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等量代换，即可证得结论； （2）由等腰三角形三线合一，即可得与的位置关系． 【详解】（1）略 （2）略 45．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：如图，连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ； (2) 【分析】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理； （1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）， ∴， ∴的周长为． 覆盖十六30°对应的直角边等于斜边一半 46．课本再现：本学期，我们利用“构造轴对称图形等边三角形”证明了定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)【知识运用】如图1，在中，，若，则 ； (2)【类比证明】如图2，请类比“构造轴对称图形等边三角形”证明过程，证明：在中，若，则； (3)【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题证明中常见的思路，请你尝试解决以下问题如图3，等边中，延长，，使，连接，．求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据定理求解即可； （2）添加辅助线，延长至点D，使得，连接，证明与全等，再得到为等边三角形， （3）添加辅助线，延长至点M，使得，连接，得到为等边三角形，再证明与全等，由此可证． 【详解】（1）解：在中，，， 则； （2）证明：延长至点D，使得，连接，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至点M，使得，连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，，且，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 47．问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． (1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接； 【知识应用】 (2)如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，再根据判定是等边三角形，进而得，，再求出得，由此得，据此即可得出结论； （2）由得的长度；在中求得；在中求，进而得． 【详解】（1）证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示： ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点D为边上的一个动点，连接．若，则的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，点D为等边的边上一点，点E为右侧一点，连接，若，，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某工程队的施工区域，点P为边上的一个活动作业点（即点P在边上运动），米，，，现需在左侧的施工区域外修建一个项目工程部Q，沿修建一条通道，根据规划要求，，．为控制修建成本，要求的长度最小，请你求出的最小长度． 【答案】（1）3； （2）解：，理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即线段、与之间的数量关系为； （3）线段长度的最小值为30米 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）确定当时，的值最小，然后利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可； （2）根据等边三角形得出相等的边和角的度数，然后证明，得出相等的边，即可得出结论； （3）在上取一点H，使，连接，过点H作于点M，证明，得出，确定最小值为的长度，然后利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，的值最小， ∵， ∴此时，， 故答案为：3； （2）略 （3）如图，在上取一点H，使，连接，过点H作于点M， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 求最小，即求最小，当（即点P和点M重合）时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∵米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴米． 即线段长度的最小值为30米． 覆盖十七整数部分与小数部分 49．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 50．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 51．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 覆盖十八 勾股定理证射影定理 52．【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中， ，于点D．设，，． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示，则； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示，则_______； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝_______； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为_______； （2）若的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】（1）； ；；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用．由勾股定理延伸得到结论，对其进行应用是解决本题的关键． （1）利用勾股定理根据在直角三角形中，在直角三角形中分别得到和用a，b，m表示的式子，相加即可得到的值；根据小明和小颖得到的结论，整理即可得到m用a，b表示的式子；易得的斜边上的中线大于或与重合，可得与m的大小关系； （2）根据的面积为6，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含m的式子表示，即可得到m的最大值； （3）设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长．根据（1）中得到的结论：，那么，进而可得所有虚线的和为，根据，整理可得所有虚线和的最小值． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∴，． ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 设是的斜边上的中线， ①若为一般的直角三角形， 则． ②若为等腰直角三角形， 则， 综上． ∴． 故答案为：，，； （2）∵的面积为6， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴m的最大值为． （3） 设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长． ∵面积为平方米， ∴． 由（1）得：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为米． 53．【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 54．如图①所示的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成，利用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)请你利用图①的赵爽弦图，推导勾股定理； (2)如图②，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图③，在中，是边上的高，，设，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是，另一种为； ∴； (2) (3) 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解，然后利用勾勾股定理解题即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 由面积的两种算法可得：， 解得：； （3）解：在中，， 在中，， 所以 ， 解得， ∴． 覆盖十九 将军饮马问题 55．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2) 即为所求． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，根据轴对称的性质可得路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）解：如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，， ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 56．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 57．【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】模型解决：，，，模型应用：9；模型拓展1：100；2：， 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知轴对称的性质是解题的关键． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：1：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 2：因为，所以当最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， 模型应用：如图，设直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，，的周长， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展1：分别作点P关于、的对称点，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：100； 2：连接并延长，作点关于射线的对称点，连接，，连接交的延长线于点，连接，如下图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， ，是上的中线， 且平分， ， ，即点在射线上运动， 点和点关于射线对称， ，，， ， 是等边三角形， ， ∴和是两个全等的等边三角形， 同理可得， ， ， 又， 当最小时（此时点E与点N重合），的周长取得最小值， ∵的最小值为， ， 此时． 覆盖二十倍长中线法 58．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）略 （3）略 59．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40； （3）证明：延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）略． 60．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    【答案】 （1）证明：是边上的中线， ， 在和中， ， ， 、， ； （2） （3）且 【分析】（1）根据题意易证得，根据全等三角形的性质得到、，进而证得； （2）延长到点，使，连接，由（1）知，，在中，利用三角形的三边关系进行解答即可； （3）延长到点，使，连接，由（1）知，得到、，进而得到，从而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到、，进而得到，据此解答即可． 【详解】（1） 略 （2）解：延长到点，使，连接，如图：    由（1）知， ， 在中，、， ，即， 即， 边上的中线的取值范围为； （3）解：且， 如图，延长到点，使，连接，    由（1）得， 、， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、倍长中线及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质，数形结合的思想方法是解题的关键． 覆盖二十一全等三角形的动点求t 61．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（舍）； 综上所述：当时，与的面积相等 （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：； 62．如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 【答案】(1) (2) (3)当的值为4或20时，与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由路程=速度×时间，可得的长度； （2）过点作于点．由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． （2）解：如图1，过点作于点． ， ． 的面积为， ， ， ， ． （3）解：根据题意，分两种情况： ①如图2，当点向上运动时， ， 点在线段上， 当时，， ， ； ②如图3，当点向下运动时， ，， 点在线段的延长线上， 当时，， ， ． 综上所述，当的值为4或20时，与全等． 63．在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒． (1)求的面积（用含的代数式表示）； (2)如图②，当点从点开始运动的同时，点从点出发， ①若以的速度沿向点运动（到达点即停），当时，求的值； ②若以的速度沿向点运动（到达点即停），是否存在这样的，使与P、Q、C三点围成的三角形全等?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，的值为；②当或时，与全等 【分析】（1）由题意可得，，求出，再由三角形的面积公式计算即可得出结果； （2）①由题意可得，，，，，则，，由勾股定理可得，，连接，则，再结合，得出，计算即可得出结果；②由题意可得，，则，，分两种情况：当，时，；当，时，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒， ∴，， ∴， ∴的面积； （2）解：①∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动（到达点即停），设点的运动时间为秒， ∴，，，，， ∴，， 由勾股定理可得：，， 如图，连接，则， ， ∵， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴当时，的值为； ②∵在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，点以的速度沿向点运动（到达点即停），设点的运动时间为秒， ∴，， ∴，， 当，时，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∴， 解得：； 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、列代数式、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 覆盖二十二等腰三角形的动点求t 64．如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点 运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，　　　； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，是以或为底的等腰三角形； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为　　　． 【答案】(1) (2)， (3)或或 (4)或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理得，再运用等面积法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，再进行分类讨论，即可作答． （3）理解题意，结合是以或为底的等腰三角形进行分类讨论，且逐个情况作图，运用等腰三角形的性质进行列式计算，即可作答． （4）理解题意，根据动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，且进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， （2）解：由（1）得， ∵点D运动的速度为每秒2个单位长度， ∴ ∴当时，点D在线段上； ∴，； 当时，点D在线段上； ∴； （3）解：∵是以或为底的等腰三角形； ∴分四种情况讨论； 当点在上时， ①当是以为底的等腰三角形时，即， ∵点D运动的速度为每秒2个单位长度， ∴， 解得； ②当是以为底的等腰三角形时，即时，如图，过点B作于F， ∵， 与（1）同理得， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， 解得， 当点D在上时， ③∵， ∴不存在是以为底的等腰三角形时； ④当是以为底的等腰三角形时，即时 即， ∵， ∴， 则， 解得， 综上所述，或或时，是以或为底的等腰三角形． （4）解：①当时， 与（1）同理得 ∴在中，， ∴， 解得； ②当时，点D在线段上运动， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或 65．如图，在中，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为． (1)①当P在上时，的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示） ②若点P在的角平分线上，则t的值为 ． (2)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值． 【答案】(1)①，，② (2)或 【分析】（1）①根据点的运动路径及速度可解；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可； （2）分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：①点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动， ， ，即， ； 故答案为：，； ②点在的角平分线上时，过点作于， 平分，， ， 又， ∴ ，则， ， ， ， 在中，，即， 解得， 点在的角平分线上时，； 故答案为：； （2）解：依题意，是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况： 当时， 则， ； 当时，过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， 故是以为一腰的等腰三角形时的值为或． 【点睛】本题是勾股定理在动点问题中的应用，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握上述定理、性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 66．如图，中，分米，分米．一个小甲虫看作点从点A出发，以3分米/分的速度沿折线运动．设小甲虫的运动时间为． (1)求点B到的距离； (2)①当P在上包含端点时，的长为___________用含t的代数式表示；t的取值范围是___________． ②当点P在的平分线上时，求t的值． (3)在整个运动过程中，直接写出当是以为一腰的等腰三角形时t的值． 【答案】(1)分米 (2)①；② (3)或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）过点B作于点D，利用面积法求解； （2）①根据点P的运动路径及速度可解； ②过点P作于E，利用角平分线的性质可知，再证，推出分米，最后利用勾股定理解即可； （3）分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 在中，分米，分米， 分米， ， 分米， 顶点B到的距离为分米； （2）解：①点P从点A出发，以每分3个单位长度的速度沿折线运动，分米， 分米， ， 即， ； 故答案为：； ②点P在的平分线上时，过点P作于E， 平分， ， 又， ， 分米， 则分米， 由(2)知， ， ， 在中，， 即， 解得； （3）解：是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，如图3所示， 则， ； 当时，过点B作于点D，如图4所示， 由（2）知， ∴ ， ， ， ， 故是以为一腰的等腰三角形时t的值为或 覆盖二十三 勾股定理的新定义 67．我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据“奇异三角形”定义，等边三角形________奇异三角形，（填“是”或“不是”）； (2)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求； (3)如图，以为斜边分别在的两侧作直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，，求证：是奇异三角形． 【答案】(1)是 (2) (3)证明：∵以为斜边分别在的两侧作直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是奇异三角形． 【分析】（1）设等边三角形的边长为，则，由此即可得； （2）先得出，，则可得，再联立求解即可得； （3）利用勾股定理可得，，再等量代换即可得证． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为， ∴，符合“奇异三角形”的定义， ∴等边三角形是奇异三角形． （2）解：∵在中，，，，， ∴， ∵是的斜边，且， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是奇异三角形， ∴， 联立得：， ∴或（舍去），或（舍去）， ∴． （3）略． 68．综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，， 是斜边，，是直角边， ； （2）证明：， ， 又， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，是线段的勾股分割点； （3）， ， 又， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：． 69．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． (1)等腰直角三角形 (请填写“是”或“不是”)勾股高三角形； (2)如图1，已知△为勾股高三角形，其中点为勾股顶点， 是 边上的高．若 ，试求的值； (3)如图2，等腰三角形 为勾股高三角形，其中， 为 边上的高，过点 作 交 边于点．若，试求线段 的长度． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股高三角形的定义即可判断； （2）根据勾股定理得到，再由可得最后由，计算即可得到答案； （3）过点作于，证明为等腰三角形，，即可解决问题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形是勾股高三角形． 设等腰直角三角形的直角边长为， 则斜边长为， ， 等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， 等腰直角三角形是勾股高三角形； （2）解：∵为勾股高三角形，点为勾股顶点，， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作，垂足为点． ∵等腰三角形为勾股高三角形， 且， ∴只能是，由（1）②知． 又 ，， 而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ． 又， ， ． 覆盖二十四勾股定理中的数形结合最值 70．【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为； （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 71．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 【答案】（）；（）；（）（）． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （）以和对应直角三角形斜边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可； （）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】解：（）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， ∴表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为； （）如图，构造，于点，，， 设， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴方程的解是， 故答案为：； （）构造，，，，，，，如图所示， 过点作，交延长线于点， 则，，， 设，则，，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在中,由勾股定理得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 72．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①；；②5 (2)20 (3)①；②；③ 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①设，，，，则，作点D关于的对称点，，而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号），再利用三角形三边关系即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构建解答即可． ③利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解：设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形，如图， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20； （3）解：①设，，，，则， 作点D关于的对称点，于点，则，， 在中，； 在中，， ∴， 而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号）， 在中，， 即的最大值为； ②分别以，为边长作长方形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， ③画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一平方根与立方根解方程 1．求的值： (1)； (2)； (3)． 2．求下列各式中的值． (1)； (2)． 3．解下列方程 (1) (2) 覆盖二 实数的简单运算 4．计算：． 5．计算：． 6．计算； 覆盖三 全等三角形的简单性质与判定 7．如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 8．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 9．如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 覆盖四格点三角形 10．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． (1)在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1） (2)是格点三角形． ①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形． 11．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．点，，均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)图1中，画出与全等的格点；（画出一个即可） (2)图2中，在网格内画出点，使得； (3)图3中，将的某一个顶点沿网格线平移一次得到点，使得点与的另两个顶点围成新的三角形，且该三角形的周长、面积都是有理数．画出平移一个顶点后得到的新三角形． 12．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图甲中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形为等腰三角形． (2)在图乙中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形是以为直角边的直角三角形； 覆盖五无刻度尺作图 13．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，借助于网格，只用无刻度的直尺作等腰直角； (2)在图2中，借助于网格，只用无刻度的直尺作的角平分线． 14．阅读与理解 下面是小丽同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格和无刻度直尺作图 正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的线段叫做格点线段．利用正方形网格和无刻度直尺可以做格点线段的中点和垂线．如图，正方形网格是由边长为1的小正方形组成，已知是格点线段，可以用如以下方法构造的中点和垂线． 构造中点：如图1，在网格上取格点，使得，且，连接交的于点．点即为的中点．理由如下： ∵，， 在和中，， （依据1） （依据2）， 即点是的中点． 构造垂线：如图2，在网格上取格点，使得，且，连接即为的垂线．理由如下：… 任务： (1)上述材料中的依据1是指___________，依据2是指___________． (2)请你帮小丽将“构造垂线”中的理由补充完整． (3)如图3，在给定的网格区域内，利用网格和无刻度直尺构造，使得． 15．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 覆盖六 平方根与立方根的综合应用 16．已知正数的算术平方根是3，的立方根是．求的平方根． 17．已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 18．已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 覆盖七等腰三角形的性质与判定 19．如图，在中，点在边上，过点作交于点，连接，平分，在边上取点，连接，，过点作于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 20．已知：如图，，是的高交于O点，且． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 21．如图，在四边形中，，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且平分． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，求的长． 覆盖八垂直平分线的性质与判定 22．如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 23．如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 24．如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 覆盖九角平分线的性质与判定 25．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 26．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 27．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 覆盖十尺规作图 28．如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，连接，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)证明：． 29．在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 30．已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 覆盖十一勾股定理的应用 31．数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 32．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 33．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 覆盖十二 勾股定理逆定理的应用 34．如图，在中，，以为边在的同侧作，已知，，，，求阴影部分的面积． 35．如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 36．如图所示，有一块四边形花圃，，，，，． (1)求B，D之间的距离； (2)若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需多少元？ 覆盖十三等边三角形的性质与判定 37．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 38．如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 39．如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 覆盖十四勾股定理的证明 40．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 41．综合实践 【问题背景】 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． (1)【探索求证】 请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． (2)【深入实践】 同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． (3)【拓展迁移】 如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________． 42．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 覆盖十五三线合一与斜中定理结合 43．如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若是的中点，求证：． 44．如图，，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)图中与有怎样的位置关系？试证明你的结论． 45．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 覆盖十六30°对应的直角边等于斜边一半 46．课本再现：本学期，我们利用“构造轴对称图形等边三角形”证明了定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)【知识运用】如图1，在中，，若，则 ； (2)【类比证明】如图2，请类比“构造轴对称图形等边三角形”证明过程，证明：在中，若，则； (3)【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题证明中常见的思路，请你尝试解决以下问题如图3，等边中，延长，，使，连接，．求证：． 47．问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． (1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接； 【知识应用】 (2)如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长． 48．【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点D为边上的一个动点，连接．若，则的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，点D为等边的边上一点，点E为右侧一点，连接，若，，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是某工程队的施工区域，点P为边上的一个活动作业点（即点P在边上运动），米，，，现需在左侧的施工区域外修建一个项目工程部Q，沿修建一条通道，根据规划要求，，．为控制修建成本，要求的长度最小，请你求出的最小长度． 覆盖十七整数部分与小数部分 49．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 50．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 51．阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 覆盖十八 勾股定理证射影定理 52．【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中， ，于点D．设，，． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示，则； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示，则_______； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝_______； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为_______； （2）若的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 53．【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 54．如图①所示的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成，利用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)请你利用图①的赵爽弦图，推导勾股定理； (2)如图②，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图③，在中，是边上的高，，设，求的长度． 覆盖十九 将军饮马问题 55．（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，（ ） 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，（ ） ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 56．综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 57．【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 覆盖二十倍长中线法 58．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 59．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 60．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长至点，使，连接． 【探究发现】 （1）如图1，求证：且； 【初步应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 【探究提升】 （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，，使得，，连接，延长交于点，直接写出线段与的数量关系和位置关系，无需证明．    覆盖二十一全等三角形的动点求t 61．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 62．如图，在中，，．过点作直线，动点从点开始沿射线的方向以的速度运动，动点也同时从点出发在直线上以的速度运动．连接，设运动时间为． (1)当点在边上时，请写出的长（用含的代数式表示）：_____，_____cm． (2)当点在边上时，若的面积为，求的值． (3)请利用备用图探究，当的值为多少时，与全等？ 63．在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，如图①，设点的运动时间为秒． (1)求的面积（用含的代数式表示）； (2)如图②，当点从点开始运动的同时，点从点出发， ①若以的速度沿向点运动（到达点即停），当时，求的值； ②若以的速度沿向点运动（到达点即停），是否存在这样的，使与P、Q、C三点围成的三角形全等?若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 覆盖二十二等腰三角形的动点求t 64．如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点 运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，　　　； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，是以或为底的等腰三角形； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为　　　． 65．如图，在中，，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点P的运动时间为． (1)①当P在上时，的长为 ，t的取值范围是 ．（用含t的代数式表示） ②若点P在的角平分线上，则t的值为 ． (2)在整个运动过程中，直接写出是以为一腰的等腰三角形时t的值． 66．如图，中，分米，分米．一个小甲虫看作点从点A出发，以3分米/分的速度沿折线运动．设小甲虫的运动时间为． (1)求点B到的距离； (2)①当P在上包含端点时，的长为___________用含t的代数式表示；t的取值范围是___________． ②当点P在的平分线上时，求t的值． (3)在整个运动过程中，直接写出当是以为一腰的等腰三角形时t的值． 覆盖二十三 勾股定理的新定义 67．我们定义：两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据“奇异三角形”定义，等边三角形________奇异三角形，（填“是”或“不是”）； (2)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求； (3)如图，以为斜边分别在的两侧作直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，，求证：是奇异三角形． 68．综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 69．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． (1)等腰直角三角形 (请填写“是”或“不是”)勾股高三角形； (2)如图1，已知△为勾股高三角形，其中点为勾股顶点， 是 边上的高．若 ，试求的值； (3)如图2，等腰三角形 为勾股高三角形，其中， 为 边上的高，过点 作 交 边于点．若，试求线段 的长度． 覆盖二十四勾股定理中的数形结合最值 70．【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 71．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，是直角边分别是和的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图），向右平移直角使点和重合（图），这时，，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值为______； （2）变式训练：求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，则______． （4）的最大值是______； 72．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $