期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册考点解惑

**基本信息** 聚焦期中前基础常考与中等易错点，以题型分类构建知识网络，覆盖实数、三角形、全等、勾股定理等核心模块，注重概念理解与应用迁移。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础常考|10类型，每类型3-4题|选择、填空为主，少量解答|从无理数定义、三角形三线等概念，到全等判定、实数运算等应用，形成“概念-性质-运算”递进链条| |中等易错|10类型，每类型3-4题|选择、填空、解答结合|以数轴表示无理数、角平分线性质等易错点为核心，融合勾股定理应用、尺规作图等综合题型，强化知识关联与推理能力|

期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、无理数的定义、勾股数与直角三角形条件(选) 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【详解】解：∵ 0是整数，也是整数， ∴ 二者均属于有理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是分数， ∴ 属于有理数． 2．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 3．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 4．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各选项两较短边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 类型二、三角形的中线、高线、角平分线(选) 1．如图，下列尺规作图中，分别表示的中线、高线、角平分线的是（     ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【答案】D 【详解】解：由作图过程可得：③中线段是的中线； ②中线段是的高线； ①中线段是的角平分线． 2．如图，以下是一位同学将翻折至阴影处的三种不同折纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的分别是的（    ） A．角平分线、高、中线 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高 D．中线、角平分线、高 【答案】A 【分析】根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图（1）中的折叠方式可知，， 是的角平分线； 由图（2）中的折叠方式可知，， ， ， 是的高线； 由图（3）中的折叠方式可知，， 是的中线． 3．画的边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：在中，画出边上的高，即是过点作边所在直线的垂线段，正确的是C ． 故选：C． 4．在三角形中，交点一定在三角形内部的有（    ） ①三角形的三条高；②三角形的三条中线；③三角形的三条角平分线；④三角形的外角平分线 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高、中线和角平分线，根据三角形的高、中线、角平分线和外角平分线的性质，判断其交点是否一定在三角形内部． 【详解】解：①三角形的三条高线交点在钝角三角形中位于外部，不一定在内部，不符合题意， ②三角形的中线交点一定在内部，符合题意； ③三角形的角平分线交点一定在内部，符合题意； ④三角形的外角平分线交点一定在外部，不符合题意； ∴交点一定在三角形内部的只有②和③， 故选：D． 类型三、三角形的组成与应用(选、填) 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为、、的三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为、、的三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意． 2．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 3．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，找出范围内符合条件的正整数，统计其个数即可． 【详解】解：三角形三边长分别为，，， ，即， 为正整数， 可以为、、、、，共个． 4．已知a，b，c为三角形三边的长，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系及绝对值的性质．先根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负性，再依据绝对值性质去掉绝对值符号，最后合并同类项化简． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 类型四、全等的依据与添加条件(选、填) 1．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 2．下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 【答案】A 【详解】解：由作法易得，，，， ， 两个三角形全等的依据是边边边， 故选：A． 3．如图，，再添加条件_________就可以判定． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定方法添加合适的条件并证明即可． 【详解】解：添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴． 4．如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______．    【答案】 【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等可得两个三角形全等． 【详解】解：根据题意可得： 在和中， ， ， ， 依据是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等解决实际问题． 类型五、近似数与全等三角形的性质(选、填) 1．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 2．如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，a和c的夹角分别为和 ∴． 3．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 【答案】 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数法表示即可 【详解】解：原数为， 确定千万位上的数字为，其下一位百万位上的数字为， ， 向千万位进，千万位，需继续向亿位进， 近似值为， 用科学记数法表示为 4．如图，，，那么 _______． 【答案】8 【分析】根据全等三角形的对应边相等，可得，因为，，则，由此得解． 【详解】解：， ， ，， ． 类型六、(算术)平方根、立方根的定义与非负性(选、填) 1．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根与平方的非负性，两非负式之和为0则两式分别为0，进而求出a,b的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 2．如果一个正数的平方根是和，则a的值是（     ） A．81 B．9 C．18 D．3 【答案】D 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得． 3．25的算术平方根是________，的立方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5，的立方根是． 4．已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 【答案】当为偶数时，为；当为奇数时，为 【分析】根据立方根的定义得到根指数的关系，根据相反数的性质得到与的关系，结合已知列方程组求解，得到后再根据乘方的定义求的次方根． 【详解】解：是的立方根， ， 是的相反数， ， 两边立方得：， 又，， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， ， 求的（）次方根：当为偶数时，正数的偶次方根有两个，互为相反数，结果为；当为奇数时，正数的奇次方根只有一个正根，结果为． 类型七、实数运算(选、填、解) 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确． 2．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根、立方根及平方根的定义计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 3．化简：_____． 【答案】 【分析】先判断绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质化简，用到的知识点为负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 类型八、平方根与立方根的综合应用(选、填、解) 1．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 2．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 3．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 4．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 类型九、平方根与立方根解方程(解) 1．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 2．求的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 3．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时除以9，再开平方，即可作答； （2）方程两边同时除以8，再开立方，即可作答； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 4．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， 移项得， 开立方得； （2）解：， 移项整理得， 开平方得或， 解得或． 类型十、全等三角形的判定(解) 1．如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据线段的和差关系得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】略 2．如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】利用即可证明． 【详解】略 3．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【详解】略 4．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【中等易错】 类型一、数轴上表示无理数(选、填) 1．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 2．如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点应在点与点之间． 3．如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【详解】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 4．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 类型二、估算无理数(选、填) 1．估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． ∴． 结合两个取值范围，可得． ∴满足条件的整数x的值为10． 3．已知，则整数的值为___________． 【答案】 【分析】利用夹逼法确定的范围，即可求出整数的值，掌握无理数的估算方法是解题的关键. 【详解】解：， ，即， 整数满足， . 4．若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 【答案】7 【分析】先估算出的取值范围，确定和的值，即可计算得到的值． 【详解】解：，，且， ，即， 又，且，是两个连续的整数， ，， ． 类型三、角平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 2．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ，， ， ， ， ， ， 的面积是． 3．已知，如图①，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题： 如图②，在中，，，是的内角平分线，则的边上的中线长l的取值范围是 __________________． 【答案】 【分析】根据题意得到，设，，在中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题． 【详解】解：记中上的中线为，如图，反向延长中线至，使得，连接， ∵是的内角平分线， ∴， ∵，， ∴， 可设，， 在中，， ∴由三角形的三边关系可得：且， ∴， ， ， ， 由三角形三边关系可知， ， ， ， ∴． 4．如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 【答案】 证明：是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ,且， 点在的平分线上， 即平分． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质及角平分线的判定，解题的关键是证明，由角平分线的判定定理得证．先利用中线和垂直条件，通过证明，得出． 【详解】略 类型四、垂直平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长． 2．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到、，将周长进行等量代换得，再由求出，结合得到，相加求出周长． 【详解】解：，垂直平分，则， 的周长是， ， ，即， ， ， ， 的周长为． 3．如图，中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在上方、下方交于点，，作直线，交于点，连接，，则_______． 【答案】 【分析】连接，设交于，由题可知垂直平分，则，，进而得到，再证，得到，再由求解即可． 【详解】解：连接，设交于， 由题可知垂直平分，则，， 又， ， ， ，又， ，， 在和中， ， ， ． 4．如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：在与中， ， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 类型五、等腰三角形的性质与判定(选、填、解) 1．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 2．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ， ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共3个点； 这样的C点有5个． 故选：C． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角为_____度． 【答案】40或140 【分析】本题考查等腰三角形的性质及高的位置关系，根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴； ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴， ∴； 综上所述：等腰三角形的顶角度数为40度或140度． 故答案为：40或140． 4．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1) 证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 类型六、等边三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在等边中，是边上的一点，且满足，于点，于点．若，则的长是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质求出边长和角度，利用含角的直角三角形性质，依次求出、、的长，最后在中求出即可． 【详解】解：是等边三角形，， ，， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 2．如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边三角形性质和角平分线定义证明，从而得出，，再利用周角定义求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 【答案】1 【分析】过D作于F，根据等边三角形的性质得到，求得，得到，可得，根据等腰三角形的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：过D作于F， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2)10 【分析】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质、正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据等边三角形的判定证明； （2）过点O作于F，根据含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点O作于F， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ． 类型七、勾股定理(逆定理)的应用(选、填、解) 1．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 2．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 3．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 4．如图，某公园把一块土地划出一个种草，其余部分种花，测得，，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中种花（阴影）部分的面积． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下： 在中，，由勾股定理得： ， ， 在中，，         是直角三角形，且； (2) 【分析】（1）先由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定为直角三角形； （2）分别求出和的面积，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，     ，         图中种花（阴影）部分的面积． 类型八、勾股定理的证明—含赵爽弦图(选、填、解) 1．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 3．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（图乙的实线部分）________． 【答案】76 【分析】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意利用题中隐含的已知条件来解答此类题． 由题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【详解】解：如图，依题意得：，， 在中，，， ∴“数学风车”的周长是：． 故答案为：76． 4．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1) 解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 类型九、实数中的程序、化简、规律问题(选、填、解) 1．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 2．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，据此计算算术平方根和合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴化简代数式，熟练掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键． 根据数轴得到，得出，，，继而得到算术平方根，绝对值进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ，，， ． 4．观察表格，回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 当________时，；当________时，；当________时，． 【答案】(1)；10； (2)①；②； (3)，或0，． 【分析】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出与的值即可； （2）根据得出的规律确定出所求即可； （3）分类讨论的范围，比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；10； （2）解：①根据题意得：， ②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍， ∴． 故答案为：31.6；； （3）解：当或1时，； 当时，； 当或0时，； 当时，， 故答案为：，或0，． 类型十、尺规作图与无刻度尺作图(解) 1．如图，已知线段和射线． (1)在图1中，在射线上求作一点，使； (2)在图2中，在射线上求作一点，使． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 【分析】（1）以点A、点B为圆心，以大于为半径在线段的上侧和下侧分别画弧，交于点F、G，连接交于点D，连接，则，则点D即为所求点； （2）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点I，H，以点B为圆心，以的长度为半径画弧，交于点J，以点J为圆心，以的长度为半径画弧，交上一条弧于点K，连接射线交射线于点E，此时；由可得，由作图可得，此时即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边、的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，作的角平分线，的垂直平分线，交点即为所求． 【分析】本题考查的是尺规作图的综合应用，核心是利用角平分线的性质与线段垂直平分线的性质确定点的位置．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点需在的角平分线上；再根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点需在线段的垂直平分线上，两条线的交点即为满足条件的点P． 【详解】略 3．解答： (1)有、两处村庄，现需要在线路上建造一个中转站，要求到、距离和最小，请用无刻度的直尺在图1中作出位置． (2)在图2中用无刻度的直尺和圆规在直线上求一点，使； (3)在图3中用无刻度的直尺和圆规在直线上求一点，使直线平分． 【答案】(1) 作图如下： 则点C即为所求． (2) 如图所示： 则点P即为所求； (3) 作图如下， 则点Q即为所求； 【分析】（1）根据两点之间线段最短，直接连接，与直线交于点，则点C即为所求． （2）作线段的垂直平分线，与直线交于点，则点P即为所求； （3）在图3中用无刻度的直尺和圆规在直线上求一点，使直线平分． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． 4．操作实践 图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求． 【源于生活】 爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根所在直线是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张纸上画好了风筝的轮廓，已知，“副龙骨”经过的中点，爸爸请小明独立完成以下操作（所有操作不写作法，保留作图痕迹）． (1)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中作出三角形风筝的“主龙骨”： (2)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中找到点； (3)操作：点是上一点，请在图中用无刻度的直角三角板画出“副龙骨”； 【数学思考】小明继续制作风筝，连接了和，发现和的交点恰好在“主龙骨”上，爱思考的小明在，上分别取、，使其关于对称．连接了和，也有同样的发现，小明立马跟爸爸分享了他的发现，爸爸说，能不能用你的新发现作出“主龙骨”？ (4)操作：如图，根据小明的发现，用不同于操作的方式，用圆规和无刻度的直尺作出“主龙骨“； 作为数学老师的爸爸思考片刻，提出，能不能仅用无刻度的直尺完成寻找龙骨的过程？小明立刻想到了借助网格，请和他一起完成： (5)操作：如图，在边长为的正方形网格中利用格点画出“主龙骨”； 【创新应用】 风筝制作好了，爸爸又给小明留了一道思考题： (6)操作：如图，点是正方形的边上一点，请利用无刻度的直尺在边上找一点，使． 【答案】(1) (2) 如图 (3) 如图 (4) (5) (6) 【分析】本题考查轴对称图形的性质和特点，线段的垂直平分线的尺规作图方法，无刻度的直角三角板的作图方法等知识点． （1）根据轴对称图形的性质和特点，利用作线段垂直平分线的方法作线段的垂直平分线，即可得出答案； （2）利用作线段垂直平分线的方法作出线段的垂直平分线，直线交线段于点，点即为所求； （3）用无刻度的直角三角板过点作出的垂线，即可得出答案； （4）根据轴对称图形的性质和特点，在上分别截取，连接交于点，连接即可得出答案； （5）利用网格的特征解答即可； （6）根据轴对称图形的性质和特点，连接，，交于点，作关于对称的三角形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点，过这两个交点作直线，直线过点，直线交线段于点，则线段即为三角形风筝的“主龙骨”； （2）解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点，过这两个交点作直线，直线即为线段的垂直平分线，直线交线段于点，点即为线段的中点； （3）解：在（1），（2）作图的基础上，用无刻度的直角三角板，一直角边与重合，另一直角边过点，沿过点的直角边画线，作的垂线，并延长交于点，线段即为所求的“副龙骨”； （4）解：如图，在上分别截取，连接交于点，连接并延长交于点，即为所求的“主龙骨”； （5）解：如图，连接，由网格可得点即为线段的中点，连接，则线段即为所求“主龙骨”； （6）解：如图，连接，，交于点，连接并延长，交于点，点即为所求的点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、无理数的定义、勾股数与直角三角形条件(选) 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．π D． 2．下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（     ） A． B． C． D． 3．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 4．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 类型二、三角形的中线、高线、角平分线(选) 1．如图，下列尺规作图中，分别表示的中线、高线、角平分线的是（     ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 2．如图，以下是一位同学将翻折至阴影处的三种不同折纸示意图，则图（1）、图（2）、图（3）的分别是的（    ） A．角平分线、高、中线 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高 D．中线、角平分线、高 3．画的边上的高，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在三角形中，交点一定在三角形内部的有（    ） ①三角形的三条高；②三角形的三条中线；③三角形的三条角平分线；④三角形的外角平分线 A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 类型三、三角形的组成与应用(选、填) 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知三角形三边长分别为，若为正整数，则这样的三角形有________个． 4．已知a，b，c为三角形三边的长，化简：______． 类型四、全等的依据与添加条件(选、填) 1．如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 2．下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边 3．如图，，再添加条件_________就可以判定． 4．如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是______．    类型五、近似数与全等三角形的性质(选、填) 1．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 2．如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 3．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 4．如图，，，那么 _______． 类型六、(算术)平方根、立方根的定义与非负性(选、填) 1．若，则 的值为（     ） A． B．1 C．5 D． 2．如果一个正数的平方根是和，则a的值是（     ） A．81 B．9 C．18 D．3 3．25的算术平方根是________，的立方根是________． 4．已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 类型七、实数运算(选、填、解) 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．化简：_____． 4．计算：． 类型八、平方根与立方根的综合应用(选、填、解) 1．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 2．如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 3．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 4．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 类型九、平方根与立方根解方程(解) 1．求下列各式中的值： (1)； (2)． 2．求的值： (1)； (2) 3．解下列方程 (1)； (2)． 4．解下列方程： (1) (2) 类型十、全等三角形的判定(解) 1．如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 2．如图，点E，C在线段上，，，．求证：． 3．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 4．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【中等易错】 类型一、数轴上表示无理数(选、填) 1．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 3．如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 4．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 类型二、估算无理数(选、填) 1．估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 2．若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 3．已知，则整数的值为___________． 4．若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 类型三、角平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当长度最小时，的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知，如图①，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题： 如图②，在中，，，是的内角平分线，则的边上的中线长l的取值范围是 __________________． 4．如图，是的中线，，垂足分别为F，E，，求证：平分． 类型四、垂直平分线的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 2．如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，的周长是，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别在上方、下方交于点，，作直线，交于点，连接，，则_______． 4．如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 类型五、等腰三角形的性质与判定(选、填、解) 1．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角为_____度． 4．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 类型六、等边三角形的性质与判定(选、填、解) 1．如图，在等边中，是边上的一点，且满足，于点，于点．若，则的长是（     ） A． B． C．3 D． 2．如图，在等边中，平分，连接，，若，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，等边三角形中，D是延长线上的一点，点E在上，若，，，则的长为______． 4．如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 类型七、勾股定理(逆定理)的应用(选、填、解) 1．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 3．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 4．如图，某公园把一块土地划出一个种草，其余部分种花，测得，，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中种花（阴影）部分的面积． 类型八、勾股定理的证明—含赵爽弦图(选、填、解) 1．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 2．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 3．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（图乙的实线部分）________． 4．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 类型九、实数中的程序、化简、规律问题(选、填、解) 1．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 2．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D． 3．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：_______． 4．观察表格，回答问题： a … 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，用含m的代数式表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 当________时，；当________时，；当________时，． 类型十、尺规作图与无刻度尺作图(解) 1．如图，已知线段和射线． (1)在图1中，在射线上求作一点，使； (2)在图2中，在射线上求作一点，使． 2．如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边、的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 3．解答： (1)有、两处村庄，现需要在线路上建造一个中转站，要求到、距离和最小，请用无刻度的直尺在图1中作出位置． (2)在图2中用无刻度的直尺和圆规在直线上求一点，使； (3)在图3中用无刻度的直尺和圆规在直线上求一点，使直线平分． 4．操作实践 图案设计时常巧妙地运用图形变换，呈现数学独特的应用之美．采用不同的数学工具设计，又对我们提出了不同层次的数学思维要求． 【源于生活】 爸爸和小明一起制作风筝，风筝是一个轴对称图形，有两根支撑的龙骨．一根所在直线是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．爸爸在一张纸上画好了风筝的轮廓，已知，“副龙骨”经过的中点，爸爸请小明独立完成以下操作（所有操作不写作法，保留作图痕迹）． (1)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中作出三角形风筝的“主龙骨”： (2)操作：请用圆规和无刻度的直尺在图中找到点； (3)操作：点是上一点，请在图中用无刻度的直角三角板画出“副龙骨”； 【数学思考】小明继续制作风筝，连接了和，发现和的交点恰好在“主龙骨”上，爱思考的小明在，上分别取、，使其关于对称．连接了和，也有同样的发现，小明立马跟爸爸分享了他的发现，爸爸说，能不能用你的新发现作出“主龙骨”？ (4)操作：如图，根据小明的发现，用不同于操作的方式，用圆规和无刻度的直尺作出“主龙骨“； 作为数学老师的爸爸思考片刻，提出，能不能仅用无刻度的直尺完成寻找龙骨的过程？小明立刻想到了借助网格，请和他一起完成： (5)操作：如图，在边长为的正方形网格中利用格点画出“主龙骨”； 【创新应用】 风筝制作好了，爸爸又给小明留了一道思考题： (6)操作：如图，点是正方形的边上一点，请利用无刻度的直尺在边上找一点，使． 1 学科网（北京）股份有限公司 $