2026-2027学年人教版数学八年级上册期中考试解答题压轴题综合训练（一）

**基本信息** 人教版八年级上册数学期中压轴题综合训练，16道解答题聚焦三角形、四边形、坐标系中的几何综合应用，突出推理能力与空间观念的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|16道|三角形全等（如第1题角平分线性质证明）、旋转变换（如第2题等边三角形旋转）、坐标系几何（如第3题坐标系中三角形全等与角度关系）|问题设计分层，从基础证明（如第1题3问逐步递进）到动态探究（如第2题旋转角度与线段关系），融入模型思想与创新意识，适配期中综合能力检测需求。|

人教版八年级上册数学期中考试解答题压轴题综合训练（一） 1．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD＝AC． 2．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°． （1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE； （2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由； （3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由． 3．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E． （1）如图①，求证：△AEO≌△BCO； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜3，连接DO． ①若∠BAD＝∠BOD，求证：∠ABC＝∠DOC． ②当AD﹣CD＝OC时，求的值． 4．如图所示，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴负半轴于点B（0，b），且OA＝OB，C（c，0）是x轴负半轴上一点，连接BC． （1）如图1，若AH⊥BC于点H，且AH交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； （2）如图2，在（1）的基础上，连接OH，求证：∠OHP＝45°； （3）若a+2c＝0，点D为AB的中点，点M为y轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴上运动的过程中，S△BDM，S△ADN，S△ABC之间有何数量关系？为什么？ 5．如图1，点C（8，0）在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若AC＝10，求点B的坐标； （2）点E为AC上一点，且DE＝BD，如图2，求BC+EC的长； （3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当点H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH，GH，OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 6．已知直线AB交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m、n满足|m+n|+（n﹣3）2＝0． （1）求m，n的值； （2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由； （3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，Q为AF的中点且CQ⊥AF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，求证：． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（x，0），B（0，y），且x，y满足|x﹣6|+（y﹣2）2＝0． （1）求△AOB的面积； （2）如图1，以AB为斜边构造等腰直角△ABC，请直接写出点C的坐标； （3）如图2，已知等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是腰AC上的一点（不与A，C重合），连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E． ①若BD是∠ABC的角平分线，求证：BD＝2AE； ②探究：如图3，连接CE，当点D在线段AC上运动时（不与A，C重合），∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 　 　，∠OAB的度数为 　 　； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为（3，﹣2），连接CD，DE平分∠ODC，BD与OC交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由． 9．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 10．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 11．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝116°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝58°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，求△ABE的面积． 12．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）求证：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 13．如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点． （1）求∠AME； （2）求证：AM＝MN； （3）连FG，问FG与BE的位置关系并证明． 14．如图1，在平面直角坐标系中，P（2，2），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB． （1）求证：PA⊥PB； （2）若点A（8，0），求点B的坐标； （3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值； （4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，DM⊥AC于M． （1）求证：∠ABD＝∠ACD； （2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE； （3）当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 16．在平面直角坐标系中，A（4，4），B（4，0），点D为x轴上的动点，连接AD，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到AE，连接OE交AB于点P． （1）当点D与点B重合时，求点P的坐标； （2）当点D运动到OB中点处时，求证：AP＝3BP； （3）已知点F（0，4），当点D在x轴上运动时，连接OA、FD，在射线BA上取一点R，连接DR、FR，使得∠DFR＝∠AOB．试探究AR、DR、OD三者的数量关系． 参考答案 1．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD＝AC． 【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC， ∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴OE＝OD， ∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE， 同理求出∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°， ∴OA⊥OC； （3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴AB＝AE， 同理可得CD＝CE， ∵AC＝AE+CE， ∴AB+CD＝AC． 2．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°． （1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE； （2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由； （3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由． 【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE； （2）不存在， 理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H， ∵△ABC，△DBE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE， ∴×AD×BN＝×CE×BH， ∴BN＝BH， 又∵BF＝BF， ∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL）， ∴∠AFB＝∠EFB， ∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB， ∴∠AFC＝∠ABC＝60°， ∴∠AFB＝∠EFB＝60°， ∴∠CFB＝∠DFB＝120°， 当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF， ∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB， ∴∠DAB＝∠ADB， ∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾， ∴BF不会平分∠CBD； （3）AF＝CF+BF， 理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM， ∵∠AFB＝60°，MF＝FB， ∴△MFB是等边三角形， ∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°， ∴∠ABM＝∠CBF， 在△ABM和△CBF中， ， ∴△ABM≌△CBF（SAS）， ∴AM＝CF， ∵AF＝AM+MF， ∴AF＝CF+BF． 3．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），B（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E． （1）如图①，求证：△AEO≌△BCO； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜3，连接DO． ①若∠BAD＝∠BOD，求证：∠ABC＝∠DOC． ②当AD﹣CD＝OC时，求的值． 【解答】（1）证明：如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO， ∴∠AOE＝∠BDE＝90°， ∵∠AEO＝∠BED， ∴∠OAE＝∠OBC， ∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴OA＝OB＝3， ∴△AOE≌△BOC（ASA）； （2）①证明：∵∠BAD＝∠BOD，∠BEA＝∠OED， ∴∠ABE＝∠ODE， 由（1）知：△AOE≌△BOC， ∴∠OAE＝∠OBD， ∴∠OBD+∠ABE＝∠OAE+∠ODE， ∴∠ABC＝∠DOC； ②解：如图2，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N， ∵△AOE≌△BOC， ∴S△AOE＝S△BOC，且AE＝BC， ∵OM⊥AE，ON⊥BC， ∴OM＝ON， ∴OD平分∠ADC， ∴∠PDO＝∠CDO， 如备用图，在DA上截取DP＝DC，连接OP， ∵OD＝OD， ∴△OPD≌△OCD（SAS）， ∴OC＝OP，∠OPD＝∠OCD， ∵AD﹣CD＝OC， ∴AD﹣DP＝OP，即AP＝OP， ∴∠PAO＝∠POA， ∴∠OPD＝∠PAO+∠POA＝2∠PAO＝∠OCB， 又∵∠PAO+∠OCD＝90°， ∴3∠PAO＝90°， ∴∠PAO＝30°， ∴∠OCB＝60°． ∴＝2． 4．如图所示，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴负半轴于点B（0，b），且OA＝OB，C（c，0）是x轴负半轴上一点，连接BC． （1）如图1，若AH⊥BC于点H，且AH交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC； （2）如图2，在（1）的基础上，连接OH，求证：∠OHP＝45°； （3）若a+2c＝0，点D为AB的中点，点M为y轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴上运动的过程中，S△BDM，S△ADN，S△ABC之间有何数量关系？为什么？ 【解答】（1）证明：点A（a，0），交y轴负半轴于点B（0，b），且OA＝OB， 则OA＝OB＝a． ∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90° ∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠HAC＝∠OBC． 在△OAP与△OBC中，， ∴△OAP≌△OBC（ASA）； （2）证明：过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点． 在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°， ∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP． 在△COM与△PON中，， ∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM＝ON． ∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴HO平分∠CHA， ∴∠OHP＝∠CHA＝45°； （3）解：S△BDM﹣S△ADN＝S△ABC． 理由如下： 若a+2c＝0，则c＝﹣a，则OC＝a， 如图：连接OD． ∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点， ∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD ∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°， ∴∠DAN＝135°＝∠MOD． ∵MD⊥ND即∠MDN＝90°， ∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA． 在△ODM与△ADN中，， ∴△ODM≌△ADN（ASA）， ∴S△ODM＝S△ADN， ∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝a×a＝a2， 而S△ABC＝AC×OB＝（a+a）×a＝a2， ∴S△BDM﹣S△ADN＝S△ABC； 当M在线段OB上，如图： 同理可得：S△BDM+S△ADN＝S△ABC； 当M在射线BO的反向延长线上时，如图： 同理可得：﹣S△BDM+S△ADN＝S△ABC； 综上，S△BDM﹣S△ADN＝S△ABC或S△BDM+S△ADN＝S△ABC或﹣S△BDM+S△ADN＝S△ABC． 5．如图1，点C（8，0）在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． （1）若AC＝10，求点B的坐标； （2）点E为AC上一点，且DE＝BD，如图2，求BC+EC的长； （3）如图3，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，当点H在FC上移动，点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH，GH，OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【解答】解：（1）∵点C（8，0）， ∴OC＝8， ∵把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处， ∴AC＝BC＝10， ∴OB＝BC﹣OC＝2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）； （2）∵把△ACD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点B处， ∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD， ∵DE＝BD， ∴BD＝AD＝DE， 过D作DN⊥AC于N点，如图2， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴DO＝DN， 在Rt△BDO和Rt△EDN中， ， ∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL）， ∴BO＝EN； 在Rt△DOC和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DOC≌Rt△DNC（HL）， ∴OC＝NC， ∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝16； （3）GH＝FH+OG，证明如下： 由（2）知：DF＝DO， 在x轴的负半轴上取OM＝FH，连接DM，如图3， 在△DFH和△DOM中， ， ∴△DFH≌△DOM（SAS）， ∴DH＝DM，∠1＝∠ODM， ∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH， ∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM， 在△HDG和△MDG中， ， ∴△HDG≌△MDG（SAS）， ∴MG＝GH， ∴GH＝OM+OG＝FH+OG． 6．已知直线AB交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m、n满足|m+n|+（n﹣3）2＝0． （1）求m，n的值； （2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由； （3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，Q为AF的中点且CQ⊥AF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，求证：． 【解答】（1）解：由题意可得：， 解得：； （2）解：△COD为等腰直角三角形， 理由如下：∵AC⊥BE， ∴∠DEA＝∠BEA＝90°， ∴∠BEA＝∠AOB＝90°， ∴∠CAO＝∠DBO， 又∵AC＝BD，OA＝OB， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴OD＝OC， ∴△COD为等腰三角形， 又∵∠AOC＝∠BOD， 即∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∴△COD为等腰直角三角形； （3）证明：过点C作CH⊥BC交AF于点H，则△HCB为等腰直角三角形， 设CQ＝x，BF＝y，则BQ＝QH＝CQ＝x， 又∵CQ⊥AF，Q为AF的中点， ∴AC＝CF，AQ＝FQ， AQ﹣QH＝FQ﹣BQ， 即：AH＝BF＝y， 又∵CH＝BC， ∴△AHC≌△CBF（SSS）， ∴∠ACH＝∠FCB， 又∵∠ACH+∠HCP＝∠HCP+∠PCB＝90°， ∴∠PCB＝∠ACH， 又∵PC＝FC，BC＝BC， ∴△PCB≌△FBC（SAS）， ∴BF＝BP＝y， ∴CQ+BP＝x+y， ∴AF＝AH+BF+HQ+QB＝2（x+y）， ∴． 7．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（x，0），B（0，y），且x，y满足|x﹣6|+（y﹣2）2＝0． （1）求△AOB的面积； （2）如图1，以AB为斜边构造等腰直角△ABC，请直接写出点C的坐标； （3）如图2，已知等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是腰AC上的一点（不与A，C重合），连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E． ①若BD是∠ABC的角平分线，求证：BD＝2AE； ②探究：如图3，连接CE，当点D在线段AC上运动时（不与A，C重合），∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【解答】（1）解：∵|x﹣6|+（y﹣2）2＝0， ∴x﹣6＝0，y﹣2＝0， ∴x＝6，y＝2， ∴A（6，0），B（0，2）， ∴OA＝6，OB＝2， ∴S△AOB＝OA•OB＝； （2）解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥GC于点F， 则AF＝OG＝OB+BG＝2+BG，GF＝OA＝6，∠CGB＝∠AFC＝90°， ∴∠BCG+∠CBG＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCG+∠ACF＝90°， ∴∠CBG＝∠ACF， 又∵BC＝CA， ∴△CBG≌△ACF（AAS）， ∴BG＝CF，CG＝AF＝OG＝2+BG， ∵CG+CF＝GF＝6， ∴2+BG+BG＝6， ∴BG＝2， ∴OG＝CG＝2+2＝4， ∴点C的坐标为（4，4）； ②如图1﹣1，点C在第四象限时，过点C作CG⊥y轴于点G，过点A作AF⊥GC于点F， 同①得：△CBG≌△ACF（AAS）， ∴BG＝CF，CG＝AF＝OG＝BG﹣OB＝BG﹣2， ∵CG+CF＝GF＝OA＝6， ∴BG﹣2+BG＝6， ∴BG＝4， ∴OG＝CG＝4﹣2＝2， ∴点C的坐标为（2，﹣2）； 综上所述，点C的坐标为（4，4）或（2，﹣2）； （3）①证明：如图2，延长BC、AE，相交于点F， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∵∠ACB＝90°＝∠AEB，∠BDC＝∠ADE， ∴∠CBD＝∠CAE， 又∵BC＝AC， ∴△BCD≌△ACF（ASA）， ∴BD＝AF， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝FE， ∴AF＝2AE， ∴BD＝2AE； ②解：∠BEC的大小不变，为定值45°，理由如下： 如图3，过点C作CM⊥BD于点M，CN⊥AE于点N， 则∠BMC＝∠ANC＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠BEN＝90°， 由①可知，∠CBD＝∠CAE，AC＝BC， ∴△BCM≌△ACN（AAS）， ∴CM＝CN， ∴EC是∠BEN的角平分线， ∴∠BEC＝∠BEN＝×90°＝45°， 即∠BEC的大小不变，为定值45°． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 　（﹣8，0）　，∠OAB的度数为 　45°　； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为（3，﹣2），连接CD，DE平分∠ODC，BD与OC交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0， ∴b＝﹣8，a＝b＝﹣8， ∴A、B的坐标分别为：A（﹣8，0），B（0，﹣8）， ∴OA＝OB＝8， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝45°， 故答案为：（﹣8，0），45°； （2）OC与OD的数量关系：OC＝OD，位置关系：OC⊥OD；理由如下： 设AC与y轴交于点P，BD与OA交于点F，如图1， ∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝90°， 在△AEF和△BOF中，∠AEF＝∠BOF＝90°，∠AFE＝∠BFO， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD（SAS）， ∴OC＝OD，∠C＝∠D，∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC﹣90°＝∠BOD﹣90°，即∠POC＝∠FOD， ∴∠DOC＝∠POD+∠POC＝∠POD+∠FOD＝∠POA＝90， ∴OC⊥OD， 即OC＝OD，OC⊥OD； （3）①作DM⊥y轴交y轴于点M，CN⊥y轴交y轴于点N，如图2， ∵点C的坐标为（3，﹣2）， ∴ON＝2，CN＝3， 由（2）知OC＝OD，∠COD＝90°， ∵∠DOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°， ∴∠DOM＝∠OCN， ∵∠OMD＝∠CNO＝90°， ∴△OMD≌△CNO（AAS）， ∴OM＝CN＝3，MD＝NO＝2， ∴D（2，3）； ②DF＝2CE．理由如下： 延长DO交AC于点G，如图3， ∵∠ODB＝∠OCA，∠COD＝∠COG＝90°，OC＝OD， ∴△COG≌△DOF（ASA）， ∴CG＝DF， ∵DF平分∠ODC， ∴∠CDE＝∠GDE， ∵DE＝DE，∠DEC＝∠DEG＝90°， ∴△DCE≌△DGE（ASA）， ∴，即DF＝2CE． 9．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD＝PE， ∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB； （2）∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16， ∴×8•PD＝16， ∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4， ∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40， ∴△POM的面积+△PON的面积＝40， ∴OM•PC+ON•PE＝40， ∴OM•4+ON•4＝40， ∴OM+ON＝20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 10．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 【解答】解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD•AE）：（CD•AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝10， ∴S△ABD＝10， ∵AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝5：3， ∴S△ACD＝6， ∴S△ABC＝10+6＝16， 故答案为：16． 11．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝116°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝58°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，求△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝116°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝64°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝58°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝32°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝32°； （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝32°，即CE平分∠ACD， ∵EN⊥AC，EH⊥CD， ∴EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （3）解：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝24， ∴S△ACE+S△DCE＝24， ∴，即， ∴， 又∵AC+CD＝16， ∴x＝3， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴△ABE的面积为． 12．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）求证：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 【解答】（1）证明：∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAD＝2∠BAF， ∵∠BFE＝45°， ∴∠FBA+∠BAF＝45°， ∴2∠FBA+2∠BAF＝90°， ∵AD为BC边上的高， ∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°， ∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA， ∴∠EBF＝∠FBA， ∴BF平分∠ABE； （2）证明：过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N， ∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB， ∴FM＝FN， ∵S△ABF＝S△CBF， 即AB•FN＝BC•FM， ∴AB＝BC， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴∠AFB＝∠CFB， ∵∠BFE＝45° ∴∠AFB＝135°， ∴∠CFB＝135°， ∴∠CFE＝∠CFB﹣∠BFE＝135°﹣45°＝90°， ∴∠AFC＝90°； （3）解：∵△ABF≌△CBF， ∴AF＝FC， ∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD， ∴∠FAG＝∠FCE， 在△AFG和△CFE中， ， ∴△AFG≌△CFE（ASA）， ∴AG＝EC＝4.5， ∵BE＝3， ∴BC＝BE+EC＝7.5， ∵△ABF≌△CBF， ∴AB＝BC＝7.5． 13．如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点． （1）求∠AME； （2）求证：AM＝MN； （3）连FG，问FG与BE的位置关系并证明． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠AMB＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝135°， ∴∠AME＝45°； （2）∵MN⊥AM，∠AME＝45°， ∴∠NME＝45°， ∴∠AMB＝∠NMB＝135°， ∵BE是∠ABO角平分线， ∴∠ABM＝∠NBM， 在△ABM和△NBM中， ， ∴△ABM≌△NBM（ASA）， ∴AM＝MN； （3）连接FG， ∵△ABM≌△NBM，∴∠BNM＝∠BAM， ∵∠BAM＝∠FAO，∴∠FAO＝∠BNM， 在△NFM和△AGM中， ， ∴△NFM≌△AGM（ASA）， ∴FM＝MG， ∴∠MFG＝45°＝∠AME， ∴FG∥BE． 14．如图1，在平面直角坐标系中，P（2，2），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA＝PB． （1）求证：PA⊥PB； （2）若点A（8，0），求点B的坐标； （3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA﹣OB的值； （4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值． 【解答】（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F， ∵P（2，2）， ∴PE＝PF＝2， 在Rt△APE和Rt△BPF中，， ∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL）， ∴∠APE＝∠BPF， ∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°， ∴PA⊥PB； （2）解：易得四边形OEPF是正方形， ∴OE＝OF＝2， ∵A（8，0）， ∴OA＝8， ∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6， ∵Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF＝6， ∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4， ∴点B的坐标为（0，﹣4）； （3）解：∵Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF， ∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2， BF＝OB+OF＝OB+2， ∴OA﹣2＝OB+2， ∴OA﹣OB＝4； （4）解：如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F， 同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF， ∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2， BF＝OF﹣OB＝2﹣OB， ∴OA﹣2＝2﹣OB， ∴OA+OB＝4． 15．如图，在平面直角坐标系中，B（0，1），C（0，﹣1），D为x轴正半轴上一点，A为第一象限内一动点，且∠BAC＝2∠BDO，DM⊥AC于M． （1）求证：∠ABD＝∠ACD； （2）若点E在BA延长线上，求证：AD平分∠CAE； （3）当A点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【解答】证明：（1）在△ABC中，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵∠BAC＝2∠BDO， ∴∠ABD+∠CBD+∠ACB＝180﹣2∠BDO，① 在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD＝180°﹣∠ADC， ∵BO＝CO＝1， ∴∠BDC＝2∠BDO， ∴∠ACD+∠ACB+∠CBD＝180°﹣2∠BDO，② ①﹣②得，∠ABD﹣∠ACD＝0， ∴∠ABD＝∠ACD； （2）过D作DN⊥BE于N， 由于BD＝CD，∠ABD＝∠ACD； 在△BDN与△CDM中，， ∴△BDN≌△CDM， ∴DM＝DN， ∴AD是∠CAE的角平分线； （3）的值不发生变化， 理由：∵△BDN≌△CDM， ∴BN＝CM， ∵AD是∠CAE的角平分线， ∴AN＝AM， ∵BN＝AN+AB＝AM+AB，CM＝AC﹣AM， ∴AM+AB＝AC﹣AM， ∴AC﹣AB＝2AM， ∴＝2是定值． 16．在平面直角坐标系中，A（4，4），B（4，0），点D为x轴上的动点，连接AD，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到AE，连接OE交AB于点P． （1）当点D与点B重合时，求点P的坐标； （2）当点D运动到OB中点处时，求证：AP＝3BP； （3）已知点F（0，4），当点D在x轴上运动时，连接OA、FD，在射线BA上取一点R，连接DR、FR，使得∠DFR＝∠AOB．试探究AR、DR、OD三者的数量关系． 【解答】解：（1） 由题意知E（8，4） ∴AE＝B0＝4， 在△APE和△BPO中， ， ∴△APE≌△BPO（AAS）， ∴AP＝BP， ∵A（4，4），B（4，0） ∴AB＝4， ∴AP＝BP＝2， ∴P点坐标（4，2）； （2）过点E作EQ⊥AB，垂足为Q， ∴∠EQA＝∠ABD＝90°， ∵∠ADB+∠DAB＝90°，∠DAB+∠EAQ＝90°， ∴∠ADB＝∠EAQ， 在△AQE和△DBA中， ， ∴△AQE≌△DBA（AAS）， ∴AQ＝DB，EQ＝AB， ∵AB＝OB＝4，D是OB的中点， ∴AQ＝DB＝OD＝BQ＝2，EQ＝AB＝OB＝4， 在△EPQ和△OPB中， ， ∴△EPQ≌△OPB（AAS）， ∴PQ＝PB＝1， ∴AP＝AQ+PQ＝3， ∴AP＝3BP； （3）因为∠OFB＝45°，当点D在X轴负半轴且∠DFR＝45°时，点R不可能在射线BA上；当点D与点O重合时，点R与点B重合时，此时AR＝DR，OD＝0；当点D与点B重合时，此时点R与点A重合，此时AR＝0，DR＝OD． ①当点D在点O与点B之间时，过点F作FE⊥FD交BA的延长线于点E，如图（1）， 由题意可知OF＝AF＝4，∠FAE＝∠FOD＝90°， ∵∠EFA+∠AFD＝90°，∠AFD+∠DFO＝90°， ∴∠EFA＝∠DFO， 在△EFA和△DFO中， ， ∴△EFA≌△DFO（ASA）， ∴EF＝ED，AE＝OD， ∵∠DFR＝45°，∠DFR+∠EFR＝90°， ∴∠EFR＝∠DFR＝45°， 在△EFR和△DFR中， ， ∴△EFR≌△DFR（SAS）， ∴ER＝DR， ∵ER＝AE+AR＝OD+AR， ∴DR＝OD+AR； ②当点D在点B的右边时，如图（2）， 同理可证△EFA≌△DFO，△EFR≌△DFR， 可得AE＝OD，ER＝DR， ∵AE＝AR+ER＝AR+DR， ∴OD＝AR+DR， 学科网（北京）股份有限公司 $