3.1 勾股定理的探究 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 练习以勾股定理为核心，通过基础应用、综合情境到探究拓展的三层设计，覆盖从单一知识点到跨情境应用，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理直接应用|选择1-5、填空8-10，如已知直角边求斜边、面积关系，夯实概念理解| |提升层|综合几何情境应用|选择6-7、填空11-15，结合网格、中垂线等，培养空间观念与运算能力| |拓展层|探究与迁移应用|解答19-21，含动态问题、竞赛题及实际应用，发展推理意识与模型观念|

3.1 勾股定理的探究（课时作业） 一．选择题 1．（2026春•宝坻区期中）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若 S1＝36，S2＝64，则斜边AB的长是（　　） A．6 B．8 C．10 D．100 2．（2026•定远县校级一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D．第1题 第3题 第2题 第4题 3．（2025秋•连平县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•新抚区期末）如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　　） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 5．（2026春•梅江区校级期中）直角三角形的两条直角边的比为5：12，斜边长为26cm，则较长的直角边的长为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．24cm 6．（2026春•桐城市期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB＝2CD＝4，则AD2+BC2的值为（　　） A．20 B．24 C．28 D．30第7题 第8题 7．（2025秋•金水区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 二．填空题 8．（2026春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，D点在AB的中垂线上，，则BC的长为　 　 ． 第10题 第8题 第9题 9．（2026•七里河区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为　 　 ． 10．（2026春•北京期末）如图所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝3，AC＝4，则DC的长度是　 　 ． 11．（2026春•中山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD．若CE＝2，AE＝6，则CD＝　 　 ．第11题 第12题 第13题 12．（2026春•綦江区期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为1，3，2，则正方形D的面积为　 　 ． 13．（2025秋•宜阳县期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．图中格点△ABC中边AC上的高等于　 　 ． 14．（2025秋•隆德县校级期末）如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为 　 　 ． 15．（2026•香洲区校级模拟）如图所示，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2026的值为　 　 ． 16.（2026春•渭源县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝16，AD⊥BC垂足为D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　 　 ．第16题 第15题 第14题 3、 解答题 17．（2026春•宁乡市期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝5，BD＝3．求AD的值． 18．（2026春•西和县月考）如图，5×5方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图1中正方形ABCD的边长为　 　 ； （2）在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 19．（2026春•滨城区期中）如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8． （1）根据图1，求BC的长； （2）根据图2，求BC的长． 20．（2026•浙江竞赛）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°（AC＞BC），∠ADC＝45°，AC、BD交于点E，2∠ADB＝∠DBC，若BD＝7，AB＝5，求CE的长． 21．（2026春•青羊区校级期中）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝ 　 　 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝ 　 　 ； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　 ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 3.1 勾股定理的探究（课时作业）参考答案与试题解析 一．选择题 1．（2026春•宝坻区期中）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若 S1＝36，S2＝64，则斜边AB的长是（　C　） A．6 B．8 C．10 D．100 2．（2026•定远县校级一模）如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　C　） A．1 B．3 C． D．第1题 第3题 第2题 第4题 3．（2025秋•连平县期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　D　） A． B． C． D． 4．（2026春•新抚区期末）如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　A　） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 5．（2026春•梅江区校级期中）直角三角形的两条直角边的比为5：12，斜边长为26cm，则较长的直角边的长为（　D　） A．10cm B．12cm C．15cm D．24cm 6．（2026春•桐城市期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB＝2CD＝4，则AD2+BC2的值为（　A　） A．20 B．24 C．28 D．30第7题 第8题 7．（2025秋•金水区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　A　） A．8 B．14 C．16 D．18 二．填空题 8．（2026春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，D点在AB的中垂线上，，则BC的长为　 　 ． 第10题 第8题 第9题 9．（2026•七里河区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，则AE的长为　 10 　 ． 10．（2026春•北京期末）如图所示，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝3，AC＝4，则DC的长度是　 　 　 ． 11．（2026春•中山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD．若CE＝2，AE＝6，则CD＝　 　 ．第11题 第12题 第13题 12．（2026春•綦江区期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为1，3，2，则正方形D的面积为　 6 　 ． 13．（2025秋•宜阳县期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．图中格点△ABC中边AC上的高等于　 　 　 ． 14．（2025秋•隆德县校级期末）如图，点A是射线BM外一点，连接AB，若AB＝5cm，点A到BM的距离为3cm，动点P从点B出发沿射线BM以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，当△ABP为直角三角形时，t的值为 　 2或　 ． 15．（2026•香洲区校级模拟）如图所示，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2026的值为　 　 ． 16.（2026春•渭源县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝16，AD⊥BC垂足为D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　60 ．第16题 第15题 第14题 三、解答题 17．（2026春•宁乡市期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝8，BC＝5，BD＝3．求AD的值． 解：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵在Rt△BCD中，BC＝5，BD＝3， ∴， ∴在Rt△ACD中，． 18．（2026春•西和县月考）如图，5×5方格中每个小正方形的边长都为1． （1）图1中正方形ABCD的边长为　　 ； （2）在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置． 解：（1）由勾股定理可得正方形的边长为， （2）， 故可作为直角边分别为2、3的直角三角形的斜边， 作图如下，点P即为所求． 19．（2026春•滨城区期中）如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8． （1）根据图1，求BC的长； （2）根据图2，求BC的长． 解：（1）在Rt△ABH中，AB＝17，AH＝8， 由勾股定理得：； 在Rt△ACH中，AC＝10，AH＝8， 由勾股定理得：， ∴BC＝BH+CH＝15+6＝21； （2）在 Rt△ABH中，AB＝17，AH＝8， 由勾股定理得：； 在 Rt△ACH中，AC＝10，AH＝8， 由勾股定理得：， ∴BC＝BH﹣CH＝15﹣6＝9． 20．（2026•浙江竞赛）如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°（AC＞BC），∠ADC＝45°，AC、BD交于点E，2∠ADB＝∠DBC，若BD＝7，AB＝5，求CE的长． 解：在BD上取一点F，使 BF＝BC，连接CF，如图， 设∠ADB＝x，则∠DBC＝2x， ∵∠ADC＝45°， ∴∠EDC＝45°﹣x， ∴∠CDB+∠CBD＝45°+x， ∴∠DCB＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝135°﹣x， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECD＝45°﹣x， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵BC＝BF，∠DBC＝2x， ∴∠FCB＝∠CFB＝90°﹣x， ∴∠FCE＝x， ∴∠FCD＝∠ECD+∠FCE＝45°， ∴∠ADC＝∠FCD＝45° 又CD＝CD，∠ACD＝∠FDC， ∴△ADC≌△FCD（ASA）， ∴AC＝DF， 设 BC＝BF＝m，则 DF＝AC＝7﹣m， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（7﹣m）2+m2＝52， 解得：m＝3 或4， ∵AC＞BC， ∴BC＝3， ∴AC＝7﹣m＝4， 设 CE＝DE＝y，则 BE＝7﹣y， ∵CE2+BC2＝BE2， ∴y2+32＝（7﹣y）2， 解得：， ∴． 21．（2026春•青羊区校级期中）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝ a2+b2+2m2 ； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝ 　　 ； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　m ； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ∴AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝CD2+BD2＝m2+b2． ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2． ∵AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝a2+b2+2ab． 整理得：m2＝ab． ∴m． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD． 综上CE≥CD． ∴m． 故答案为：a2+b2+2m2，，m； （2）∵Rt△ABC的面积为6， ∴AB•CD＝6． ∴•m＝6． ∵m， ∴m2≤6． ∵m＞0， ∴m． ∴m的最大值为． （3）设图2中与墙平行的边AB长xm，垂直于墙的边AD长ym． ∵面积为32平方米， ∴xy＝18． 由（1）得：， ∴a+b≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥24． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为24米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $