3.1 勾股定理的探究同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础公式应用到综合情境拓展，梯度合理，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理基本公式直接应用|选择题2、填空题7等侧重运算能力，夯实概念理解| |提升层|实际情境与分类讨论应用|选择题3（直角边斜边分类）、填空题8（象棋棋盘距离）培养应用意识| |拓展层|定理验证与综合拓展|选择题5（定理验证）、解答题16（数轴表示无理数）发展几何直观与创新意识|

3.1 勾股定理的探究 同步练习 一、选择题： 1.如图所示为由边长是个单位长度的正方形组成的网格，线段的端点在格点网格中小正方形的顶点上，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一中国古代数学家称直角三角形为勾股形，如图，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理若小丽发现勾长是，股长是，则弦长为(    ) A. B. C. D. 3.若直角三角形的两边长分别为和，则第三边的长为(    ) A. B. C. D. 或 4.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案，正方形和的面积分别为和若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 5.下列选项中图中三角形都是直角三角形，不能用来验证勾股定理的是(    ) A. B. C. D. 6.图是第七届国际数学教育大会会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形如图演化而成的如果图中的，那么的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.在中，． 若，，则          ； 若，，则          ． 8.象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚，基本规则简明易懂如图所示的是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长均为，则“車”“炮”两棋子所在格点之间的距离为          ． 9.如图，在中，，，若以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积为          ． 10.如图所示为一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为          ． 11.在中，若，，则的面积是          ． 12.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点若，，则          ． 三、解答题： 13.求图中的值． 14.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是多少？ 15.求图中的值． 16.利用直尺和圆规在如图所示的数轴上分别作出表示和的点． 17.求图中，的值． 18.如图，方格纸上每个小正方形的边长都是以格点为顶点，分别在三张方格纸上画出三角形，使第一个三角形只有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的三边长都为无理数． 19.如图，设每个小方格的面积为，在图中画出以格点为端点且长度分别为，，的线段． 20.如图，在中，0，，，求点到的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案和解析 1.【答案】C 2.【答案】C 【解析】由勾股定理得弦长为52+12=13 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】C 【解析】A中间小正方形的面积=c2=(a+bP-4×二ab,整理得a+62=C,可以证明勾股定理； B梯形的面积=a+b(a+b)=2×号ab+号c,整理得a2+b2=c2,可以证明勾股定理； 2 C,不能证明勾股定理； D.中间小正方形的面积=(b-a}=c2-4×号ab,整理得a+b2=c,可以证明勾股定理.故选C. 6.【答案】D 7.【答案】【小题1】 4 因为2C=90,所以AC=V√AB2-BC=V5-32=4 【小题2】 √6 因为∠C=90,所以AB=√AC2+BC=V2+(V2=V6 8.【答案】√13 第1页，共1页 【解析】，棋盘中每个小正方形的边长均为1，∴.“車”“炮”两棋子所在格点之间的距离为 V32+22=√13 9.【答案】208 10.【答案】10 11.【答案】12 【解折】如图，取BC的中点D,连接AD.:AB=AC=5,BC=6,AD1BC,BD=号BC=3. AD=VAB-BD=4,△ABC的面积=×6×4=12. 12.【答案】20 【解析】提示：因为AC⊥BD,所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°. 由勾股定理得，AB+CD=A0+B0+C02+D02,AD+BC=A0+D0+B0+C02, 所以AB2+CD=AD2+BC2. 因为AD=2,BC=4, 所以AB2+CD2=2+42=20 13.【答案】解：(1)由勾股定理，得x2=10+10=200,所以x=10V2. (2)由勾股定理，得x2=152+82=289,所以x=17. (3)由勾股定理，得x2=152-122=81,所以x=9. 14.【答案】解：由勾股定理可知阴影长方形的长的平方为152+82=289=17，所以阴影长方形的面积为 17×3=51(cm2). 第2页，共1页 15.【答案】解：1)X=42+42=32x=32 (2)x2=82-43}=16'x=4 16.【答案】作法不唯一，如图，图①中的点A表示-√3；图②中的点B表示-V5 √3 2 320123 ① w5/ 2 名B克寸什龙3 ② 17.【答案】解：(1)X=81+100'X2=181'x=V181 (2)y2+144=169'y2=25'y=5 18.【答案】解：如图所示，此题答案不唯一。 第3页，共1页 A B ① ② ③ (1)在图①中，AC=2,BC=1,AB=V5: (2)在图②中，AC=V2,BC=V2,AB=2: (3)在图③中，AC=V2,BC=V8,AB=V10。 19.【答案】解：如图所示.（答案不唯一） 13 20.【答案】解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D 设CD=x, 则BD=BC+CD=11+X. 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=202-(11+x2: 在Rt△ACD中，AD=AC2-CD2=132-x2, .202-(11+x2=132-x2 解得X=5, .AD=V132-X2=V132-5=12' ∴.点A到BC的距离为12 第4页，共1页 B h.. C 0 第5页，共1页3.1勾股定理的探究同步练习 一、选择题： 1.如图所示为由边长是1个单位长度的正方形组成的网格，线段AB的端点在格点（网格中小正方形的顶点） 上，则AB2的值为() A.6 B.18 C.20 D.22 2.中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一.中国古代数学家称直角三角形为勾股形，如图，较短的直角 边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理若小丽发现勾长是5，股长 是12，则弦长为() 弦 股 勾 A.7 B.31 C.13 D.17 3.若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为() A.5 B.V7 C.V5 D.5或√7 4.小明学过勾股定理后，用三块正方形纸片以顶点相连，按如图所示的方式组成图案，正方形A和B的面积 分别为3和4若使所围成的三角形是直角三角形，则正方形C的边长为() B A.5 B.6 C.√5 D.√7 5.下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是() 第1页，共5页 b a a b a b b a A b E aB a 6.图1是第七届国际数学教育大会(ICME一7)会徽图案，它是由一串有公共顶点0的直角三角形（如图2）演 化而成的.如果图2中的0A1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,那么0A3的长为() ICME-7 图1 图2 A.V10 B.4 C.3 D.V8 二、填空题： 7.在Rt△ABC中，∠C=RtL. (1)若AB=5,BC=3,则AC=一： (2)若BC=√2，AC=2,则AB= 8.象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚，基本规则简明易懂如图所示的 是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长均为1，则“車”“炮”两棋子所在格点之 间的距离为 楚河 汉界 炮 属 帥 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=8.若以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的 面积为 B 第2页，共5页 10.如图所示为一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形 A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积为· 11.在△ABC中，若AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积是 12.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD 交于点0.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=一 D 三、解答题： 13.求图中x的值. 10 15 (1) (2) (3) 14.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是多少？ 15cm 3cm 8cm 第3页，共5页 15.求图中x的值. 8 上43 (1) (2) 16.利用直尺和圆规在如图①②所示的数轴上分别作出表示-V3和-√5的点. 名名寸0123一3之片0123→ ① ② 17.求图中x,y的值. 144 81 100 169 (1) (2) 第4页，共5页 18.如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1.以格点为顶点，分别在三张方格纸上画出三角形，使第一个 三角形只有一条边的长为无理数，第二个三角形有两条边的长为无理数，第三个三角形的三边长都为无理 数. 19.如图，设每个小方格的面积为1，在图中画出以格点为端点且长度分别为√2，V5,√13的线段. 20.如图，在△ABC中，AB=20,AC=13,BC=11,求点A到BC的距离. B 第5页，共5页