1.3.1矩形的性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边中线定理，通过类比菱形学习路径，从矩形定义出发，先回顾平行四边形通性，再引导探究矩形四个角为直角、对角线相等的特殊性质，构建知识递进支架。 其亮点在于采用分层习题设计（基础选择填空、中档证明、提升综合题）与探究式教学（如矩形剪开发现斜边中线定理），培养学生几何直观与推理意识。课堂小结系统梳理性质，助力学生形成知识网络，教师可借此实现精准教学，提升学生问题解决能力。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 1.3.1矩形的性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学1.3.1矩形的性质专项练习题 核心知识点梳理：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时拥有专属特殊性质。1. 矩形的四个角都是直角；2. 矩形的对角线相等且互相平分；3. 矩形是轴对称图形，有两条对称轴；4. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。本套习题分层基础、中档、提升题型，全面考查矩形性质的理解与几何应用。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 矩形区别于一般平行四边形的独有性质是（） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 四个角都是直角 D. 对角相等 2. 已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，下列结论错误的是（） A. AC=BD B. OA=OB C. ∠ABC=90° D. AC⊥BD 3. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=10，则斜边上的中线长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则对角线BD的长为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 下列关于矩形的说法正确的是（） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 矩形的四个内角和为180° D. 矩形的对角线相等且互相平分 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 矩形的四个角都是________，对角线________且互相平分。 2. 矩形ABCD中，∠A=________°，若OA=4，则对角线AC=________。 3. 直角三角形斜边上的中线长为6，则该直角三角形的斜边长为________。 4. 矩形相邻两边长分别为5和12，则矩形对角线长为________。 5. 矩形是________对称图形，也是轴对称图形。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 已知矩形ABCD，求证：AC=BD。 2. 如图，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长。 3. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，若AD=5，BC=2AD，求BC的长度。 四、综合提升题（每题15分，共30分） 1. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=2∶1，求∠OAB的度数。 2. 已知矩形ABCD，点E是BC边上一点，且AE=AD，DF⊥AE于点F，求证：AB=DF。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 解析：1.对边平行、对角相等、对角线平分均为平行四边形通性，四个角为直角是矩形独有性质；2.矩形对角线相等平分但不一定垂直，垂直是菱形性质；3.依据直角三角形斜边中线定理，中线为斜边一半；4.矩形内角为直角，由勾股定理得BD=√(3²+4²)=5；5.矩形对角线不垂直，有一个直角的平行四边形才是矩形，矩形内角和为360°。 二、填空题：1.直角、相等 2.90、8 3.12 4.13 5.中心 解析：2.矩形四角均为直角，对角线互相平分且相等，AC=2OA=8；3.斜边=2×中线=12；4.勾股定理√(5²+12²)=13；5.矩形兼具中心对称与轴对称性质。 三、基础解答题 1. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，又BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=BD。 2. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴OA=AB=4，∴AC=BD=2OA=8。 3. 解：根据直角三角形斜边中线定理，BC=2AD，∵AD=5，∴BC=10。 四、综合提升题 1. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∵∠DAE∶∠BAE=2∶1，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BD，∴∠ABE=60°，又OA=OB，△AOB为等边三角形，∴∠OAB=60°。 2. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°=∠B，又AD=AE，∴△ADF≌△EAB（AAS），∴AB=DF。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.探索并证明矩形的性质定理，会用矩形的性质解决简单的问题。 2.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半。 学习目标 2 矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题?怎样研究呢? 需要研究矩形的角的关系、对角线的关系。 可以从矩形的定义出发，先研究矩形的性质，再研究矩形的判定。 探究新知 3 知识点1 矩形的性质 问题1 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗? 对边平行且相等， 对角相等， 对角线互相平分， 矩形是中心对称图形。 探究新知 问题2 你认为矩形还具有哪些特殊的性质?你是怎样发现的？ 你能证明这些猜想吗? 发现：矩形的四个角都是直角。 矩形的两条对角线相等。 知识点1 矩形的性质 一个角是90° 对边平行，对角相等 四个角都是90° 四个角都是90° 对边相等 对角线相等 三角形全等 矩形的定义 矩形的性质 矩形的定义 矩形的性质 探究新知 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC= 90°， ∴∠BCD= 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 知识点1 矩形的性质 探究新知 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (2) ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC (矩形的对边相等)。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=DB。 知识点1 矩形的性质 探究新知 定理：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 探究新知 矩形的其他性质 (1)矩形的对角线平分所得的四条线段相等。 (2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 探究新知 知识点1 矩形的边、角性质 （第1题） 1.如图是一个矩形空地， ， ，从点沿直线走到点 ,要走( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 （第2题） 2.如图，直线，矩形的顶点在直线 上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 11 跟踪训练 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB A B C D O C 知识点1 矩形的性质 探究新知 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？ 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 你能证明这个结论吗? A B C D E BE是Rt△ABC斜边的中线。 BE=AC。 A B C E 探究新知 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。 求证: BO=AC。 O C B A D 证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC=BD， ∴BO=BD=AC。 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 你还有其他证明方法吗? 探究新知 直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BO为AC上的中线， ∴BO= AC。 C B A O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 探究新知 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC= AC，OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)。 ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= ×(180°-120°)=30°。 ∴BD=2AB=2×2.5=5。 A B C D O 你还有其他解法吗？ 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 探究新知 3.[无锡中考] 如图，在矩形中，点在延长线上，点在 延 长线上，且，连接， 。求证： （1） ； 举一反三 17 证明： 四边形 是矩形， ， ， 。 在和 中， 。 举一反三 18 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：有。∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA= AC，OB= BD， ∴ OA=OB。 ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴ △ AOB是等边三角形， ∴ OA=AB =2.5， ∴ AC=2OA=5。 A B C D O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 探究新知 （2） 。 [答案] ， 。 又 ， ，即 。 返回 举一反三 20 知识点2 矩形对角线的性质 4.如图，在矩形中，对角线与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 21 5.如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边 的中 点，点在对角线上，且，连接。若，则 _ _。 返回 举一反三 22 6.［教材例1变式］ 如图，在矩形中，与相交于点 。 若， ，求矩形 的面积。 举一反三 23 解： 四边形 为矩形， ，， 。 ， 。 在中， ， 。 。 矩形的面积是 。 返回 举一反三 24 知识点3 直角三角形斜边上的中线性质 （第7题） 7. 一技术人员用刻度尺测量 某三角形部件的尺寸。如图，已知 ，点为边的中点，点 ， 对应的刻度数分别为1，7，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 25 （第8题） 8.如图，在中，是的中点， ， ，则 的长是( ) A A.3 B.6 C. D. 返回 举一反三 26 9.[淮安中考] 如图，在中，对角线，交于点， ， 点，分别为，的中点，连接，，若，则 ___。 4 返回 举一反三 27 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形的 特殊性质 角：矩形的四个角都是直角 对角线：矩形的对角线相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $