第一章 勾股定理 复习同步练习题 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本勾股定理单元复习同步练分层设置基础、中档、拔高题，覆盖从概念理解到综合应用再到规律探究的巩固路径，培养抽象能力、空间观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理概念、基本计算|直接考查定义（如第1题边长扩大）、基础运算（如第11题边长计算）| |中档|实际应用、网格几何|结合生活情境（如第14题梯子下滑）、网格角度推理（如第9题）| |拔高|动态几何、规律探究|渗透数学建模（如第10题圆柱最短路径）、规律探究（如第21题勾股数）|

第一章勾股定理复习练习题 一、选择题： 1.将直角三角形的三边长扩大为原来的倍，得到的新三角形是(    ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 任意三角形 D. 直角三角形 2.如图，正方形网格中是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在小正方形组成的网格中，有，，，四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是    ． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是(    ) A. 勾股定理 B. 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀中下列各组数中，是“勾股数”的是(    ) A. B. C. D. 6.如图所示是北京国际数学家大会会标的主要图案，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成如图所示的图形，则图中大正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 7.若要将一块不能弯曲的正方形厚度忽略不计搬进室内，需要通过一扇如图所示的高为，宽为的门，以下边长的木块中哪块可以通过此门(    ) A. B. C. D. 以上答案都不对 8.（中档题）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是(    ) A. B. C. D. 9.（中档题）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 10.（拔高题）图是一个底面圆周长为、高为的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为。 A. B. C. D. 二、填空题： 11.在中，，，，分别是，，所对的边． 若，，则          ； 若，，则          ； 若，，则          ． 12.勾股定理最早出现在周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，若此类勾股数的勾为，则其弦是          ． 13.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走          的路程． 14.（中档题）一架长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将滑出          ． 15.（拔高题）青朱出入图是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法．如图，四边形、四边形、四边形均为正方形．若正方形、正方形的面积分别为，，则          ． 三、解答题： 16.如图，在中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． 试说明为直角； 记的面积为，的面积为，则的值为          ． 17.（易错题）如图，有一张四边形纸片，测得，，，． 求，两点之间的距离； 求这张纸片的面积． 18.如图，等腰三角形的底边，底边上的高，求腰的长度． 19.（中档题）如图，在离水面高度为的岸上处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为，船向岸边移动了多少米？ 20.（中档题）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态。 根据题意，          ，          ，           根据中求得的数据，求秋千的长度。 21.（拔高题）我们在课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”王老师给出一组数让学生观察：，，；，，；，，；，，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断，于是王老师提出以下问题让学生解决． 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：，          ，          ． 若第一个数用字母为奇数，且表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为          ． 用所学知识说明中用字母表示的三个数是勾股数． 答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.【小题】 【小题】 【小题】 12.  13.  14.  15.  16.【小题】 解：因为，所以． 因为，，所以． 因为，，， 所以，所以是直角三角形，且为直角． 【小题】 17.【小题】 【小题】 18.解：由题意，知，，，  在中，，，．  19.解：在中， 因为，，，所以． 因为，所以，所以， 所以船向岸边移动了．  20.【小题】 【小题】 解：因为，所以。 设秋千的长度为， 则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即秋千的长度是。 21.【小题】 【小题】 【小题】 解：，， ． 又为奇数，且， ，，都是正整数． ，，是勾股数．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $