第一章勾股定理同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理同步练习，通过基础选择、中档填空、综合解答三级分层，实现从单一计算到综合应用的知识进阶，培养数学抽象、推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理基本计算、简单应用|10道单选聚焦直角边与斜边计算（如第5题）、生活情境应用（如第6题梯子问题）| |中档|几何变换与综合计算|6道填空结合折叠（第12题）、动态问题（第15题），强化空间观念与运算能力| |综合|证明探究与实际建模|5道解答题涵盖赵爽弦图证明（第18题）、运动轨迹问题（第20题），发展推理与模型意识|

第一章勾股定理同步练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 2．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（    ） A． B．2 C． D． 3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，永折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺） （   ） A．3 B． C． D． 4．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（    ） A．5 B．25 C．7 D．15 5．一个直角三角形的一条直角边长12，斜边长13，则另外一条直角边长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 7．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 8．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 9．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 10．利用下列图形，能验证勾股定理的有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题） 11．已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 12．如图，在 中， ， 点 分别在边 上，连接 ， 将 沿 折叠，点 的对应点 刚好落在 边上.图中与线段 相等的线段是______；若 ， 则 的长为___. 13．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则______． 14．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方为______. 15．如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是 ． 16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图所示的图形验证了勾股定理．分别以直角三角形 的三条边为边向外作正方形 、正方形 和正方形 ，连结 ， 交于点 ,过点 作 于点 ，交 于点 ．设正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，长方形 的面积为 ，长方形 的面积为 ，下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论是____．（填序号） 三、解答题（本大题共5小题） 17．（1）如图1，在等边中，点D（不与点B，C重合）为边上的一点，以线段为边向右侧作等边，连接． ①观察猜测与有怎样的位置关系________； ②证明上面得出的结论； （2）如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，以线段为直角边向右侧作等腰直角三角形，连接．请探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值． 18．若正整数，，（）满足，则称，，为一组勾股数． （1）观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数： ①，，；②5，______，______；③，，；④，，；⑤，，； （2）毕达哥拉斯学派曾提出，，（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的，，是一组勾股数； （3）直角三角形三条边长，，（）是勾股数，且周长的值是面积值的倍（为正整数），求的值和这个三角形的三边长度． 19．阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 20．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答： （1）边的长为______． （2）当时，求的面积． （3）当时，求的长． （4）当时，求的值． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C C C C B B B D 11． 12． 3 13．/ 14．16或34 15．或或 16．过点 作 ,交 的延长线于点 ,过点 作 ,交 的延长线于点 ．因为四边形 和四边形 为正方形，所以 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以易得 ，所以 ，故①正确．因为 ,所以 ,所以 ,所以 ．连结 ,所以 ．因为 ,所以 ,所以 ,所以 ．又因为 ,所以 ,所以 ,同理易得 ．因为 ， ，所以 ，故②不正确．因为 ， ， ， ，所以 ，所以 ，故③正确．因为 , ,所以 ，所以 ，所以 ，故④正确．故答案为①③④． 17．（1）解：①； ②∵，均为等边三角形， ∴，，， ，即， 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，，， 由（1）同理可得，， ，， ， ， 在中，，又， ， ； （3）解：过点作交于点，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（1）解：由题意可得：这组勾股数是，， （2）解：∵，， ∴，， ∴，，是一组勾股数； （3）解：由题意可知得：三角形的周长为：，三角形的面积为：， ∴，整理得， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 把代入可得： ， 把代入可得： ， 整理得：， ∵是正整数，是正整数， ①当时，则， ∴， ， 把代入可得： ， 因式分解可得：， ∵和都为整数，且， ∴当时，， 解得：，，； 当时，， 解得：，，； ②当时，则， ∴， 同理可得：， ∵和都为整数，且， ∴当时，， 解得：，，； ③当时，则， ∴， 同理可得：， 两整数相乘不可能等于，故此情况不符合题意； 综上：当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，． 19．（1）解：如图①，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图②，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图③，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I， 中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得， ∴；   故图①②③中面积关系满足的有3个． （2）解：，理由如下： 如图④，    ， ． ∵由勾股定理得， ∴， ∵， ∴． 20．（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴边的长为； （2）解：∵，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是，，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为（单位：）， ∴点从点到点的运动时间为：， 点从点到点的运动时间为：， ∴， 当时，，， ∴，此时点在线段上，如图， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图，设运动时间为时，， ∴， ∵，，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 此时点在线段上， ∴， ∴； （4）解：如图，设运动时间为时，，连接， 此时点在线段上， ∴，， ∵，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即， ∴， 解得：． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $