1.3.2 空间向量运算的坐标表示课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，通过复习空间点与向量的坐标概念，类比平面向量运算引导学生自主探究空间向量的加减、数乘及数量积坐标表示，搭建起从二维到三维的知识迁移支架。 其亮点在于采用对比表格明晰平面与空间向量运算联系，通过自主证明数量积公式培养逻辑推理，结合正方体中垂直证明、距离计算等典例落实数学运算核心素养。课堂小结“三部曲”结构化解题思路，助力学生形成系统方法，也为教师提供高效教学资源。

讲课人： 日期： 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解空间向量运算的坐标表示，掌握空间两点间的距离公式. 逻辑推理 2.掌握用空间向量坐标运算解决立体几何中夹角、长度问题. 数学运算 复习回顾 A(x,y,z) O x y z k i j 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 探索新知 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设 设 思考：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 对应坐标相加 对应坐标乘积的和 对应坐标相减 每个坐标乘 λ 探索新知 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示 因为 所以 所以 探索新知 类似地，我们有： 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 平面向量的坐标表示 空间向量的坐标表示 探索新知 当 时， 类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到： 探索新知 思考：如何利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式？ 如图，建立空间直角坐标系 设 是空间中任意两点，则 于是 所以 x y z O i j k P2 P1 空间向量的坐标=终点坐标-起点坐标 两点间的距离公式 小试牛刀 空间向量的坐标运算 （1）已知＝(-1，1，1)，＝(2，1，1)，则 (2＋3)·()＝________； （2）若2－＝(2，-4，3)，＋2＝(1，3，-1)，则cos〈，〉＝________． （1）易得2＋3＝(4，5，5)，－＝(－3，0，0)， 则(2＋3)·(－)＝4×(－3)＋5×0＋5×0＝－12. （2）设＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)， 同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1， 即＝(1，-1，1)，＝(0，2，-1)， ·＝0 - 2 - 1＝ -3， 典例分析 典例分析 思考：你能从例题的解答中体会到求解问题的基本思路吗？ ③对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直;根据 或 (x1,y1,z1都不为0)是否成立判断两向量是否平行. ②向量关系代数化:写出向量的坐标; 判断空间向量垂直或平行的步骤: ①向量化:将空间中的垂直或平行转化为向量的垂直或平行; 典例分析 例3:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1F1分别在棱A1B1,C1D1上， (1)求AM的长 (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则则点A的坐标为(1,0,0),点M的坐标为 于是 探索新知 探索新知 不一定，它们的取值范围不同 思考：例题中，把两条直线的夹角的余弦值转化为两个方向向量所成角的余弦值，那这 课堂小结 1.空间向量运算的坐标表示 加减、数乘、数量积 计算问题 位置关系 2.空间向量坐标运算的应用 垂直 平行 夹角 长度 3.用坐标法解决立体几何问题的“三部曲” 回到图形问题 化为向量问题 进行向量运算 课堂检测 A．(1，－6,3)　　 B．(－1,6，－3) C．(5,4，－3)　　 D．(2,5，－3) C 课堂检测 2. 已知向量＝(1，0，1)，＝(2，0，-2)， (k＋)·()＝2，则k的值等于(　　) 答案:D　 课堂检测 168 课堂检测 4. 课堂检测 A B C D A1 B1 C1 D1 M z y x 课后作业 课本第22页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 1、在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(3，-1,0)，向量＝(4,10，-6)，则线段AB的中点坐标为(　　) A.1 B. C. D. 解析:由已知得|a|=,|b|=2,a·b=0, 所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=. $