1.3.2 空间向量运算的坐标表示-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过“基础巩固-综合提升-探索创新”三层设计，实现空间向量从概念理解到综合应用再到探究创新的递进，适配新授课知识内化与能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|向量数量积、投影向量、坐标运算等单一知识点|选择填空为主，如向量数量积计算（题1），强化概念理解与基本运算能力| |关键能力·综合提升|空间向量与几何图形结合（长方体、正三棱柱）|解答题为主，如正三棱柱中向量垂直与异面直线夹角（题12），培养空间观念与推理能力| |核心价值·探索创新|动态几何情境中的向量应用|探究性问题，如长方体中动点E的线线角与垂直关系（题13），发展创新意识与模型观念|

[必备知识·基础巩固] 1．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(b＋c)＝(　　) A．6　　　 B．7　　　　 C．9　　　 D．13 解析　∵a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)， ∴b＋c＝(2，0，5)， ∴a·(b＋c)＝2×2＋(－3)×0＋1×5＝9. 答案　C 2．已知a＝(2，1，3)，b＝(0，3，3)，则a在b上的投影向量为(　　) A．(0，2，2) B．(0，－2，2) C．(2，0，2) D．(2，2，0) 解析　由投影向量的公式，a在b上的投影向量为b＝＝. 故选A. 答案　A 3．在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，若D(0，0，0)， A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线||的长为(　　) A．9 B． C．5 D．2 解析　由已知，可得C1(0，2，3)，所以||＝＝. 答案　B 4．(多选)已知空间向量a＝，b＝，则(　　) A．2a＋b＝ B．a与b平行 C．⊥ D．a·b＝4 解析　对于A，2a＋b＝＝，故A正确； 对于B，若a∥b，则存在实数λ，使a＝λb，则方程组无解，从而a与b不平行，故B错误； 对于C，2a＋b＝，2a－b＝，则·＝0，又2a＋b，2a－b均不是零向量，则⊥，故C正确； 对于D，a·b＝1×2－1×2＋1×2＝2，故D错误． 故选AC. 答案　AC 5．已知a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________． 解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝， ∴cos 120°＝＝－，∴k＜0， 解得k＝－. 答案　－ 6．如果A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)三点共线，那么a－b＝________． 解析　∵A，B，C三点共线，∴＝λ， 即(1，－1，3)＝λ(a－1，－2，b＋4) ＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4)). ∴解得∴a－b＝1. 答案　1 7．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为________． 解析　∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)， ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos 〈，〉＝＝， 又〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝. 即与的夹角为. 答案　 8．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c. (1)求|a＋b|； (2)求向量a＋b与2a＋b－c夹角的大小． 解析　(1)由x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，可得x＋y＋1＝0，＝＝，解得x＝1，y＝－2，则a＝(1，1，1)，b＝(1，－2，1)，所以a＋b＝(2，－1，2)，故|a＋b|＝＝3. (2)因为2a＋b－c＝(1，4，1)，所以(a＋b)·(2a＋b－c)＝2×1＋(－1)×4＋2×1＝0，故向量a＋b与2a＋b－c的夹角为. [关键能力·综合提升] 9．已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A．(3，0，4) B．(3，0，4) C．(2，－2，1) D．(2，－2，1) 解析　∵a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，∴|a||b|·cos 〈a，b〉＝a·b＝2×3＋(－2)×0＋1×4＝10，|a|＝＝3，∴向量b在向量a上的投影向量是|b|cos 〈a，b〉·＝·a＝(2，－2，1).故选C. 答案　C 10．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，＝，则线段OM的长为(　　) A．3 B． C．2 D． 解析　由题意可建立以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以||＝ ＝，即线段OM的长为，故选B. 答案　B 11．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标是________． 解析　由已知，＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，由得解得∴P(－1，0，2). 答案　(－1，0，2) 12．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点．＝λ，且PC⊥AB.求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值． 解析　(1)设正三棱柱的棱长为2，以AC的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，C1(0，1，2)，于是＝，＝(0，－2，2)，＝. 因为PC⊥AB，所以·＝0， 即(＋)·＝0， 亦即(＋λ)·＝0. 故λ＝－＝. (2)由(1)知P，所以＝，＝(0，2，2)，所以＝＝2，||＝＝2. 所以cos 〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是. [核心价值·探索创新] 13．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小为________，若D1E⊥EC，则AE＝________． 解析　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． 则D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)， 设E(1，m，0)，0≤m≤2， 则＝(1，m，－1)，＝(－1，0，－1)， ∴·＝－1＋0＋1＝0， ∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°. ∵＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC， ∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0， 解得m＝1，∴AE＝1. 答案　90°　1 学科网（北京）股份有限公司 $