第1章 05-1.3.1 空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量及其运算的坐标表示，涵盖空间直角坐标系建立与向量坐标运算，通过类比平面向量对称问题等实例，搭建从平面到空间的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于题组分类系统，结合多地月考真题，注重数学思维与数学语言，如通过正方体中向量坐标证明线线垂直，培养学生运算能力与模型观念。学生能巩固基础提升解题能力，教师可直接用于分层教学提高效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间直角坐标系 1.[2026广东东莞实验中学月考]在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标为      ( ) A.(-1,-2,3)　    B.(1,-2,3) C.(-1,2,3)　    D.(1,2,-3)     D     解析　在空间直角坐标系中,若两点关于坐标平面Oxy对称,则这两点的横坐标、纵坐标都不变,竖坐标 互为相反数,故点P(1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2,-3). 规律总结　可类比平面直角坐标系中点的对称问题,常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相 反”得出结论. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026福建厦门大学附属科技中学月考]空间一点P在Oxy平面上的射影为M(2,4,0),在Ozx平面上的射 影为N(2,0,7),则点P关于x轴对称的点的坐标为_________________.     (2,-4,-7)     解析　由题意可得点M与点P的横、纵坐标相同,点N与点P的横、竖坐标相同,则点P的坐标为(2,4,7), 所以点P关于x轴对称的点的坐标为(2,-4,-7). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025北京育才学校月考]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系,若 的坐标 为(4,3,2),则 的坐标为________________.       (-4,3,2)     解析　因为 的坐标为(4,3,2),所以A(4,0,0),C1(0,3,2),所以 =(-4,3,2). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编]在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中 点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则线段MN的中点坐标为_________.   解析　由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 所以M(0,1,1),N(1,1,0), 则线段MN的中点坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量运算的坐标表示 5.[2026河北保定部分高中联考]已知向量a=(-1,2,-3),b=(2,1,2),则向量a在向量b上的投影向量的坐标是  ( ) A.(-4,-2,-4)　    B.(2,-4,6)　     C. 　    D.      D     解析　因为a=(-1,2,-3),b=(2,1,2),所以a·b=-2+2-6=-6,|b|= =3, 则向量a在向量b上的投影向量为 ·b=- b,其坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026吉林长春市实验中学月考]若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫做向量p在 基底{a,b,c}下的坐标.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{c,a+b,a-b}是空间的另一个基底,向量p在基底 {a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{c,a+b,a-b}下的坐标为 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设向量p在基底{c,a+b,a-b}下的坐标为(x,y,z),则p=xc+y(a+b)+z(a-b)=(y+z)a+(y-z)b+xc, 因为向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),所以p=a+2b+3c, 则 ⇒ 故向量p在基底{c,a+b,a-b}下的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026山西晋中部分学校月考]在空间直角坐标系中,A(1,-2,3),B(0,2,4),若点M在线段AB上,且AM=2MB, 则点M的坐标为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由A(1,-2,3),B(0,2,4),得 =(-1,4,1).设M(x,y,z),由AM=2MB,得 =  ,即(x-1,y+2,z-3)= (-1,4,1), 则 解得  即M . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026北京陈经纶中学月考]在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(x,y,-2)在平 面ABC内,写出一个符合题意的点P的坐标:_______________________.     (2,1,-2)(答案不唯一)     解析　因为点P(x,y,-2)在平面ABC内,所以A,B,C,P四点共面,则 =m +n ,m,n∈R, 所以(x-1,y,-2)=m(-1,1,0)+n(-1,0,1),所以 则x+y-3=0,不妨取x=2,y=1,则符合题意的点P的坐标 为(2,1,-2),此答案不唯一. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 9.[2026河南青桐鸣大联考]已知空间向量a=(2,m,1),b=(2,4,n)共线,m,n∈R,则m+n= ( ) A.3　    B.4　    C.5　    D.6     C     解析　由题意知,存在实数λ,使得b=λa,故 故 故m+n=5. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026安徽A10联盟月考]已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-6,λ,μ),c=(1,2,v),其中a∥b,a⊥c,则  ( ) A.|a|= 　    B.λ-μ=12 C.v=1　    D.(a+b)·c=-2 AB     解析　由a=(2,-1,3)得|a|= = ,故A正确; 因为a∥b,a=(2,-1,3),b=(-6,λ,μ),所以 = = ,解得λ=3,μ=-9,所以λ-μ=12,故B正确; 因为a=(2,-1,3),c=(1,2,v),且a⊥c,所以2-2+3v=0,解得v=0,故C错误; 由B可知b=(-6,3,-9),则a+b=(-4,2,-6),又c=(1,2,0),故(a+b)·c=(-4,2,-6)·(1,2,0)=0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2026山东淄博实验中学月考]已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则下列结论正确的是  ( ) A.向量a与向量b的夹角为  B.(a-b)⊥c C.(a+b)∥c D.向量a在向量b上的投影向量为      BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为a·b=1×0+1×1+0×1=1,|a|=|b|= ,所以cos<a,b>= = = , 又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>= ,所以A错误; 对于B,因为a-b=(1,0,-1),所以(a-b)·c=1×1+0×2+(-1)×1=0,故(a-b)⊥c,所以B正确; 对于C,由向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),可知c=a+b,故(a+b)∥c,所以C正确; 对于D,根据投影向量的定义可知,向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos<a,b>· = b= (0,1,1)=  ,所以D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025重庆北碚月考]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在BD上,且BE= BD,点F在CB1上,且CF=  CB1.求证: (1)EF⊥BD; (2)EF⊥CB1.   第1讲　描述运动的基本概念 证明　以D为坐标原点, , , 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3, 则D(0,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),B1(3,3,3),E(2,2,0),F(1,3,1), 则 =(-3,-3,0), =(-1,1,1), =(3,0,3). (1)∵ · =3-3=0,∴ ⊥ ,即EF⊥BD. (2)∵ · =-3+3=0,∴ ⊥ ,即EF⊥CB1. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026河南许昌禹州第三高级中学月考]已知空间中三点A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5). (1)若四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标; (2)若|a|=3,且a∥ ,求向量a的坐标; (3)若点P(2,-1,m)在平面ABC内,求m的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设D(x,y,z), 由四边形ABCD是平行四边形,可得 = , 即(3,-3,-3)=(-1-x,-1-y,5-z), 所以x=-4,y=2,z=8,故点D的坐标为(-4,2,8). (2)易得 =(1,-2,2),因为a∥ ,所以a=λ =(λ,-2λ,2λ),λ∈R, 又|a|=3,所以 =3,解得λ=±1,所以a=(1,-2,2)或a=(-1,2,-2). (3)因为点P(2,-1,m)在平面ABC内,所以存在实数a,b使得 =a +b , 又 =(4,-2,m-3), =(3,-3,-3), =(1,-2,2),故(4,-2,m-3)=a(3,-3,-3)+b(1,-2,2), 所以 解得  故m的值为-7. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的相关问题 14.[2026天津第二耀华中学月考]设x∈R,向量a=(x,1,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,则|a+c|= ( ) A.2 　    B.9　    C.3　    D.3      D     解析　因为a=(x,1,1),c=(2,-4,2),a⊥c,所以a·c=2x-4+2=0,解得x=1. 所以a+c=(3,-3,3),所以|a+c|= =3 . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026河南名校联考]在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,1),B(-1,0,3),C(3,2,1),则直线AB,AC所成角的 余弦值为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     解析　易得 =(-2,0,2), =(2,2,0), 设直线AB,AC所成的角为θ, 则cos θ=|cos< , >|= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026安徽阜阳临泉田家炳实验中学月考]已知a+b=(2, ,2 ),a-b=(0, ,0),则cos<a,b>=( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     解析　记  由①+②,得2a=(2,2 ,2 ),即a=(1, , ), 由①-②,得2b=(2,0,2 ),即b=(1,0, ), 所以cos<a,b>= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026浙江金华段考]已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),则|2a+b|=__________.若O为坐标原点,点A(-3,-1,4),B (-2,-2,2),点E在直线AB上,且 ⊥b,则点E的坐标为______________.     5      第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1), ∴2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= =5 . 若点E在直线AB上,则可设 =t ,t∈R, 则 = +t =(-3+t,-1-t,4-2t), ∵ ⊥b,b=(-2,1,1), ∴ ·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t= ,故点E的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2026黑龙江牡丹江第三高级中学月考]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=2,N是A1A 的中点,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°. (1)求线段BN的长; (2)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据题意可知,CA,CB,CC1两两互相垂直. 以C为坐标原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Cxyz,如图,   由题意得N(1,0,1),B(0,1,0),故BN=| |= = . (2)由(1)得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), 故 =(1,-1,2), =(0,1,2),则 · =0-1+4=3,| |= = ,| |= = , ∴|cos< , >|= = = ,即异面直线BA1与CB1夹角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 能力提升练 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量的坐标运算 1.[创新题·新情境][2025湖北云学联盟部分重点高中联考]现有一段底面周长为12π厘米,高为12厘米的 圆柱形水管,AB是圆柱的一条母线,两只蜗牛分别沿水管壁爬行(水管壁厚度不计),一只从A点沿上底面 圆弧按顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P点,另一只从B点沿下底面圆弧按逆时针方向爬 行π厘米后再向上爬行3厘米到达Q点,则此时线段PQ的长(单位:厘米)为( )   A.6 　    B.6 　    C.6　    D.12     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　分别取上、下底面的圆心O1,O,连接OO1,BO,以O为坐标原点,OO1,BO所在直线分别为z,y轴,在下 底面内过O作OB的垂线,并以其为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,   过Q向下底面作垂线,垂足为Q1,连接OQ1,设圆O的半径为r,则2πr=12π,所以r=6, 因此l =∠BOQ1×6=π,解得∠BOQ1= ,则Q1(3,-3 ,0),Q(3,-3 ,3), 同理,过P向下底面作垂线,垂足为P1,则P1(-3,-3 ,0),P(-3,-3 ,9), 所以| |= =6 ,即此时线段PQ的长为6 厘米. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026辽宁省实验中学月考]在△ABC中,AB=4,BC=AC=2 ,P为空间中一动点,则( + )· 的最小 值是 ( ) A.-2　    B.-2 　    C.-3　    D.-4     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为在△ABC中,AB=4,BC=AC=2 ,所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°. 以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,过C点且垂直于△ABC所在平面的直线为z轴,建立如 图所示的空间直角坐标系,   所以A(2 ,0,0),B(0,2 ,0),C(0,0,0).设P(x,y,z),则 =(2 -x,-y,-z), =(-x,2 -y,-z), =(-x,-y,-z),故(  + )· =(2 -2x,2 -2y,-2z)·(-x,-y,-z)=(2 -2x)·(-x)+(2 -2y)·(-y)+(-2z)·(-z)=2x2-2 x+2y2-2 y+2z2= 2 +2 +2z2-2, 所以当且仅当x= ,y= ,z=0时,( + )· 取得最小值,为-2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南新乡联考]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,动点P满足 =x +y .当x=1时, · = _________;当x,y∈[0,1]时,| - + |的取值范围是______________.     [2,2 ]     0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,   ∴A(0,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),A1(0,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2),B1(2,0,2), ∴ =(-2,0,0), =(0,0,2), =(0,2,-2), =(2,2,0), ∵ =x +y , ∴ =x(-2,0,0)+y(0,0,2)=(-2x,0,2y),∴ = + =(-2x,2,2y-2), 当x=1时, =(-2,2,2y-2), ∴ · =-4+4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 当x,y∈[0,1]时,∵ =(-2x,0,2y),C(2,2,0),∴P(2-2x,2,2y), ∴ =(2-2x,0,2y), =(2-2x,2,2y-2),又 =(2,0,-2), ∴ - + =(2-2x,0,2y)-(2,0,-2)+(2-2x,2,2y-2)=(2-4x,2,4y), ∴| - + |=  ,x,y∈[0,1], 当x= ,y=0时,| - + |取得最小值,最小值为2; 当x=1或x=0,y=1时,| - + |取得最大值,最大值为2 , ∴| - + |∈[2,2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题 4.[2026重庆八中月考]如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,P,M,N分别为棱AA1,AB,A1B1的 中点,Q为线段MN上的动点,则下列说法中不正确的是 ( )   A.直线C1Q与直线CP始终异面 B.直线C1Q与直线CP可能垂直 C.直线C1Q与直线BP可能垂直 D.直线C1Q与直线PQ可能垂直     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, ∵M,N分别为棱AB,A1B1的中点,∴MN∥AA1, ∵MN⊄平面AA1C1C,AA1⊂平面AA1C1C,∴MN∥平面AA1C1C, ∵Q∈MN,C1Q∩平面AA1C1C=C1,CP⊂平面AA1C1C,且C1∉CP,∴直线C1Q与直线CP始终异面,故A中说 法正确; 连接CM,由题知△ABC为等边三角形,又∵M为AB的中点,∴CM⊥AB, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∴MN⊥平面ABC,又CM,AB⊂平面ABC,∴MN⊥CM,MN⊥AB, 如图,以M为坐标原点, , , 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 则B(1,0,0),C(0, ,0),C1(0, ,2),P(-1,0,1),设Q(0,0,h)(0≤h≤2). 对于B,易得 =(0,- ,h-2), =(-1,- ,1), 若C1Q⊥CP,则 · =0,∴3+h-2=0,∴h=-1, ∵0≤h≤2,∴不存在点Q使得直线C1Q与直线CP垂直,故B中说法错误; 对于C,易得 =(-2,0,1),由B知 =(0,- ,h-2), 若C1Q⊥BP,则 · =0,∴h-2=0,∴h=2, 故当点Q位于点N的位置时,直线C1Q与直线BP垂直,故C中说法正确; 对于D,易得 =(1,0,h-1),由B知 =(0,- ,h-2), 若C1Q⊥PQ,则 · =0,∴(h-2)·(h-1)=0,∴h=1或h=2, 故当点Q位于点N的位置或Q为MN的中点时,直线C1Q与直线PQ垂直,故D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026河北廊坊八中月考]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运 动(包括边界),并且总是保持AP⊥BD1,则以下结论正确的是 ( )   A. =  B.点P必在线段B1C上 C.AP⊥BC1 D.AP∥平面A1C1D     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵P在侧面BCC1B1上运动(包括边界),平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距离即为C 到平面AA1D1D的距离,此距离等于正方体的棱长,∴ =  ·CD= × ×1×1×1= ,故A中结论错误. 以D为坐标原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),设P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),∴ =(x-1,1,z), =(-1,-1,1),  =(-1,0,-1). ∵AP⊥BD1,∴ · =1-x-1+z=0,∴x=z,∴P(x,1,x),∴ =(x,0,x), ∴ =-x ,即B1,P,C三点共线,又0≤x≤1,∴P必在线段B1C上,故B中结论正确. 易知C1(0,1,1),∴ =(-1,0,1),又 =(x-1,1,x),∴ · =1-x+x=1≠0,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误. 易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴ =(-1,1,0), =(1,0,1),又 =(x-1,1,x),∴ =x +  (其中0≤x≤1),∴  , , 共面,又AP⊄平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山西大学附属中学月考]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1=2AB=2BC=2,动点P满足 =λ (0<λ <1),当AP与CP垂直时,λ的值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,以D为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标 系Dxyz,如图所示,   则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),可得 =(1,1,-2),则 =λ =(λ,λ,-2λ), 所以 = + =(λ-1,λ,-2λ+2), = + =(λ,λ-1,-2λ+2), 由AP⊥CP,可得 · =0,即2λ(λ-1)+4(λ-1)2=0,解得λ= 或λ=1, 因为0<λ<1,所以实数λ的值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用空间向量的坐标运算解决夹角和模的问题 7.[2026吉林长春外国语学校月考]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点P满足| |=1,点Q满足 =λ  +(1-λ) ,则| - |的最小值为 ( ) A. -1　    B.2　    C.4　    D. +1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),A1(0,0,4), 因为| |=1,所以点P在以B为球心,1为半径的球面上. 由 =λ +(1-λ) =λ(4,4,0)+(1-λ)(0,0,4)=(4λ,4λ,4-4λ), 可得点Q的坐标为(4λ,4λ,4-4λ). 易得| - |=| |, 由球的性质可知| |的最小值为 -1, 第1讲　描述运动的基本概念 又| |=| + | =  =4 =4 , 故当λ= 时,| |取得最小值,为4× = ,所以| |的最小值为 -1,即| - |的最小值为 -1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏无锡江阴南菁高级中学月考]在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1= , =2 ,M为棱B1C1 上的动点,N为线段AM上的动点,且 = ,则线段MN长度的最小值为( ) A.2　    B. 　    C. 　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由 =2 ,知O为BC的中点,取B1C1的中点Q,连接OQ,OA,易知OC,OA,OQ两两互相垂直. 以O为原点,OC,OA,OQ所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,   则O(0,0,0),A(0, ,0), 由题可设M(a,0, ),且a∈[-1,1],则 =(-a, ,- ), =(a,0, ), 因为 = ,所以MN= = = , 令t= ,则t∈[ , ], = =t- , 第1讲　描述运动的基本概念 因为函数y=t- 在[ , ]上单调递增, 所以当t= 时, = - = ,即线段MN长度的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南南阳四校联考]已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,其内部或表面上存在一点P满足 ·  = · =0,则∠ABP的取值范围为 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　第一步:建系,确定点P的坐标满足的条件. 依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),   设P(x,y,z),x,y,z∈[0,2],AB的中点为O1,AA1的中点为O2,则O1(2,1,0),O2(2,0,1),连接O1P,O2P,由 · =0得 AP⊥BP,则PO1= AB=1,即(x-2)2+(y-1)2+z2=1①, 同理由 · =0,可得PO2=1, 即(x-2)2+y2+(z-1)2=1②, 联立①②,整理得 第1讲　描述运动的基本概念   故有y=z,则x2+2y2-4x-2y+4=0. 第二步:计算向量夹角的余弦值. 易得 =(x-2,y-2,z), =(0,-2,0),  =(x-2)2+(y-2)2+z2=x2+2y2-4x-4y+8=-2y+4, 故cos< , >= = = = · , 第三步:结合参数的范围得到余弦值的范围,从而得到角的范围. 由②可得y∈[0,1], 故cos< , >= · ∈ ,故∠ABP∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026北京八一学校月考]已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,1,4),O为坐标原点. (1)求线段AB的中点的坐标和线段AB的长度; (2)求直线AB和直线AC夹角的余弦值; (3)若点P在直线AC上,且BP⊥AC,求点P的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为A(0,2,3),B(-2,1,6),所以线段AB的中点的坐标为 ,且 =(-2,-1,3), 所以| |= = , 所以线段AB的长度为 . (2)因为A(0,2,3),C(1,1,4),所以 =(1,-1,1),又 =(-2,-1,3), 所以|cos< , >| =  = = , 所以直线AB和直线AC夹角的余弦值为 . (3)因为点P在直线AC上, =(1,-1,1), 第1讲　描述运动的基本概念 所以可设 =λ =λ(1,-1,1)=(λ,-λ,λ),λ∈R,则 = + =(0,2,3)+(λ,-λ,λ)=(λ,2-λ,3+λ), 故 = - =(λ,2-λ,3+λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-λ,λ-3), 因为BP⊥AC,所以 ⊥ , 所以 · =1×(λ+2)+(-1)×(1-λ)+1×(λ-3)=λ+2+λ-1+λ-3=3λ-2=0, 解得λ= ,故 = , 所以点P的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　向量与函数的交汇 创新题型 11.[2026山东济宁第一中学月考]设全体空间向量组成的集合为V,a=(a1,a2,a3)为V中的一个单位向量,建 立一个“自变量”为向量,“因变量”也是向量的“向量函数”f(x):f(x)=-x+2(x·a)a(x∈V). (1)设u=(1,0,0),v=(0,0,1),若f(u)=v,求向量a; (2)对于V中的任意两个向量x,y,证明:f(x)·f(y)=x·y; (3)对于V中的任意单位向量x,求|f(x)-x|的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意得 f(u)=-u+2(u·a)a=v, 即-(1,0,0)+2(1×a1+0×a2+0×a3)(a1,a2,a3)=(0,0,1),即(-1,0,0)+2a1·(a1,a2,a3)=(0,0,1),即  解得 或  ∴a= 或a= . (2)证明: f(x)·f(y)=[-x+2(x·a)a]·[-y+2(y·a)a]=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)a2=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)= x·y,故得证. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)设x与a的夹角为α,则x·a=|x||a|cos α=cos α,则|f(x)-x|=|-2x+2(x·a)a|= = ,∵0≤ cos2α≤1,∴0≤|f(x)-x|≤2,∴|f(x)-x|的最大值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 $