1.2.2 菱形的判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，核心知识点包括一组邻边相等的平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形、四条边相等的四边形是菱形。课堂从菱形定义切入，通过问题链引导学生探究逆命题，结合平行四边形性质构建“定义—定理—应用”的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于采用分层习题设计（基础选择填空到综合证明题），融入尺规作图和中考真题，以探究式学习培养数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）。通过动手操作和问题驱动，帮助学生发展几何直观与创新意识，教师可利用分层设计实现因材施教，提升教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 1.2.2菱形的判定 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学菱形的判定专项练习题 核心判定知识点梳理：1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3. 四条边对应相等的四边形是菱形。本套习题分层考查基础判定、定理应用、几何证明与综合计算，适配课堂巩固、课后培优训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，能直接判定四边形为菱形的是（） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 四条边相等 D. 一组对边平行且相等 2. 已知平行四边形ABCD，添加下列条件，能判定其为菱形的是（） A. AC=BD B. ∠ABC=90° C. AB=BC D. AB⊥BC 3. 用直尺和圆规作菱形时，若作出的四边形四条边长度相等，其判定依据是（） A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 对角线垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线平分对角的四边形是菱形 4. 下列说法正确的是（） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 菱形的对角线相等且垂直 5. 平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，下列条件能判定为菱形的是（） A. AO=BO B. AC⊥BD C. AB=CD D. ∠BAD=∠BCD 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 对角线互相垂直且________的四边形是菱形。 2. 在平行四边形中，只要保证一组________相等，即可判定为菱形。 3. 四边形ABCD中，AB=BC=CD=5，若要判定为菱形，则AD=________。 4. 平行四边形ABCD对角线交于O，若AC⊥BD，且AC=6，BD=8，则四边形ABCD是________。 5. 已知四边形是平行四边形，且一条对角线平分一组内角，该四边形一定是________。 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，求证：四边形ABCD是菱形。 2. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形。 3. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，对角线AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形。 四、综合提升题（每题15分，共30分） 1. 如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，且BE=DF，EF⊥AC，求证：四边形AECF是菱形。 2. 菱形ABCD中，点P、Q分别在CD、BC边上，满足CP=CQ，求证：四边形APQD的邻边相等，并判定相关菱形结构；若∠BAC∶∠ACE=2∶7，求菱形内角∠B的度数。 参考答案与解析 一、选择题：1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 解析：1.四边相等是菱形直接判定定理；2.平行四边形邻边相等即为菱形，其余条件判定矩形；3.四边相等的四边形直接判定菱形；4.对角线垂直平分可证四边相等，判定菱形；5.对角线垂直的平行四边形是菱形。 二、填空题：1.互相平分 2.邻边 3.5 4.菱形 5.菱形 解析：1.垂直且平分对角线，可证四边相等；3.四边相等的四边形为菱形，故AD=5；5.平行四边形对角线平分内角，可推出邻边相等，即为菱形。 三、基础解答题 1. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD，四边相等，故为菱形。 2. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又AC⊥BD，∴BD垂直平分AC，∴AB=BC，平行四边形邻边相等，即为菱形。 3. 证明：∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，又AC⊥BD，对角线互相垂直平分，四边相等，故四边形为菱形。 四、综合提升题 1. 证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BE=DF，∴AF=EC，AF∥EC，四边形AECF是平行四边形，又EF⊥AC，对角线垂直的平行四边形是菱形，故AECF为菱形。 2. 解：菱形ABCD中，AB∥CD，AB=BC，∠BAC=∠BCA。设∠BAC=2x，∠ACE=7x，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCE=180°，∠BCE=∠BCA+∠ACE=9x，又△ABC中∠B=180°-4x，故180°-4x+9x=180°，解得x=18°，∠B=108°。由CP=CQ、菱形边长相等，可证邻边相等，判定对应四边形为菱形。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 1.探索并证明菱形的判定定理. 2.会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算. 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想. 学习目标 2 根据菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形的判定： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形。 除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形? A D C B 探究新知 3 知识点 菱形的判定 问题1 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形?为什么？ 一定是，因为四边相等意味着两组对边分别相等、邻边相等， 可先判定该四边形为平行四边形，然后根据菱形的定义判定该四边形为菱形. 你能证明一下吗？ 探究新知 已知:如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. A D C B 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB = CD，AD = BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). ∵ AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 知识点 菱形的判定 探究新知 菱形的对角线互相垂直. 逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形. 这个逆命题成立. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 你能说明其中的道理吗？ 知识点 菱形的判定 探究新知 因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分， 可得对角线互相垂直平分， 进而得到一组邻边相等， 根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 知识点 菱形的判定 探究新知 已知:如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD. 求证:□ ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC， ∴□ ABCD是菱形(菱形的定义). 知识点 菱形的判定 探究新知 知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.[西安模拟] 下列条件中，能判定 为菱形的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.如图，在平行四边形中，， ， 将线段水平向右平移个单位长度得到线段 ， 若四边形为菱形，则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 10 3.[漳州模拟] 如图，在中，，求证： 是菱形。 证明：在中， ， ， 又， ， , 是菱形。 返回 举一反三 11 定理：四边相等的四边形是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 知识点 菱形的判定 探究新知 判定方法 图示 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形 是菱形. ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形. B A D C 知识点 菱形的判定 探究新知 四条边都 . 对角线互相 . 有一组邻边 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 知识点 菱形的判定 探究新知 问题1 (1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a. (1) 如图，作线段AC=a，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接AB，BC，CD，DA. 四边形 ABCD即为所求作的菱形. B D a A C 知识点 菱形的判定 探究新知 问题1 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗?如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的? (2)不唯一， 给出菱形的边长且菱形的边长大于对角线AC的长度的一半即可作出唯一的菱形. B D A C a 知识点 菱形的判定 探究新知 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. 例1 A B C D O 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 知识点 菱形的判定 探究新知 知识点2 四边相等的四边形是菱形 4.如图，是等腰三角形，把它沿底边 所在直线翻折后，得到 ,则四边形 为____形，理由是________________________。 菱 四边相等的四边形是菱形 返回 举一反三 18 5.如图，在中，,,,分别是, , 边的中点，求证：四边形 是菱形。 证明：，，分别是,, 的中点， ，,, 。 , 。 四边形 是菱形。 返回 举一反三 19 知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （第6题） 6.[湖南中考] 如图，在四边形 中，对角线 与互相垂直平分， ，则四边形 的周长为( ) C A.6 B.9 C.12 D.18 返回 举一反三 20 7. 如图，在四边形中，，于点 。 请添加一个条件：_______________________，使四边形 成为菱形。 （答案不唯一） （第7题） 返回 举一反三 21 8.如图，已知四边形 是平行四边形，其对角 线相交于点，,, 。 （1） 是直角三角形吗？请说明理由。 解： 是直角三角形，理由如下： 四边形 是平行四边形， 。 ， 是直角三角形。 举一反三 22 （2）求证：四边形 是菱形。 解：证明：由（1）知是直角三角形， ，即 ， 又 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形。 返回 举一反三 23 9.[太原期末] 在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为 的菱 形画框。完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量 结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 24 （第10题） 10.[内江中考] 如图，按如下步骤作四边形 （1）画；（2）以点 为圆心，1 个单位长为半径画弧，分别交，于点 ， ；（3）分别以点和点 为圆心，1个单位长 为半径画弧，两弧交于点；（4）连接 ， D A. B. C. D. ，。若 ，则 的度数是 ( ) 返回 举一反三 25 11. 如图,直线与轴，轴分别交于点, ,点 在轴上，为平面内一点，要使四边形是菱形，则点 的坐标 为____________________。 或 （第11题） 返回 举一反三 26 菱形的判定 定义法 定理 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 边：四边相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $