1.2.2菱形的判定-课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦菱形的三种判定方法，通过“菱形性质逆推判定”问题链导入，如“四条边相等的四边形是否为菱形”“对角线垂直的平行四边形是否为菱形”，连接性质与判定知识脉络，以证明过程、表格对比为学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过性质逆命题转化培养推理意识，用符号语言和表格梳理判定方法强化数学语言表达。实例如“已知四边相等求证菱形”的推理过程及符号语言表述，结合分层练习。助力学生发展推理能力和规范表达，为教师提供系统教学资源与分层设计参考。

北师大版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 1.2.2菱形的判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级上册1.2.2 菱形的判定 练习题 1.2.2 菱形的判定 同步练习题 知识点核心：菱形常用三种判定方法。1. 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；2. 边判定：四条边都相等的四边形是菱形；3. 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。解题需注意判定前提，区分“普通四边形”和“平行四边形”的判定条件。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列条件中，能判定四边形为菱形的是（） A. 对角线互相平分的四边形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形 2. 平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定它是菱形的是（） A. ∠A=90° B. AB=BC C. AC=BD D. AB⊥BC 3. 四条边长度依次相等的四边形是（） A. 一定是菱形 B. 一定是矩形 C. 一定是正方形 D. 只是普通平行四边形 4. 已知四边形ABCD的对角线互相平分，若要使它成为菱形，只需添加条件（） A. AC⊥BD B. AC=BD C. AB=CD D. ∠ABC=90° 5. 下列说法正确的是（） A. 有两边相等的平行四边形是菱形 B. 两条对角线垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形 6. 在平行四边形中，下列性质能证明其为菱形的是（） A. 对边平行 B. 邻边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一组______相等的平行四边形是菱形。 2. 对角线互相______的平行四边形是菱形。 3. 四条边都______的四边形是菱形。 4. 平行四边形ABCD中，AB=5，若该平行四边形为菱形，则BC=______。 5. 四边形对角线互相平分且垂直，则该四边形是______。 三、解答证明与计算题（共56分） 1. （12分）已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：四边形ABCD是菱形。 2. （14分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD。求证：平行四边形ABCD是菱形。 3. （14分）已知：平行四边形ABCD中，AB=BC。求证：平行四边形ABCD是菱形。 4. （16分）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD。求证：四边形ABCD是菱形。 四、拓展应用题（附加10分） 已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD。求证：四边形ABCD是菱形，并说明理由。 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 二、填空题 1.邻边 2.垂直 3.相等 4.5 5.菱形 三、解答题详细解析 1. 证明：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD两组对边分别相等，可判定为平行四边形。又∵平行四边形四条边相等，满足菱形判定定理，∴四边形ABCD是菱形。 2. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC⊥BD，根据菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得平行四边形ABCD是菱形。 3. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC。又∵AB=BC，∴AB=BC=CD=AD，平行四边形邻边相等，根据菱形定义，该四边形为菱形。 4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA。∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴AD=CD。一组邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形ABCD是菱形。 拓展应用题答案 证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵对角线AC⊥BD，根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此四边形ABCD是菱形。 课时知识点总结 本节课重点掌握菱形三种判定方法，做题优先判断四边形是否为平行四边形。若是平行四边形，只需证明邻边相等或对角线垂直即可判定菱形；若是普通四边形，需证明四条边全部相等。解题核心是区分判定前提，避免忽略“平行四边形”前提直接用对角线垂直判定菱形，规避常见易错点。 根据菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 矩形的判定： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形。 除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形? A D C B 2 知识点 菱形的判定 问题1 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形?为什么？ 一定是，因为四边相等意味着两组对边分别相等、邻边相等， 可先判定该四边形为平行四边形，然后根据菱形的定义判定该四边形为菱形. 你能证明一下吗？ 已知:如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. A D C B 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB = CD，AD = BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). ∵ AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 知识点 菱形的判定 菱形的对角线互相垂直. 逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形. 这个逆命题成立. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 你能说明其中的道理吗？ 知识点 菱形的判定 因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分， 可得对角线互相垂直平分， 进而得到一组邻边相等， 根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 知识点 菱形的判定 已知:如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD. 求证:□ ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC， ∴□ ABCD是菱形(菱形的定义). 知识点 菱形的判定 定理：四边相等的四边形是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 知识点 菱形的判定 判定方法 图示 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形 是菱形. ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形. B A D C 知识点 菱形的判定 知识点1 菱形的判定 四条边都 . 对角线互相 . 有一组邻边 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 问题1 (1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a. (1) 如图，作线段AC=a，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接AB，BC，CD，DA. 四边形 ABCD即为所求作的菱形. B D a A C 知识点 菱形的判定 问题1 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗?如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的? (2)不唯一， 给出菱形的边长且菱形的边长大于对角线AC的长度的一半即可作出唯一的菱形. B D A C a 知识点 菱形的判定 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. 例1 A B C D O 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 知识点 菱形的判定 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点 O. 若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给 出的条件不正确的是(　C　) A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠BAC＝∠DAC C 随堂练习 2. 如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝ 13，AC＝24，当BD＝ 时，四边形ABCD是 菱形，理由是 ⁠ ⁠. 10　 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形　 随堂练习 3. [推理通关]如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接 DE，DF. 求证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵D，E分别是BC，AB的中点， ∴DE∥ 且DE＝ ＝ AC. 同理DF∥ 且 DF＝ ＝ AB. AC　 AF　 　 AB　 AE　 　 随堂练习 又∵AB＝AC， ∴DE＝ ⁠. ∴四边形AEDF是菱形 (　 ⁠ 　). DF＝AF＝AE　 四边相等的四边形是菱形 3. [推理通关]如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D，E，F分别为边BC，AB，AC的中点，连接 DE，DF. 求证：四边形AEDF是菱形. 随堂练习 4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，AC＝6，BD＝8，AD＝5，求AB的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， AC＝6，BD＝8， ∴AO＝ AC＝3，DO＝ BD＝4. ∵AD＝5， ∴AO2＋OD2＝AD2. ∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°. ∴四边形ABCD是菱形.∴AB＝AD＝5. 判定方法： ⁠ ⁠. 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形　 随堂练习 知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.[西安模拟] 下列条件中，能判定 为菱形的是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 19 2.如图，在平行四边形中，， ， 将线段水平向右平移个单位长度得到线段 ， 若四边形为菱形，则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 中考考法 20 3.[漳州模拟] 如图，在中，，求证： 是菱形。 证明：在中， ， ， 又， ， , 是菱形。 返回 中考考法 21 知识点2 四边相等的四边形是菱形 4.如图，是等腰三角形，把它沿底边 所在直线翻折后，得到 ,则四边形 为____形，理由是________________________。 菱 四边相等的四边形是菱形 返回 中考考法 22 5.如图，在中，,,,分别是, , 边的中点，求证：四边形 是菱形。 证明：，，分别是,, 的中点， ，,, 。 , 。 四边形 是菱形。 返回 中考考法 23 知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （第6题） 6.[湖南中考] 如图，在四边形 中，对角线 与互相垂直平分， ，则四边形 的周长为( ) C A.6 B.9 C.12 D.18 返回 中考考法 24 7. 如图，在四边形中，，于点 。 请添加一个条件：_______________________，使四边形 成为菱形。 （答案不唯一） （第7题） 返回 中考考法 25 菱形的判定 定义法 定理 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 边：四边相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 课堂小结 $