说说闵可夫斯基不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考高频考点闵可夫斯基不等式，以初中几何情境为起点，通过理论提升构建知识体系，再结合精选例题与分层习题展开应用。教学流程涵盖考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破无理式、三角式最值等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于以几何直观培养数学眼光，通过例题解析发展逻辑推理的数学思维，用数学语言精准表达最值关系。如例1借助矩形对角线模型引入定理，例3结合立体几何动点问题强化应用，分层习题覆盖基础到竞赛，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

说说闵可夫斯基不等式 湖北武汉江湖美 内容提要： 1.一道中考试题的启示. 2.一次重大的理论提升 3.一组“过五关斩六将”的精选例题 4.一套从备考到竞赛的备战好题（含详解） 5.一道优秀的考题及解题赏析 1.一道中考试题的启示. 【例1】（上海中考）若a+b+c=8 求1++4++ 的最小值 求最值的问题，许多高中朋友首选基本不等式 可本题是求3个无理式之和的最值，基本不等式难以派上用场. 不过，一些聪明的初中生倒是能用数形结合的办法轻松地解决： 【解析1】构造如图的矩形ABCD 其中AB=1+2+3=6, AD=a+b+c=8. 2+4 过各分，点依次画矩形两邻边的 平行线，得9个小矩形及相应矩形 V民+9 的对角线，显然有 AE+EF+FC≥AC=10. 即Va2+1+VB2+4+VC2+9≥10 故所求最小值为10. 评注：将如上解题过程抽象，拓广，即得如下的闵可夫斯基不等式： 2.一次重大的理论提 升 P(xy 在如图的平面直角坐标 B(c,d) 系中，设有A〔a,b),B(c,d) ATa,b) 两 点，P区y为线段AB外（或上） 一动点，显然有： |PA+PB≥AB即是： Vx-a)+(y-b)+/(c-x)+(d-y)zV(c-a)+(d-b). y-b_d-y 当且仅当点P在线段AB上，即满足x-aC-x或其斜率KpA=ka即 时等式成立. 这就是闵可夫斯基不等式的二维形式 将这个模式推广到维，就得到闵可夫斯基不等式的完整形式： 设4,4…，4，>0，b,b,…,b。>0则有： ∴Va2+b2+Va2+b,2+…+Van2+b,2≥(a+42++a}'+(6+b,+…+b} 4=a=…= 当且仅当bb, b时等式成立. 也可以这样直观地理解：平面上两点AB之间，无论画多少连续的折线 段，则它们的和必不小于线段AB之长.当且仅当这些折线段的所有公共 ,点均在线段AB上时等式成立. 用这个定理再解例1，就是本题更加精彩的高中解法： 【解析2】显然目标式中3个平方数的平方根依次为1,2,3，满足 1+2+3=6,故： 原式=打++2+E9a+6+e旷+0+2+3=8+6=10 即所求最小值为10. 3.一组“过五关斩六将”的精选例题 【例2】已知+少=4求V5-2x+2-y的最小值 【解析】设 omay-2 wesa引适合半式+-4 显然xy≤2.即以下4x≥0,2-y≥0， 原式20-8r+8-可列r+r-x16+F+-4+ 4-旷+++(2-）24-x+旷+0+2-明 7V20=5. 4-x=y→4=2→x=4-2y 当且仅当 x 2-y x 2-y 时等式成立 8 x=0 [x2+y2=4 或 J y=2 6 再由x=4-2y得： y= 5 时，所求最小值为V⑤. 评注：这一关是熟悉解题程序：仍然是“一正，二定，三相等”· 【例3】(2026.北京开学学情自测.9题) 正方体ABCD-AB1CD1的棱长为2.棱AB的中，点为E,BC1上动点F则 EF+FC的最小值为( A.22 B.3+V2 C.W5+2W2 D.V10 这道题笔者在《基本不等式专题练习》中已经给出一种解法，那是利 用几何图形的翻折解决的，不过那种解法很难想到. 如果掌握了闵可夫斯基不等式，不用翻折 图形也可轻松解决. 【解析】如解图设F为BC1上一，点，作 FG⊥BD于G. △BFG是等腰直角三角形，故设 BG=FG=x.则CG=2-x 注意到x>1时EF+FC会越来越大， 不可能有最小值.故可设定0<x<1.又BE=1,故： EF=V2x2+1,CF=2x2-4x+4=V2(x-1)2+2. 由闵可夫斯基不等式： F+F≥[x+-]+[+-]++2=5+2瓦 x 1 时所求最小值为√5+2√2： 故选C. 评注：这一关是构造适合使用闵可夫斯基不等式的条件式 【例4】求f(x)=Vx2-4x+9+V2-6x+1I 的最小值， 解题的要，点是将每个根号下的被开方数分拆为两个平方数之和 【解析】f✉)x-2y+(5+v3-+ ≥[0x-2)+(3-x]'+(V5+2=v8+2io x-2_V5 x-1-而 3-xV2得3 此时 令 -2-003-而-20 3 故所求最小值为V8+2而 评注：这一关是准确界定取等条件. 相应两个平方数的底数之和必须是常数，这才是解题的要点. 【例5】（来自网络）求 f(x)=v13-12sinx+3v5-4cosx 的最小值 【解析】目标式中存在正余弦，所以首先想到其平方和为1. f(x)=/(2-3sinx)+(3cosx)+3/(2-cosx)+sin'x 后2nyw+2om时+a-2w 4 -2sinx 3 2cosx 4-2cosx →3sinx+cosx=2 2sinx 等号在 时取得. 故所求最小值为 2V10. 评注：这一关是处理较为复杂的三角变换 特别注意：①配凑的过程必须是恒等变换； ②.配凑的方法基本有两种：(1)利用两相反数之和为0；(2)利用互为倒数 的两数之积为1. 【例6已知ab,c∈R,且ab+bc+ca=a+h+C时，求 Na2+1+b2+1+Vc2+1 的最小值 分析：本题需要先启用均值不等式，剑造最终启用闵可夫斯基不等式冲 关的条件。 【解析】a2+b+c2≥ab+bc+ca, .(a+b+c)=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)z3(ab+bc+ca) 已知a,b,c∈R*,且ab+bc+ca=a+b+c .(a+b+c)≥3(a+b+c).→a+b+c≥3 a2+1+vb2+1+vc2+1≥V(a+b+c}+(1+1+1) 故1 ≥V32+32=3√2 当且仅当a=b=C=1 时等式成立 评注：本题的条件数据不明，需要寻找“定和求积”中“和”的条件。 f(x,y)=(x-cosy)+(4x-siny) 【例7】（来自网络）求 的最小值 分析.本题没有出现根号，但仅用均值不等式难以破局，仍需要借助正 余弦的平方和为1，创造使用闵氏定理解题的条件.但若注意到 【解折】V广(c+1=r-os+(4x-sin可+vos2y+sin ≥V(x-cosy)+cosy]+[(4x1-siny)+siny】 =2+2x4=-25:f)≥（么2-=9-45 x 4 4 x=±2 cos y xsin y 当且仅当 时.所求最小值为：9-4V2 评注：不要以为“闵可夫斯基不等式”只能处理无理式求最值本题的 条件是有理三角式，也可以创造条件使用闵可夫斯基不等式， 【别解】有朋友不用闵可夫斯基不等式，给出了如下精彩的解法： 如解图.原题相当于先在双曲线 y=4(x>0) 上求一点P,使与圆 P2,2 x2+y2=1 的距离最近 依据对称性，这一点的坐标应为 P(2,2).连OP交圆于Q,易知： OP=2V2,PO=2V2-1 (Nf(x)=Pg=22-1 故 [f(xy)]n=9-4v2 当且仅当x=y=2时 如将双曲线取第三象限的一支，效果一样，结论也相同 4.一套精选的备战好题 1,求S=V2-2x+10+V-8x+17的最小值 2已知a,beR,且4+6=3来合+1+2公+4的最小4值 求 a,b,c>0,且a+b+c=1, 3.已知 求+b+6+e++a 的最小值： 4.已知ab,c∈R,且a+b+c=8,求证 Na2+1+Vb2+4+Vc2+9≥10 5.若 0过。5m91+osm的程 6.已知a,b,c∈R,且a+b+c=5,求 √a+9+V2+16+2+25的最小值 6m91+cos0+4.00 7.求 的最小值 a,b,c>0,Hab+bc+ca=1, 8.(2010.韩国数竞)已知 +++8+e2*后+++3 求证： 参考解答 1.【解标】S-x-+32+V4-+1 ≥(x-1)+(4-x]+(3+1)=9+16=5. X-13→1-3→x-3 令4-x134 -4 9 -1= >0 此时 4>0,4-x=3 4 4故当4时，所求最小值为5. A=Va2+1+2b+4=Va2+1+V42+(2b) 2.【解析】设 +b=3, 已知 故由闵可夫斯基不等式得： 4≥Va+42+1+2b)2=V(7-b}+(1+2b)9 a=1a1 426即4266=2 时取等 当且仅当 A≥V5b2-10b+50=V5(b-1)2+45≥3v5 又： a+b=3 b=1 a=2 当且仅当b=1时取等.于是由： ab=2 b=1 a+4>0,1+2b>0. 此时 故所求 Ani=3V5, Va+b+vb2+c+vc+azy(a+b+c)+(b+c+a)=V2 3.【解析】 a:b:c=b:c:a, a=b=c= 当且仅当 即 时所求++7口的最小值为 2 Va+1+VB2+4+c2+92V(a+b+c}2+(1+2+3)2=V82+6=10 4.【证明】 4 812 a= =4 a:b:c=1:2:3 3,6= 3 当且仅当 即 时等式成立 5.【解析】 sin0+1+Vcos0+3 2sm26+cos20+1+5-v5+2W3, sin20 1 当月cos2日3→s1n日=5+1c0s20-V3 05+1 时，所求最小值为V5+2V3. 6.【解析】 Va2+9+Vb2+16+Vc2+25 ≥V(a+b+c)2+(3+4+5)}2=V25+144-13 时等式成立当且仅当a:b:C=3:4:5时等式成立. a+b+c=5,4=15,b-20 25 12 6=12c= 12 7.【解析】 Vsin0+1+cos0+4(sin20+cos20)+(1+2)=10 aae品名o-引a-是s0- 时， √10 所求最小值为 8解本题也适用闵氏公式，但是缺少条件： 1+1+1 ①需要知道a+b+C之值；②需要知道abC之值，这都需要从现 有条件转化. (a+b+c)z3(ab+bc+ca)=3 【解析】由均值不等式： m(aley 7-2 也就是 e心层 2a4a+e+a+b+o日g≥3+327-3 3 a=b=c= 3 当且仅当 时等式成立， 5.一道优秀的考题及解题欣赏 以下是一道高考模拟题 已加正数37满足V9r-1+9-1=9则4+y 的最小值 为 这道题难以与均值不等式挂钩，又由于两个被开方式都是平方差的 形式，也不便于使用闵可夫斯基不等式 3X 3 说明：本题的解法十分巧妙.由河北邯 郸的胡子一老师和另一位网友 921 921B D 9xy Black Cat共同提供) 【解析】构造如图的直角三角形ABC,设两直角边AC=3x,BC=3y.斜 边上的高CD=1.那么：AB=AD+DB =V9x2-1+V9y2-1 可以用面积法证明△ABC就是直角三角形. 5=1.AB.CD= 9 一方面： MBC 2 2 () S_1 C.BCsin C=sinC (2) 另一方面： 2 比较(，②知：LACB=90°.·AB=3Vx2+y 于是v9r-1+V9y2-1=3W2+ (3) 但由条件：91+9r2-9gy (4) 3Vx2+y2=9xy→x2+y2=9x2y2→ 1.1 (④代入(3)： b29 2 4+-g4*+》 于是： 号+5+ -y 当且仅当 时等式成立.