专题3.3 利用导函数研究函数的极值或最值 讲义-2027年高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦利用导函数研究函数极值与最值专题，涵盖求极值、由极值求参数、不含参及含参最值求解、已知最值求参数、单调性与极值最值综合应用六大考点，按“定义理解—基础应用—综合拓展”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法归纳、真题演练环节，帮助学生构建完整解题体系，突破导数应用难点。 讲义采用问题驱动教学法，如在“含参最值求解”中引导学生用数学思维分析参数对单调性的影响，通过对比不同参数范围下的极值点变化培养逻辑推理能力。设置选择、填空、解答题分层练习，配合典型例题详解，确保学生在有限时间内掌握核心方法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题3.3 利用导函数研究函数的极值或最值 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 1 【考点2：根据极值或极值点求参数】 4 【考点3：由导数求函数的最值（不含参）】 7 【考点4： 由导数求函数的最值（含参）】 10 【考点5： 已知函数最值求参数】 15 【考点6： 函数单调性、极值与最值的综合应用】 19 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 1．（26-27高二下·全国·课后作业）函数有（    ） A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4 C．极小值，极大值3 D．极小值0，极大值4 【答案】D 【分析】求出导函数，令导函数为并求根，判断根左右两侧的符号，根据极值定义求出极值. 【详解】， 令，则， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 当时，，在内单调递减， 所以当时，函数有极小值， 当时，函数有极大值. 故选：D. 2．（25-26高二下·河北·期中）函数的极大值点是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可. 【详解】， 令，解得：或， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故的极大值点是. 故选：A. 3．（25-26高二下·宁夏固原·阶段检测）已知函数，求的极值． 【答案】极大值为1；极小值为 【分析】求导，利用导数分析函数单调性，进而求出函数极值． 【详解】由题意得的定义域为R，则， 令，解得，， 则变化情况如下表： 极大值 极小值 的极大值为；极小值为． 4．（一题打天下之函数与导数（共37问））已知函数，当，时，求的极值. 【答案】极大值，极小值 【分析】由题意可得，利用导数判断单调性即可得极值. 【详解】当，时，， 所以， 由可得：或；由可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 综上所述：极大值，极小值. 5．（26-27高二·全国·随堂练习）求下列函数的极值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）求出导函数，进而求出函数的单调区间，再由极值的定义即可求解. （2）求出导函数，进而求出函数的单调区间，再由极值的定义即可求解. （3）求出导函数，进而求出函数的单调区间，再由极值的定义即可求解. 【详解】（1）， 令，解得或； 令，解得； 所以函数的单调递增区间为，； 单调递减区间为； 所以函数的极大值：； 函数的极小值：. （2）， 令，解得； 令，解得或； 所以函数的单调递增区间为； 单调递减区间为，. 所以函数的极大值为； 函数的极小值为. （3）， 令，解得或. 令，解得， 所以函数的极大值为； 函数的极小值为 【考点2：根据极值或极值点求参数】 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 2．（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用函数在处有极值10，求出的值，再代入验证，即可求解. 【详解】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 3．（2026·湖南张家界·模拟预测）若函数的极大值为4，则________. 【答案】 / 【分析】由题可得，然后由的符号与单调性及正负性可得答案. 【详解】，由题易得. 当时，，， 则此时在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，注意到，则不能取到正的极大值. 综上可得，. 4．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数在处取得极值0，则________． 【答案】512 【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解. 【详解】在处有极值，且，， 即，解得：，或． 当时，， 函数在R上为增函数，无极值，舍去； 当时，， 当时，,函数在上单调递减， 当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值， 所以，，． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在处与直线相切，求a，b的值； (2)若在区间内有极值，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）使用导数的几何意义求解； （2）将在区间内有极值转化为方程有两个不相等的实根求解. 【详解】（1），由已知，得切线斜率为，即，， 又因为再由切点为，所以，，， （2）若在区间内有极值，则，即， 方程有两个不相等的实根、，而， 则方程的负根依题意，即只需，解得． 当时， 单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值．因此a的取值范围是． 【考点3：由导数求函数的最值（不含参）】 1．（2026·天津南开·模拟预测）函数在上的最大值是________. 【答案】 【分析】利用导数求得函数的单调性，得到当时，函数取得最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得函数的定义域为， 又由， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及利用导数求解函数的最值问题，其中解答中熟练应用导数得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．（25-26高二下·福建三明·阶段检测）函数在区间上的最小值为______. 【答案】 【解析】首先求出函数的导数，再令、得到函数的单调性，从而可得函数的最值； 【详解】解：因为，则定义域为 所以 令解得，即在上单调递增，令解得，即在上单调减， 所以在处取得极小值，也就是最小值且， 又因为，， 所以函数在区间上的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题. 3．（26-27高三上·河北·开学考试）已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 【答案】 【分析】求导可知在上单调递减，在上单调递增，故，再根据参考数据比较和的大小即可求得的最大值． 【详解】由于， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此是的极小值点，函数最大值在端点或处取得， 又， 且， ， 故，因此在上的最大值为． 4．（25-26高二下·上海虹口·期末）已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______. 【答案】 【分析】根据在极值点处导数为0求得a，利用导数讨论单调性，然后可求最值. 【详解】记 ， 因为是函数的极值点， 所以，解得 令，解得或 当时，，递减；当时，，递增 又， 所以，该函数在上的最大值是 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据题意求出参数的值，再利用导数判断函数在上的单调性，进而可以求出最大值. 【详解】，依题意，解得 此时， 令得；令得或 所以在单调递减，在和单调递增； 所以是的极小值点. 因为，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增 因为 且 所以在的最大值为 故答案为: 【考点4： 由导数求函数的最值（含参）】 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，无最值；当时，在上单调递减，在单调递增，在有最小值,无最大值. 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数； (2) 【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间． （2）求导根据函数的单调性即可求解最值． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得且，即可求出，的值； （2）分、、三种情况讨论，分别说明函数的单调性，即可求出函数的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. （2）因为， （ⅰ）当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以； （ⅱ）当时，由，解得或， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减； ①当时，即，所以函数在上单调递减， 所以； ②当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以当时，，当时，， 当时，， 所以， 综上所述，当时，；当时，. 4．（25-26高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 5．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 【答案】(1) (2) 当时，； 当时， 【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程； （2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得. 【详解】（1）， 又是函数的极值点， ∴，即 ∴， ∴， 在处的切线方程为，即， 所以在处的切线方程是 （2），令，得， ∴在单调递减，在单调递增 而， ①当，即时， ②当，即时， 综上，当时，； 当时， 【考点5： 已知函数最值求参数】 1．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调性，利用单调性求最值. 【详解】， 当时， ，即时， ，则单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最大值，且， 因为最大值为，所以解得. 当时， ，即时，，单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最小值，无最大值，故舍去. 当时， ，不满足条件，故舍去. 综上可知，，故选项A正确. 2．（河南青桐鸣2026-2027学年高三上学期学情调研数学试卷）若函数的最大值为，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数求出函数的最大值，进而列式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 函数在处取得最大值，所以. 3．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当,没有最小值；当,的最小值为,再利用换元法求解 【详解】的定义域是,,当,,在单调递减，没有最小值； 当,得,,,单调递减，,,单调递增， 所以当时,取得最小值, 令,则,即, 设,,,,单调递减，,,单调递增，所以， 所以的解为,即,. 4．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 【答案】 【分析】先排除，取一个特殊点使分母为1，确定此时函数值大于2，与最大值条件矛盾，确定后，将转化为，求导找最小值点，代入后解方程即可确定参数． 【详解】若，令，则，与“最大值为2”矛盾，所以，分母为正， 由题可知，可得， 令，因为的最大值恰为2，所以等号能取到，故的最小值为0， 求导得，令得，即， 当时，解得，当时，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时，取得最小值，， 令，解得． 5．（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意可得在上恒成立，结合二次不等式的解法即可得解； （3）对进行分类讨论，结合在上的最大值为列式求得. 【详解】（1）因为当时，，所以， 所以，， 所以切线方程为，整理得； （2）因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又的解为或， 所以当在上恒成立时， ， 即实数的取值范围； （3）由（2）可知，， 当和时，单调递增； 当时，单调递减. 当即时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，则， 解得或（舍去）. 当时， 若，则，则在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，无解； 若，则，则在上单调递减，故，无解； 若，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，解得，无解. 综上可得，实数的值为或. 【考点6： 函数单调性、极值与最值的综合应用】 1．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【详解】（1）对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. （2）由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 2．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点； （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【详解】（1），， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. （2）由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 4．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)当时，证明：有唯一极值点； (3)讨论的零点个数． 【答案】(1)最大值为 ，最小值为 ； (2)，设， 则，因为 ，所以 ，， ①当，，则 因为 ，故 ，，又、，因此， 即 在 上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，在 内有唯一零点； ②当，，结合 ，得 ； 又 ，，得 ，且与不能同时取为0， 因此 恒成立，无零点， 所以在 内有唯一零点，记该零点为， 则，，单调递减，，，单调递增， 所以是唯一的极值点，故有唯一极值点. (3)当，的零点个数为1；当，的零点个数为2. 【分析】（1）利用导数判断的单调性，计算出的端点值和极值，比较可得最值； （2）设，证明在内存在唯一零点，且是变号零点，则有唯一极值点；（3）分和对进行讨论零点个数. 【详解】（1）当 时，，，， 令，得 或 ， 当 时，，故， 单调递增； 当 时，，故， 单调递减， ，， ， 所以的最大值为 ，最小值为 . （2）略 （3）, ,， 即 恒为一个零点，只需讨论 内是否存在其他零点， ①当， ，则，， 因此 ，等号仅在 时成立， 故 时， 仅有 1 个零点； ②当，由第 (2) 问知的单调性：在 单调递减，在 单调递增（ 是 的极小值点）， ，， 因此存在唯一 ，使得， 即 时，， 单调递减； 时，， 单调递增， 在 处取得最小值 ，因 在 递增，故 ； 又 ，根据零点存在定理， 在 内存在一个零点， 加上恒成立的零点 ，此时 共有 2 个零点， 综上所述，当 时， 有 1 个零点；当 时， 有 2 个零点. 5．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数有唯一极值点； (3)求证：． 【答案】(1) (2)令，则， 因为，所以恒成立，即在上单调递减， ，， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 当时，，即，单调递增， 当时， ，即，单调递减， 所以在处取得极大值，且为唯一极值点，得证. (3)要证，即， 因为，所以有， 因为，所以有， 所以原不等式转化为证明，即证， 下证: 因为，即证，令， 则，令，解得或(舍)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，故恒成立， 下证， 令，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故恒成立， 综上，，所以原不等式成立，得证. 【分析】（1）通过求函数值确定切点，求导数确定切线斜率，最后代入点斜式得出切线方程. （2）对导函数的分子构造辅助函数，利用单调性和零点存在定理证明导函数有且仅有一个变号零点，从而确认唯一极值点。 （3）将复杂的不等式等价变形以分离对数与指数部分，并引入中间量将其拆分为两个基础不等式分别证明. 【详解】（1）由题意得， 则，， 所以其切线方程为，整理得. （2）略 （3）略 一、单选题 1．（25-26高二下·吉林辽源·阶段检测）函数的极大值点为（    ） A．1 B．-1 C．(1,-1) D．(-1,1) 【答案】A 【分析】求出导数，确定的正负，的单调性，然后得极大值． 【详解】函数定义域为，， 当时，，递增， 当时，，递减， ∴时，取得极大值，极大值点为1． 故选：A． 【点睛】本题考查导数与极值的关系，在可导函数中是为极值点的必要条件，必须确定在两侧的符号是相反的，才能确定是极值点．还要注意极值点与极值的区别． 2．（25-26高三下·河北保定·开学考试）已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可. 【详解】，令0，得或， 又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意. 故选：B. 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）若1和2是函数的两个极值点，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】求得，根据1和2是函数的两个极值点，得到，求得实数的值，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为1和2是函数的两个极值点， 所以，解得， 所以. 故选: D. 4．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）设，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，由图可知函数有一个极大值点，一个极小值点，结合图象及韦达定理得到不等式，即可得解. 【详解】∵，∴， 由图知，函数有一个极大值点，一个极小值点， 设极大值点为、极小值点为，则，， 即关于的方程有两个实数根、， 由图知，， ∴，. 故选：D． 5．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据轴截面求出圆锥底面圆的半径，设出圆柱形冰块的底面半径，用含的式子表达出圆柱形冰块的高，从而得到圆柱形冰块的体积关于x的表达式，用导函数求解最大值. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，，解得:，， 设圆柱形冰块的体积为，则. 设，则，当时，； 当时，，故在取得极大值，也是最大值，所以，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为. 故选：C 二、多选题 7．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选题）下列结论不正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】ABC 【分析】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值． 【详解】选项A：若在上有极大值，则极大值不一定是上的最大值， 可能在端点处取得最大值.判断错误； 选项B：若在上有极小值，则极小值不一定是上的最小值， 可能在端点处取得最小值.判断错误； 选项C：若在上有极大值，则极小值一定不是和时取得. 判断错误； 选项D：若在上连续，则在上存在最大值和最小值.判断正确. 故选： ABC 8．（25-26高二下·山东聊城·期中）设函数，若为函数的一个极值点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对求导，再根据极值点的定义，整理等式即可得到结果. 【详解】 为函数的一个极值点, 即： ； 若，， 若，，不合题意； 若，令，恒正或恒负， 函数无极值点，不合题意； 所以，的关系无法确定. 故选：BD. 三、填空题 9．（25-26高二下·黑龙江·期中）函数的极小值点为______． 【答案】2 【分析】利用求解函数的极值点，再根据函数的单调性，判断极小值点与极大值点即可. 【详解】因为函数，所以，得，令可得函数增区间为 ，可得函数的减区间为 ，所以在处取得极小值为，所以函数的极小值点为2. 故答案为：2. 10．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）若函数在上有极值，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】由题意可知：， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 令，则在内有变号零点. 令，分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，在上单调递减， 故在上单调递减，无极值，所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 11．（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为和 (2) 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的正负即可求得函数的单调区间； （2）利用（1）的结论，可判断函数在区间上的单调性，代入端点值计算函数值，比较大小即得函数最大值. 【详解】（1）由求导得：， 由可得，由可得或， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故当时，函数取得最大值为. 12．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (2)或 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 利用导函数研究函数的极值或最值 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 1 【考点2：根据极值或极值点求参数】 3 【考点3：由导数求函数的最值（不含参）】 3 【考点4： 由导数求函数的最值（含参）】 4 【考点5： 已知函数最值求参数】 6 【考点6： 函数单调性、极值与最值的综合应用】 7 【考点1：求已知函数的极值或极值点】 1．（26-27高二下·全国·课后作业）函数有（    ） A．极小值0，极大值2 B．极小值，极大值4 C．极小值，极大值3 D．极小值0，极大值4 2．（25-26高二下·河北·期中）函数的极大值点是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二下·宁夏固原·阶段检测）已知函数，求的极值． 4．（一题打天下之函数与导数（共37问））已知函数，当，时，求的极值. 5．（26-27高二·全国·随堂练习）求下列函数的极值： (1)； (2)； (3)． 【考点2：根据极值或极值点求参数】 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·湖南张家界·模拟预测）若函数的极大值为4，则________. 4．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数在处取得极值0，则________． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在处与直线相切，求a，b的值； (2)若在区间内有极值，求a的取值范围． 【考点3：由导数求函数的最值（不含参）】 1．（2026·天津南开·模拟预测）函数在上的最大值是________. 2．（25-26高二下·福建三明·阶段检测）函数在区间上的最小值为______. 3．（26-27高三上·河北·开学考试）已知函数，，则的最大值为________． （参考数据：） 4．（25-26高二下·上海虹口·期末）已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______. 5．（25-26高三上·上海·单元测试）若是的极值点，则在上的最大值是__________． 【考点4： 由导数求函数的最值（含参）】 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 4．（25-26高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 5．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 【考点5： 已知函数最值求参数】 1．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 2．（河南青桐鸣2026-2027学年高三上学期学情调研数学试卷）若函数的最大值为，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数的最小值为1，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 5．（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【考点6： 函数单调性、极值与最值的综合应用】 1．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）设函数在及时取得极值． (1)求出的值； (2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 2．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，当时，有极小值0. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最值. 4．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)当时，证明：有唯一极值点； (3)讨论的零点个数． 5．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：函数有唯一极值点； (3)求证：． 一、单选题 1．（25-26高二下·吉林辽源·阶段检测）函数的极大值点为（    ） A．1 B．-1 C．(1,-1) D．(-1,1) 2．（25-26高三下·河北保定·开学考试）已知的一个极值点为2，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）若1和2是函数的两个极值点，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（25-26高二下·山东德州·阶段检测）设，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选题）下列结论不正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C．若在上有极大值，则极小值一定是和时取得 D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值 8．（25-26高二下·山东聊城·期中）设函数，若为函数的一个极值点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高二下·黑龙江·期中）函数的极小值点为______． 10．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）若函数在上有极值，则的取值范围是______． 四、解答题 11．（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 12．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $