专题09线段.射线.直线精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦线段、射线、直线的区别与联系、表示方法、作图规范，以及两点确定一条直线、线段和差、两点间距离等核心知识点，作为平面几何入门内容，为后续几何学习搭建基础支架。 资料通过“必背”“高频易错”模块强化基础认知，16类分层题型（含射击瞄准等生活实例）培养几何直观与推理能力，规范几何语言（如区分线段与距离）提升数学表达，助力课中教学效率提升与课后学生查漏补缺。

专题09线段.射线.直线精讲学案 核心立意 本课是平面几何的入门课。认识线段、射线、直线三种基本图形，掌握它们的区别、表示方法、作图规范；理解两点确定一条直线、线段的和差、两点间的距离。学会规范使用几何语言，建立几何直观，为后续几何学习打好基础。 线段、射线、直线的区别【必背】 ① 线段：2 个端点，不能延伸，可以度量长度。 ② 射线：1 个端点，只向无端点一侧无限延伸，不能度量长度。 ③ 直线：没有端点，向两侧无限延伸，不能度量长度。 ④ 从属关系：线段、射线都是直线的一部分。 ⑤ 几何规定：点只有位置，没有大小；直线只有位置，没有粗细。 三种图形的表示方法【必背 · 高频易错】 线段   ① 两个大写字母：线段 AB、线段 BA，字母顺序可以互换。   ② 一个小写字母：线段 a。 射线   ① 只能用两个大写字母表示。   ② 端点字母必须写在前面，例：射线 OA。   ③ 射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线。 直线   ① 两个大写字母：直线 AB、直线 BA，字母顺序可以互换。   ② 一个小写字母：直线 l。 硬性要求：书写时不能省略“线段”“射线”“直线”；只写 AB 属于不规范表达。 线段的和与差【必背 · 高频考点】 ① 当点 B 在线段 AC 上时：AC=AB+BC。 ② 变形公式：AB=AC-BC，BC=AC-AB。 ③ 线段的和、差仍然是一条线段。 ⚠️ 重要前提：只有点落在线段上，公式才成立。若点在线段的延长线上，不能直接套用。 两点间的距离【必背 · 易混概念】 ① 两点间的距离：连接两点的线段的长度。 ② 线段是几何图形，看得见、画得出。 ③ 距离是一个数量，是一个长度数值，可以度量。 ④ 易错区分：   错误：两点之间的距离是线段 AB。   正确：两点之间的距离是线段 AB 的长度。 直线的基本事实【必背】 ① 过一点，可以画出无数条直线。 ② 两点确定一条直线：经过两点，有且只有一条直线。   👉 “有”：这条直线一定存在。   👉 “且只有”：这条直线是唯一的。 ③ 生活实例：用两枚钉子固定木条、排队看齐、射击瞄准。 ⚠️ 注意：“两点之间，线段最短”是下一节的结论。本节课只需要知道二者不要混淆即可，不用把它作为本节课的知识点。 位置关系【必背】 点与直线   ① 点在直线上：直线经过这个点。   ② 点在直线外：直线不经过这个点。   ⚠️ 禁止口语表达：不要说“点在直线里面”。 两条直线（同一平面内）   ① 相交：两条直线有唯一的公共点，这个点叫作交点。   ② 两条相交直线，有且只有一个交点。 作图规范【必背】 ① 线段：画出两个端点，两端不要出头。 ② 射线：画出一个端点，无端点的一侧向外出头。 ③ 直线：两端都出头，不要画端点。 ④ 尺规作图：可以作出一条线段，长度等于两条已知线段的和或差。 计数规律【拓展 · 高频考点】 ① 一条直线上有 n 个点：   👉 线段总条数：   👉 射线总条数：2n ② 数射线的两个依据：端点相同、延伸方向相同。二者有一个不同，就是不同的射线。 重点辨析 ① 线段 AB 和线段 BA 是同一条线段。 ② 直线 AB 和直线 BA 是同一条直线。 ③ 射线 AB 和射线 BA 不是同一条射线。 ④ 判断两条射线相同的两个条件：端点相同，延伸方向相同，缺一不可。 ⑤ 可以画出长 4 cm 的线段；不能画出长 4 cm 的射线、直线。 ⑥ 点只有位置，没有大小；直线只有位置，没有粗细。 ⑦ 线段和差公式，只适用于点在线段上；点在线段延长线上时，不能直接使用。 1. 判断射线是否相同时，只看端点，忽略延伸方向。 2. 书写射线名称时，将端点字母写在后面。 3. 只写 AB，省略“线段、射线、直线”的文字标注。 4. 误认为射线、直线可以测量长度。 5. 作图错误：给直线添加端点；射线两端都出头。 6. 使用口语“点在直线里面”，不用规范几何语言。 7. 混淆图形与数量：把线段本身当成两点间的距离。 8. 忽略点的位置，盲目套用线段和差公式。 9. 把“两点之间，线段最短”当作本节课的核心知识点。 10. 计数失误：数射线忽略方向，数线段出现重复或遗漏。 11. 错误认为两条相交直线可以有两个或更多交点。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型二 直线相交的交点个数问题 ★★★ 题型三 线段的应用 ★★★ 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型五 画出直线、射线、线段 ★ 题型六 点与线的位置关系 ★ 题型七 两点确定一条直线 ★★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 ★★★★★ 题型十三 两点之间线段最短 ★★ 题型十四 两点间的距离 ★ 题型十五 最短路径问题 ★★★★ 题型十六 作线段 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：直线、线段、射线的数量问题 解题思路：① 数直线：所有点共线时，直线只有 1 条。② 数射线：直线上每个点向左右两个方向各形成一条射线，n 个点一共可以得到2n}条射线。③ 数线段：每两个点确定一条线段，代入公式 计算；点数较少时，也可以按顺序枚举，避免重复或遗漏。 1．如图，点、在线段上，则图中共有线段（    ） A．3条 B．6条 C．7条 D．10条 【答案】B 【分析】本题主要考查同一直线上点与线段的数量关系，根据线段的概念，数出线段的条数，即可求解． 【详解】解：图中有线段，共条， 故选：B． 2．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【分析】本题考查线段计数的实际应用，将站点转化为线段上的点，先求出不同站点间的路线数量，结合车票往返不同计算总票数即可． 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 3．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【答案】1 【分析】根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，即可求解． 【详解】解：根据题意得：直线有，共1条，射线有，共6条，线段有，共6条， ∴， ∴． 题型二：直线相交的交点个数问题 解题思路：① 计算最多交点：保证任意两条直线都相交，并且没有三条直线交于同一点，n 条直线最多有个交点。② 计算最少交点：让全部直线经过同一个公共点，此时交点只有 1 个。③ 如果题目有限定条件，按照条件排除不符合的情况。 4．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 5．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 【答案】B 【分析】根据直线两两都相交时，交点的个数最多，画图计算即可． 本题考查了直线的相交，熟练掌握两两相交时，交点个数最多是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画图如下： 则最多有18个交点， 故选B． 6．平面内四条直线最少有个交点，最多有个交点，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查相交线的交点问题，掌握平行线时交点最少为0，交点最多时，交点个数为是解题的关键． 首先四条直线最少交点当所有直线平行时，交点为0；最多交点当每两条直线有一个交点，无任何两条平行且无三线共点时，为；即可求解的值． 【详解】∵当四条直线全部平行时，无交点， ∴； ∵当每两条直线有一个交点，且无三线共点时，交点最多， ∴； ∴， 故选：A． 7．平面内有10条直线两两相交，交点个数最多有个，最少有个，则的值为_______． 【答案】46 【分析】当10条直线相交于一点时，交点个数最少，当任意两条直线相交都产生一个交点时，交点个数最多，据此求得的值，从而获得答案． 【详解】解：根据题意，当10条直线相交于一点时，交点个数最少，此时交点有1个， 即， 当任意两条直线相交都产生一个交点时，交点个数最多， 此时交点个数为，即， 所以． 故答案为：46． 【点睛】本题主要考查了直线交点问题以及代数式求值，解题关键是理解直线相交于一点时交点最少，任意条直线两两相交时交点最多为个． 题型三：线段的应用 解题思路：① 把实际问题中的每个对象看成一个点，对象之间的连线看成线段。② 判断题目是不是求两两组合的总数量。③ 可以有序枚举，或者直接使用线段计数公式求出结果。 8．往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 ___种车票． 【答案】20 【分析】根据题意，作出图形，根据线段的知识解决问题即可． 【详解】如图： 共有10条线段，, 又题中是往返列车，往返的车票都不相同， 所以共有10×2＝20种车票， 故答案为20． 【点睛】本题主要考查运用直线、射线、线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． 9．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解．本题考查了正方形的性质，线段长短比较，理解正方形的四边相等是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，的长度小于正方形的边长，的长度大于正方形的边长但小于d的长度， 所以长度最长的是d． 故选：D． 10．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 11．如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图2给出的信息进行计算即可． 【详解】解： 由题意可知，折叠凳的内层长为，即， 又∵， ∴， ∴外框宽为， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段和与差的应用，弄清图中线段之间的关系是解题的关键． 题型四：直线、射线、线段的联系与区别 解题思路：① 看端点数量：直线没有端点，射线有 1 个端点，线段有 2 个端点。② 看延伸能力：直线可以向两边无限延伸，射线只能向远离端点的一侧无限延伸，线段不能延伸。③ 看能否度量：线段可以测量长度，直线、射线没有确定长度，不能度量。 12．下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段、射线、直线的定义及延伸性质进行判断．线段有两个端点，不能延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线没有端点，向两方无限延伸． 【详解】解： A图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，能与线段相交，故A选项符合题意； B图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，不能与线段相交，故B选项不符合题意； C图中左边是射线，右边是直线，射线向左上方延伸，直线向左下方延伸，两者不能相交，故C选项不符合题意； D图中上方是直线，下方是线段，直线向左下方延伸，线段不能延伸，两者不能相交，故D选项不符合题意． 13．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解决本题的关键． 根据直线、射线、线段的概念逐项判定即可解决此题． 【详解】解：A、直线两端无限延伸，即直线无长度，所以画直线厘米错误，故此选项不符合题意． B、射线一端有固定的顶点，另一端无限延伸，即射线无长度，所以画射线厘米错误，故此选项不符合题意． C、射线是向一方无限延伸的，要截取长为2厘米的线段，应以射线端点O为线段的一个端点，即截取厘米，原说法错误，故此选项不符合题意； D、延长线段到点C，当B为的中点时，可使得，所以延长线段到点C，使得正确，故此选项符合题意． 故选：D． 14．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 题型五：画出直线、射线、线段 解题思路：① 画直线：经过两个点画一条直的线，两端都出头。② 画射线：先标出端点，只从端点出发，单向出头。③ 画线段：连接两个端点，两端不要出头。④ 在对应的位置标注字母，写出图形名称。 15．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限延伸． 【详解】解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 16．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 17．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 【答案】C 【分析】根据A、B、C三点的不同位置分类讨论即可得出结果． 【详解】解：当A、B、C三点在同一直线上时，如图1所示，过每两点画一条直线，只能画1条直线，    当A、B、C三点不在同一直线上时，如图2所示，过每两点画一条直线，可以画3条直线，    故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线，利用分类讨论思想是解题的关键． 题型六：点与线的位置关系 解题思路：① 如果点落在直线上，描述为：点在直线上（直线经过该点）。② 如果点没有落在直线上，描述为：点在直线外（直线不经过该点）。③ 严格使用规范数学用语，不要使用“点在直线里面”这类口语。 18．如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 【答案】D 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线和线段的概念．根据直线、线段的概念求解即可． 【详解】A．点B在直线上，正确，不符合题意； B．点A在直线外，正确，不符合题意； C．点C在线段上，正确，不符合题意； D．点M在线段的延长线上，原表述不正确，符合题意； 故选：D． 19．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 20．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 题型七：两点确定一条直线 解题思路：① 熟记公理：经过两点，有且只有一条直线。② 作图：给定两个点，只能画出一条同时经过这两点的直线。③ 实际应用：判断生活中的现象是不是利用“两点确定一条直线”，区分开“两点之间线段最短”。 21．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【详解】解：由题意得设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线 ． 22．今年我校教职工新年趣味文体活动圆满落幕，活动中特别设置了趣味仿真冰壶比赛项目．为帮助参赛老师让冰壶精准滑向营垒得分区，工作人员在赛道起点标注了醒目的橙色标记点，又在营垒中心粘贴了红色靶标作为得分标记点．老师们瞄准这两个标记点推出冰壶，冰壶便能沿着笔直的路线滑行．请用学过的数学知识解释这样做的原理：_____________ ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查“两点确定一条直线”的基本事实． 根据平面几何的基本事实，两点可以唯一确定一条直线，因此瞄准起点和靶标两个点即可使冰壶沿直线滑行． 【详解】解：∵起点橙色标记点和营垒中心红色靶标点是两个已知点，连接这两点可得到一条唯一的直线， ∴当老师们瞄准这两个点推出冰壶时，冰壶的滑行轨迹就是这条直线，从而确保冰壶沿笔直路线滑向得分区， 故答案为：两点确定一条直线． 23．如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 题型八：线段的和与差 解题思路：① 在同一条直线上，看清各条线段的包含关系。② 长线段的长度 = 两条相邻短线段长度之和。③ 短线段的长度 = 长线段的长度 − 另一条短线段的长度。④ 把已知长度代入关系式，算出未知线段的长。 24．延长线段至点，使，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的和差计算，根据已知的线段比例关系求出的长度，再通过线段和的关系计算的长度． 【详解】解：∵，且， ∴． 又∵， ∴． 故选：B． 25．如图，已知点K在线段内部，以K为圆心，为半径画弧与线段相交于点M，其中，若，则________． 【答案】4.5 【分析】本题考查了线段的和差运算，找到线段之间的数量关系是解题关键． 根据比例关系，先求出，再根据求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意，可知， ∴， 故答案为： 4.5． 26．如图，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且；已知点是线段延长线上任意一点，当点与点重合时，，那么的值是_____． 【答案】2 【分析】此题主要考查了线段的计算．先根据非负数的性质求出，，则，．设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，，则，据此可得出结论． 【详解】解：∵，，， ， 解得：， ∴． 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图所示： ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：2． 27．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合；表示出图中阴影部分的周长，根据题意进行整理即可解答． 【详解】解：图中阴影部分的周长 ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的周长， 故选：C． 题型九：线段中点的有关计算 解题思路：① 理解中点定义：中点把一条线段分成两条长度相等的小线段。② 写出等量关系：若点 M 是线段 AB 的中点，则 \AM=MB=AB，AB=2AM=2MB。③ 结合线段的和、差关系，列算式求出线段长度。 28．如图，点C，D在线段上，点C是的中点，．若，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据，，求出的长，由中点求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，，点C是的中点， ∴，， ∴． 29．已知线段，C是直线上一点，．若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是 _____． 【答案】5 【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，则， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时，则， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， 综上所述，段的长度是． 30．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，判断点E是线段中点需要满足：点E在线段上，且，逐个分析四个等式即可得出结论． 【详解】解：∵线段中点的定义要求点E必须在线段上，且满足， ①：未说明点E在线段上，点E可在外满足，因此①不能表示点是线段的中点； ②：若E在的延长线上，也可满足，因此②不能表示点是线段的中点； ③：若E在的延长线上，也可满足，因此③不能表示点是线段的中点； ④，此时点E一定在线段上，点是线段的中点，因此④能表示点是线段的中点； ∴只有1个等式能表示点是线段的中点． 31．如图，点在线段上，，点分别是的中点，，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的计算．熟练掌握线段和倍分计算，线段中点的有关计算，线段和差的有关计算是解题的关键． 由线段的倍分关系可得出，再根据线段中点的有关计算可得出，，再根据线段的和差关系即可得出．由即可得出答案． 【详解】∵点在线段上，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型十：线段 n 等分点的有关计算 解题思路：① n 等分点把整条线段平均分成 n 段长度相等的小线段。② 每一小段的长度 = 整条线段的长度 n。③ 数出所求线段包含多少个小段。④ 用单段长度 × 段数，得到目标线段的长度。 32．把线段五等分，每一段的长度是线段总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 线段五等分表示分成五个相等的部分，因此每一段长度是总长度的五分之一，据此即可求解． 【详解】解：∵线段被五等分， ∴是线段总长度的， 故选：C． 33．M所在位置如下图，的位置是点( )，的位置是点( )．（填序号） 【答案】 ② ④ 【详解】解：将0到三等分，则的位置是点②； 将到平分，则的位置是点④． 34．已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了线段三等分点的概念和线段长度的计算． 点D为线段的三等分点，可能靠近A或靠近B，因此需要分两种情况讨论． 【详解】解：∵，点D为线段的三等分点， ∴或． 又∵，点C在线段上， 当时，如图， ； 当时，如图， ． 故线段的长为1或3． 故答案为：1或3． 题型十一：线段之间的数量关系 解题思路：① 设长度最小的线段为未知数 x。② 用含有 x 的式子，表示出题中其余所有线段的长度。③ 根据题目给出的和、差、倍数关系，列出一元一次方程。④ 解方程，求出未知数，再算出所有线段的长度。 35．在同一条直线上按顺序从左到右有P、Q、M、N四个点，若，则下列结论正确的是（    ） A．Q是线段的中点 B．Q是线段的中点 C．M是线段的中点 D．M是线段的中点 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，根据，得出线段之间的关系，逐项进行判断即可． 【详解】∵不一定等于QM， ∴Q不一定是线段的中点，故A错误； ∵， ∴， ∵， ∴M是线段的中点，故B错误，D正确； ∵， ∴， ∴M不是线段的中点，故C错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段之间的关系，根据题意画出图形是解题的关键． 36．如图，已知线段AB和CD的公共部分，E、F分别为线段AB、CD的中点，EF=20，则AB的长为___________ 【答案】24 【分析】（1）根据，可得AB，CD的长，根据线段和差，可得BC，AC的长，根据线段中点的性质，可得AE，CF的长，根据线段的和差，可得关于BD的方程，根据解方程，可得BD的值，即可求出AB的长度． 【详解】解：（1）由，得 AB=3BD，CD=4BD， 由线段的和差，得 BC=CDBD=4BDBD=3BD， AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD． 由线段AB，CD的中点分别为E，F，得 ，， 由线段的和差，得 EF=ACAECF， 即， 化简，得， 解得BD=8； ∴； 故答案为：24． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，又利用线段的和差得出关于BD的方程，从而进行解题． 37．如图，将一根绳子对折后用线段表示，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．若，则这条绳子的原长为______． 【答案】100或150 【分析】本题主要考查线段之间的关系和分类讨论思想，根据绳子对折后的线段，分类讨论最长线段为或，利用题干已知求得线段各段对应的长，即可求得线段总长． 【详解】解：①当绳子对折点为A，则此时最长的线段为，即，解得， ∵， ∴， 则绳子长为； ②当绳子对折点为B，则此时最长的线段为，即，解得， ∵， ∴， 则绳子长为； 故绳子原长度为100或150． 题型十二：与线段有关的动点问题 解题思路：① 设运动时间为 t，根据速度，用含 t 的式子写出动点离开起点的距离。② 用含 t 的代数式，表示出所有相关线段的长度。③ 按照动点停留的不同区间，分类讨论。④ 根据题目给出的等量关系列方程。⑤ 检验方程的解是否落在对应区间内，舍去不合理解。 38．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则__________． 【答案】5 【分析】由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+BC）=AB，从而可以求出MN的长度． 【详解】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点， ∴MC=AC，CN=CB， ∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5． 【点睛】本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上（或减去）CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半． 39．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 40．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 题型十三：两点之间线段最短 解题思路：① 熟记公理：两点之间，线段最短。② 比较几条路径长短时，直接连接两点的线段长度最小。③ 折线、曲线、绕路的路径长度一定大于线段的长度。 41．如图，某市汽车站到高铁站有条不同的路线，其中路程最短的是（    ） A．从点经过曲线到点 B．从点经过线段到点 C．从点经过折线到点 D．从点经过折线到点 【答案】B 【详解】解：由两点之间，线段最短可知，路程最短的是从点经过线段到点． 42．如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两直线相交只有一个交点 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】将周长变化的问题转化为线段长度的比较，利用“两点之间，线段最短”的性质解释剩余木板周长变大的原因． 【详解】解：原三角形木板截去一部分后，其一条边被两段折线替代，根据线段的性质，两点之间，线段最短，可得这两段折线的长度之和大于被替换的原三角形的那条边的长度；原三角形的另外两条边长度未改变， 故剩余木板的周长比原三角形木板的周长大． 43．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是得出．连接，则，根据两点之间线段最短，得出当N在A，C之间时，最小，然后求出最小值即可． 【详解】解：如图，连接，则，    ∵两点之间线段最短， ∴当N在A，C之间时，最小，且最小值， ∴的最小值为， 故选：B． 题型十四：两点间的距离 解题思路：① 牢记定义：两点间的距离是连接两点的线段的长度，是一个数，不是线段这个图形。② 有刻度时，直接读取长度。③ 没有刻度时，利用线段的和差关系进行计算。 44．如图，A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键．根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键． 【详解】解：， 为中点， 即两点间的距离是． 故选：D． 45．两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为________． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，线段中点的定义． 设，，点是的中点，点是的中点，根据线段中点的定义分情况作答即可． 【详解】解：设，，点是的中点，点是的中点， ①如图1， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴； ②如图2， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴； 综上所述，两根木条的中点之间的距离为或． 故答案为：1或7． 46．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，熟练掌握两点间的距离的应用是解题的关键； 设，则，分为两种情况：①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，②当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段，再根据各段绳子中最长的一段为列出方程，求出每个方程的解，代入求出即可．解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个方程进行求解． 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：； 即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或， 故选：C 题型十五：最短路径问题 解题思路：① 如果没有反射直线，直接连接两点，这条线段就是最短路径。② 如果两个定点在一条直线的同侧，作其中一个点关于这条直线的对称点。③ 连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点就是要找的动点。④ 这条连线的长度就是最短路径的长。 47．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 48．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的周长的最小值为____________． 【答案】5 【分析】先求出点关于y轴的对称点C，将PA+PB的最小值转化为PC+PB的最小值，易知当点P、B、C三点共线时，取最小值计算即可． 【详解】设点关于y轴的对称点C（x，y）， ∴点C（﹣1,0） 又点P是y轴上的一个动点， ∴PA+PB=PC+PB≥BC， 当点P、B、C三点共线时，PC+PB取最小值BC， 由两点的距离公式可得 故答案为：5 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，涉及到轴对称最短路线问题，解题的关键是找到其中一点的对称点，结合三角形的性质求解． 49．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 题型十六：作线段 解题思路：① 先用直尺画一条射线，确定一个端点。② 用圆规的两只脚量出已知线段的长度。③ 保持圆规开度不变，在射线上截取一段等长的弧，标记出第二个端点。④ 擦除多余痕迹，标注出所作的线段。 50．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 51．如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 小张同学按以下步骤进行了操作： 第一步：在直线上作线段； 第二步：在线段的延长线上作线段； 第三步：在线段上作线段． 根据上述操作，下列结论：①；②；③； ④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查线段之间的运算和尺规作图，熟练掌握线段之间的运算和尺规作图是解题的关键． 根据作图的顺序，得到线段之间的和差关系，逐一计算判断即可． 【详解】解：由题可知，，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 因为，，所以，故④错误； 综上可知，选项B符合题意． 故选：B． 52．小华进行了如下操作：①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取．由作图可得线段（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差计算，解题关键是根据图形准确找出线段间的数量关系，利用数形结合思想列式计算． 由作图可知，，根据线段关系，代入、计算，化简得出． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故选A． 解答题 1．指出下图中的直线、射线、线段，并分别写出3条射线和3条线段． 【答案】图中的直线：直线． 图中的射线： 以A为端点：射线； 以B为端点：射线，射线； 以C为端点：射线． 图中的线段：线段，线段，线段． 3条射线为：射线，射线，射线． 3条线段为：线段，线段，线段． 【分析】先确定直线、射线、线段的概念．直线：没有端点，向两端无限延伸，过两点确定一条直线．射线：有一个端点，向一端无限延伸，每个点可向左右各形成一条射线．线段：有两个端点，不能延伸，是两点之间的部分．根据定义，即可找出直线、射线、线段． 【详解】略． 2．点和线段在生活中有着广泛的应用． (1)如图（1），用7根长度相同的小棒可以摆出图中的“8”．你能去掉其中的若干小棒，摆出其他的9个数字吗?这种用7条线段构成的数字称为“7画字”，它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上． (2)点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理．如图（2），可以在长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号．试利用这种方法做出其他25个英文字母． (3)试用点阵显示的方式在纸上做出“强国有我”这四个字． 【答案】(1) (2)其他25个英文字母，分别是B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O，P，Q，R，S，T，U，V，W，X，Y，Z．如图所示： （答案不唯一，符合要求即可） (3) （答案不唯一，符合要求即可） 【分析】（1）直接观察去掉火柴棒后得到的数字，即可求解； （2）根据英文字母的特征，圈出相应的点即可； （3）按照点阵选点构成汉字笔画轮廓的方法即可绘制点阵形式的“强国有我”四个字，属于动手实践题，符合点阵显示逻辑即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．如图，平面内有四个点、、、，根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作直线，射线，线段； (2)若将、看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两个村庄的距离的和最小，请画出点的位置． (3)在射线上截取，比较线段和线段的长短，并说明理由． 【答案】(1)直线，射线，线段如图所示； (2)点即为所求作的点； (3) ； 理由：，点在线段上， ， ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．如图，有两根木棍，一根长，另一根长，在这两根木棍的中间各标记一个点，（大小忽略不计），亮亮将这两根木棍的点与点重合，放置在同一直线上，则此时这两根木棍的标记点，之间的距离是多少？ 【答案】或 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，理解题意，分类讨论，作出相应图形是解题关键． 根据题意，分两种情况讨论：当点与点重合，且剩余两端点在重合点同侧时；点与点重合，且剩余两端点在重合点两侧时；作出相应图形，结合图形求解即可． 【详解】解：∵，分别是木棍和的中点， ∴， ， 分情况讨论：①若点与点重合，剩余两端点在重合点的同侧时，如图， 则；                                  ②若点与点重合，剩余两端点在重合点的两侧时，如图， 则， 综上所述，这两根木棍的标记点之间的距离是或． 5．如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)是的2倍，是的4倍，理由： ，， ，， 是的2倍，是的4倍； (3)或 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论； （2）根据线段的中点的定义即可得到结论； （3）首先求出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：，， ，点是线段的中点， ， 是线段的三等分点； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 当点P在点A左边时，； 当点P在点A右边时，； 综上所述，线段的长为或． 6．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)； (2) 解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【分析】（1）由已知先得出和，即可求出的长． （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案． （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09线段.射线.直线精讲学案 核心立意 本课是平面几何的入门课。认识线段、射线、直线三种基本图形，掌握它们的区别、表示方法、作图规范；理解两点确定一条直线、线段的和差、两点间的距离。学会规范使用几何语言，建立几何直观，为后续几何学习打好基础。 线段、射线、直线的区别【必背】 ① 线段：2 个端点，不能延伸，可以度量长度。 ② 射线：1 个端点，只向无端点一侧无限延伸，不能度量长度。 ③ 直线：没有端点，向两侧无限延伸，不能度量长度。 ④ 从属关系：线段、射线都是直线的一部分。 ⑤ 几何规定：点只有位置，没有大小；直线只有位置，没有粗细。 三种图形的表示方法【必背 · 高频易错】 线段   ① 两个大写字母：线段 AB、线段 BA，字母顺序可以互换。   ② 一个小写字母：线段 a。 射线   ① 只能用两个大写字母表示。   ② 端点字母必须写在前面，例：射线 OA。   ③ 射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线。 直线   ① 两个大写字母：直线 AB、直线 BA，字母顺序可以互换。   ② 一个小写字母：直线 l。 硬性要求：书写时不能省略“线段”“射线”“直线”；只写 AB 属于不规范表达。 线段的和与差【必背 · 高频考点】 ① 当点 B 在线段 AC 上时：AC=AB+BC。 ② 变形公式：AB=AC-BC，BC=AC-AB。 ③ 线段的和、差仍然是一条线段。 ⚠️ 重要前提：只有点落在线段上，公式才成立。若点在线段的延长线上，不能直接套用。 两点间的距离【必背 · 易混概念】 ① 两点间的距离：连接两点的线段的长度。 ② 线段是几何图形，看得见、画得出。 ③ 距离是一个数量，是一个长度数值，可以度量。 ④ 易错区分：   错误：两点之间的距离是线段 AB。   正确：两点之间的距离是线段 AB 的长度。 直线的基本事实【必背】 ① 过一点，可以画出无数条直线。 ② 两点确定一条直线：经过两点，有且只有一条直线。   👉 “有”：这条直线一定存在。   👉 “且只有”：这条直线是唯一的。 ③ 生活实例：用两枚钉子固定木条、排队看齐、射击瞄准。 ⚠️ 注意：“两点之间，线段最短”是下一节的结论。本节课只需要知道二者不要混淆即可，不用把它作为本节课的知识点。 位置关系【必背】 点与直线   ① 点在直线上：直线经过这个点。   ② 点在直线外：直线不经过这个点。   ⚠️ 禁止口语表达：不要说“点在直线里面”。 两条直线（同一平面内）   ① 相交：两条直线有唯一的公共点，这个点叫作交点。   ② 两条相交直线，有且只有一个交点。 作图规范【必背】 ① 线段：画出两个端点，两端不要出头。 ② 射线：画出一个端点，无端点的一侧向外出头。 ③ 直线：两端都出头，不要画端点。 ④ 尺规作图：可以作出一条线段，长度等于两条已知线段的和或差。 计数规律【拓展 · 高频考点】 ① 一条直线上有 n 个点：   👉 线段总条数：   👉 射线总条数：2n ② 数射线的两个依据：端点相同、延伸方向相同。二者有一个不同，就是不同的射线。 重点辨析 ① 线段 AB 和线段 BA 是同一条线段。 ② 直线 AB 和直线 BA 是同一条直线。 ③ 射线 AB 和射线 BA 不是同一条射线。 ④ 判断两条射线相同的两个条件：端点相同，延伸方向相同，缺一不可。 ⑤ 可以画出长 4 cm 的线段；不能画出长 4 cm 的射线、直线。 ⑥ 点只有位置，没有大小；直线只有位置，没有粗细。 ⑦ 线段和差公式，只适用于点在线段上；点在线段延长线上时，不能直接使用。 1. 判断射线是否相同时，只看端点，忽略延伸方向。 2. 书写射线名称时，将端点字母写在后面。 3. 只写 AB，省略“线段、射线、直线”的文字标注。 4. 误认为射线、直线可以测量长度。 5. 作图错误：给直线添加端点；射线两端都出头。 6. 使用口语“点在直线里面”，不用规范几何语言。 7. 混淆图形与数量：把线段本身当成两点间的距离。 8. 忽略点的位置，盲目套用线段和差公式。 9. 把“两点之间，线段最短”当作本节课的核心知识点。 10. 计数失误：数射线忽略方向，数线段出现重复或遗漏。 11. 错误认为两条相交直线可以有两个或更多交点。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型二 直线相交的交点个数问题 ★★★ 题型三 线段的应用 ★★★ 题型四 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型五 画出直线、射线、线段 ★ 题型六 点与线的位置关系 ★ 题型七 两点确定一条直线 ★★ 题型八 线段的和与差 ★★ 题型九 线段中点的有关计算 ★★★ 题型十 线段 n 等分点的有关计算 ★★★★ 题型十一 线段之间的数量关系 ★★★★ 题型十二 与线段有关的动点问题 ★★★★★ 题型十三 两点之间线段最短 ★★ 题型十四 两点间的距离 ★ 题型十五 最短路径问题 ★★★★ 题型十六 作线段 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：直线、线段、射线的数量问题 解题思路：① 数直线：所有点共线时，直线只有 1 条。② 数射线：直线上每个点向左右两个方向各形成一条射线，n 个点一共可以得到2n}条射线。③ 数线段：每两个点确定一条线段，代入公式 计算；点数较少时，也可以按顺序枚举，避免重复或遗漏。 1．如图，点、在线段上，则图中共有线段（    ） A．3条 B．6条 C．7条 D．10条 2．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 3．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 题型二：直线相交的交点个数问题 解题思路：① 计算最多交点：保证任意两条直线都相交，并且没有三条直线交于同一点，n 条直线最多有个交点。② 计算最少交点：让全部直线经过同一个公共点，此时交点只有 1 个。③ 如果题目有限定条件，按照条件排除不符合的情况。 4．平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 5．小红在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线（），其中，互相平行，，，三条直线交于一点，则他探究这7条直线的交点个数最多是（    ） A．17个 B．18个 C．19个 D．21个 6．平面内四条直线最少有个交点，最多有个交点，则（　　） A．6 B．4 C．2 D．0 7．平面内有10条直线两两相交，交点个数最多有个，最少有个，则的值为_______． 题型三：线段的应用 解题思路：① 把实际问题中的每个对象看成一个点，对象之间的连线看成线段。② 判断题目是不是求两两组合的总数量。③ 可以有序枚举，或者直接使用线段计数公式求出结果。 8．往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 ___种车票． 9．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 10．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 11．如图1是一种壁挂式折叠凳完全开启时，与完全闭合时的状态，图2是完全开启状态的侧面结构示意图，外框宽与相等，具体数据如图2所示，则外框宽为（    ） A． B． C． D． 题型四：直线、射线、线段的联系与区别 解题思路：① 看端点数量：直线没有端点，射线有 1 个端点，线段有 2 个端点。② 看延伸能力：直线可以向两边无限延伸，射线只能向远离端点的一侧无限延伸，线段不能延伸。③ 看能否度量：线段可以测量长度，直线、射线没有确定长度，不能度量。 12．下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． 13．下列语句正确的是（   ） A．画直线厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到点C，使得 14．直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 题型五：画出直线、射线、线段 解题思路：① 画直线：经过两个点画一条直的线，两端都出头。② 画射线：先标出端点，只从端点出发，单向出头。③ 画线段：连接两个端点，两端不要出头。④ 在对应的位置标注字母，写出图形名称。 15．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 16．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 17．已知平面上A，B，C三点，过每两点画一条直线，那么直线的条数有（    ） A．3条 B．1条 C．1条或3条 D．0条 题型六：点与线的位置关系 解题思路：① 如果点落在直线上，描述为：点在直线上（直线经过该点）。② 如果点没有落在直线上，描述为：点在直线外（直线不经过该点）。③ 严格使用规范数学用语，不要使用“点在直线里面”这类口语。 18．如图，下列说法中，错误的是（  ） A．点B在直线上 B．点A在直线外 C．点C在线段上 D．点M在线段的延长线上 19．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 20．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 题型七：两点确定一条直线 解题思路：① 熟记公理：经过两点，有且只有一条直线。② 作图：给定两个点，只能画出一条同时经过这两点的直线。③ 实际应用：判断生活中的现象是不是利用“两点确定一条直线”，区分开“两点之间线段最短”。 21．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 22．今年我校教职工新年趣味文体活动圆满落幕，活动中特别设置了趣味仿真冰壶比赛项目．为帮助参赛老师让冰壶精准滑向营垒得分区，工作人员在赛道起点标注了醒目的橙色标记点，又在营垒中心粘贴了红色靶标作为得分标记点．老师们瞄准这两个标记点推出冰壶，冰壶便能沿着笔直的路线滑行．请用学过的数学知识解释这样做的原理：_____________ ． 23．如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型八：线段的和与差 解题思路：① 在同一条直线上，看清各条线段的包含关系。② 长线段的长度 = 两条相邻短线段长度之和。③ 短线段的长度 = 长线段的长度 − 另一条短线段的长度。④ 把已知长度代入关系式，算出未知线段的长。 24．延长线段至点，使，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 25．如图，已知点K在线段内部，以K为圆心，为半径画弧与线段相交于点M，其中，若，则________． 26．如图，已知线段，，线段在射线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），且；已知点是线段延长线上任意一点，当点与点重合时，，那么的值是_____． 27．在长方形中放入3个正方形如图所示，若，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 题型九：线段中点的有关计算 解题思路：① 理解中点定义：中点把一条线段分成两条长度相等的小线段。② 写出等量关系：若点 M 是线段 AB 的中点，则 \AM=MB=AB，AB=2AM=2MB。③ 结合线段的和、差关系，列算式求出线段长度。 28．如图，点C，D在线段上，点C是的中点，．若，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 29．已知线段，C是直线上一点，．若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是 _____． ∵是的中点，是的中点， ∵是的中点，是的中点， 30．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．如图，点在线段上，，点分别是的中点，，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型十：线段 n 等分点的有关计算 解题思路：① n 等分点把整条线段平均分成 n 段长度相等的小线段。② 每一小段的长度 = 整条线段的长度 n。③ 数出所求线段包含多少个小段。④ 用单段长度 × 段数，得到目标线段的长度。 32．把线段五等分，每一段的长度是线段总长度的（    ） A． B． C． D． 33．M所在位置如下图，的位置是点( )，的位置是点( )．（填序号） 34．已知线段，点C为线段上一点，，点D为线段的三等分点，则线段的长为________ ． 题型十一：线段之间的数量关系 解题思路：① 设长度最小的线段为未知数 x。② 用含有 x 的式子，表示出题中其余所有线段的长度。③ 根据题目给出的和、差、倍数关系，列出一元一次方程。④ 解方程，求出未知数，再算出所有线段的长度。 35．在同一条直线上按顺序从左到右有P、Q、M、N四个点，若，则下列结论正确的是（    ） A．Q是线段的中点 B．Q是线段的中点 C．M是线段的中点 D．M是线段的中点 36．如图，已知线段AB和CD的公共部分，E、F分别为线段AB、CD的中点，EF=20，则AB的长为___________ 37．如图，将一根绳子对折后用线段表示，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为．若，则这条绳子的原长为______． 题型十二：与线段有关的动点问题 解题思路：① 设运动时间为 t，根据速度，用含 t 的式子写出动点离开起点的距离。② 用含 t 的代数式，表示出所有相关线段的长度。③ 按照动点停留的不同区间，分类讨论。④ 根据题目给出的等量关系列方程。⑤ 检验方程的解是否落在对应区间内，舍去不合理解。 38．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则__________． 39．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 40．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 题型十三：两点之间线段最短 解题思路：① 熟记公理：两点之间，线段最短。② 比较几条路径长短时，直接连接两点的线段长度最小。③ 折线、曲线、绕路的路径长度一定大于线段的长度。 41．如图，某市汽车站到高铁站有条不同的路线，其中路程最短的是（    ） A．从点经过曲线到点 B．从点经过线段到点 C．从点经过折线到点 D．从点经过折线到点 42．如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两直线相交只有一个交点 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 43．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 题型十四：两点间的距离 解题思路：① 牢记定义：两点间的距离是连接两点的线段的长度，是一个数，不是线段这个图形。② 有刻度时，直接读取长度。③ 没有刻度时，利用线段的和差关系进行计算。 44．如图，A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是（） A． B． C． D． 45．两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为________． 46．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 题型十五：最短路径问题 解题思路：① 如果没有反射直线，直接连接两点，这条线段就是最短路径。② 如果两个定点在一条直线的同侧，作其中一个点关于这条直线的对称点。③ 连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点就是要找的动点。④ 这条连线的长度就是最短路径的长。 47．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 48．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的周长的最小值为____________． 49．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 题型十六：作线段 解题思路：① 先用直尺画一条射线，确定一个端点。② 用圆规的两只脚量出已知线段的长度。③ 保持圆规开度不变，在射线上截取一段等长的弧，标记出第二个端点。④ 擦除多余痕迹，标注出所作的线段。 50．下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 51．如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于． 小张同学按以下步骤进行了操作： 第一步：在直线上作线段； 第二步：在线段的延长线上作线段； 第三步：在线段上作线段． 根据上述操作，下列结论：①；②；③； ④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 52．小华进行了如下操作：①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取．由作图可得线段（    ） A． B． C． D． 解答题 1．指出下图中的直线、射线、线段，并分别写出3条射线和3条线段． 2．点和线段在生活中有着广泛的应用． (1)如图（1），用7根长度相同的小棒可以摆出图中的“8”．你能去掉其中的若干小棒，摆出其他的9个数字吗?这种用7条线段构成的数字称为“7画字”，它可以用在计算器或电梯的楼层显示屏上． (2)点也可以用来构成数字或符号，点阵式打印机就是利用了这个原理．如图（2），可以在长方形点阵中，圈出一些点来构成数字或符号．试利用这种方法做出其他25个英文字母． (3)试用点阵显示的方式在纸上做出“强国有我”这四个字． 3．如图，平面内有四个点、、、，根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作直线，射线，线段； (2)若将、看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两个村庄的距离的和最小，请画出点的位置． (3)在射线上截取，比较线段和线段的长短，并说明理由． 4．如图，有两根木棍，一根长，另一根长，在这两根木棍的中间各标记一个点，（大小忽略不计），亮亮将这两根木棍的点与点重合，放置在同一直线上，则此时这两根木棍的标记点，之间的距离是多少？ 5．如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 6．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $