(11)·函数与导数：导数多变量大题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数多变量大题，以极值点、双变量不等式证明为核心，通过构造函数、换元法、韦达定理等方法体系，系统整合导数应用与逻辑推理，培养数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |极值点参数范围|1,4|方程根分布、参数分离|导数与极值点定义→方程根的性质→参数范围| |双变量不等式证明|2,3,5,6,7|构造函数、换元消元、韦达定理转化|双变量关系→单变量函数→单调性/最值证明| |切线与零点综合|3,8|导数几何意义、零点存在定理|切线方程→函数单调性→零点位置判断|

2027届一轮复习(11)·函数与导数：导数多变量大题 我们进行 2027届一轮复习(11)·函数与导数：导数多变量大题 ，题目难度较大。一轮复习一定要做到无漏洞，加油哦！ 1．（★★★）已知函数存在两个极值点. (1)求的取值范围； (2)求的最小值. 2．（★★★）已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）． 3．（四川成都市2026届高三下学期第二次模拟测试数学试题·★★★）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 4．（四川省南充高级中学2024届高三第二次模拟（理）试卷试题·★★★）已知函数有三个极值点 . (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 5．（广东省佛山市2024届高三下学期教学质量检测（二）·★★★）已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 6．（天津市宁河区2024届高三上学期期末·★★★）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 7．（甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考·★★★☆）已知函数，且曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值. (2)当时，证明：当时，. (3)当时，若存在，使得成立，证明：. 8．（广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（二）·★★★★）已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：． 试卷第2页，共2页 1．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围； （2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值. 【详解】（1）由题意知：定义域为，； 令，则有两个不等正根， ，解得：，实数的取值范围为. （2）由（1）知：，是的两根，则； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 即的最小值为. 2．证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】是方程的两个不同实根，方法一由，令，利用的单调性证明得结论；方法二和方法三设，，只需证明，设或，用表示，构造关于的函数，利用单调性证明结论 【详解】（方法一）构造函数现实力 ，函数定义域为，， 由是方程的两个不同实根得，令，， 由于，，解得；，解得， 因此，在上单调递增，在上单调递减． 由，有，又，所以有， 需证明，只需证明， 只需证明，即，即． 设，，故在单调递增， 故，即．令，则，因为，在单调递减，所以，即． （方法二）巧引变量 设，，则由得， 有， 设，则，． 欲证，需证﹒即只需证明，即 设﹐，， 故在上单调递减，故，故在上单调递增，因此，命题得证． （方法三）巧引变量 设，，则由得得， 有， 设，则，． 欲证，需证，即只需证明， 即， 设，， 故在上单调递增，因此，命题得证． 3．(1). (2)令，， 由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设. 求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，又，， 根据零点存在定理可知存在唯一的使得 . 所以当，，函数在区间上单调递减； 当，，函数在区间上单调递增. 由，得，从而， 又因为，， 所以，故. 【难度】0.51 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导得，结合，列出方程组求解； （2）令，根据导数结合零点存在定理求出 单调性，易得 的一个根为 ，再利用零点存在定理找到另一个根的范围即可证明. 【详解】（1）由题意可得， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解方程得. （2）略 4．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）由题意转化为有三个不等的实数根，再参数分离为，转化为与有三个交点，利用导数分析函数的图象，即可求解； （2）首先由，转化为，，再通过构造函数，利用导数求的取值范围，再根据的单调性求参数的取值范围. 【详解】（1）函数有三个极值点 则有三个不等实根 即方程有三个不等实根 ， 令，则， 由得，由得或 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以 （2）由（1）知，， 所以，令，则， 令，则 令，则， 即，，故 在上单调递增，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是根据的单调性，转化为求的取值范围. 5．(1) 单调递减区间为、，单调递增区间为； (2) ，令，即， 令，，则、是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导后，借助导数的正负即可得原函数的单调性； （2）借助换元法，令，，，可得、是方程的两个正根，借助韦达定理可得，，即可用、表示，进而用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 【详解】（1）当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为、，单调递增区间为； （2）略 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助换元法，令，，，从而可结合韦达定理得、的关系，即可用表示，构造相关函数后借助导数研究其最大值即可得. 6．(1) (2) 当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； (3) ， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得， 令，则， 得， 则， 所以 ， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 即. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程； （2）求导，然后分和讨论求的单调区间； （3）根据极值点为导函数的零点，令，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可. 【详解】（1）当时，， 得，则，， 所以切线方程为，即； （2）， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； （3）略 【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令达到消元的目的，常用的换元有等. 7．(1) (2) 当时，， 在上恒成立， 在上单调递增， 当时，. (3) 当时，， 当时，存在成立， ， 得. 由（2）可知，当时，单调递增， ，即， ， 设， 则， 当时，，则， ， ， . 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求导函数，由切线斜率可得的值，从而得实数的值； （2）求导函数，从而得函数的单调性与最值，即可证得结论； （3）结合函数在时的单调性将等式转换为不等式，则，设，求导确定单调性即可证得结论. 【详解】（1）. 曲线在点处的切线方程为. （2）略 （3）略 8．(1) 时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点． (2) 函数， 当时，，所以函数只有一个极值点，不满足条件； 当时，，所以函数无极值点； 当时，，令得或；令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时， 因为，时，， 所以函数在上无零点，在上有一个零点， 所以； 当时，，令得或；令得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时， 因为时，， ， 所以函数在上有一个零点，且， 所以， 综上，． 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）将问题转化成讨论与的交点个数，利用导数研究函数的单调性，从而结合图象得到答案； （2）分类讨论，利用导数研究函数的单调性，从而判断函数的极值点和零点，依次证明不等式． 【详解】（1）因为， 当时，，此时有一个零点； 当时，，所以不是函数的零点， 令， 故只需讨论与的交点个数即可， ， 因为， 所以在和上单调递减，在上单调递增， ，且时，，且时，， 所以的大致图象如图所示： 故当与有一个交点， 当时，与有2个交点； 综上，时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点． （2）略. 【点睛】关键点点睛：零点可理解为两函数的交点的横坐标，在求解时可分析单调性和极值，数形结合求解. 答案第14页，共14页 答案第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $