函数与导数：利用导数研究极值点偏移问题、利用导数研究双变量问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用难点，通过极值点偏移与双变量问题的典例变式，构建从单调性分析到综合证明的逻辑链条，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数研究极值点偏移问题|3例+3变式|含参数范围求解及零点关系证明（如x₁+x₂>2a）|以导数工具为核心，通过单调性、极值分析，结合构造函数实现不等式证明，体现从概念到应用的推导过程| |利用导数研究双变量问题|3例+3变式|涉及大小比较、极值点关系及恒成立问题|通过变量代换转化为单变量问题，运用导数判断单调性，建立双变量与函数性质的逻辑联系，发展数学思维|

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：利用导数研究极值点偏移问题、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究极值点偏移问题 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 例1．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明：不妨设， 由（1）知，则，，， 又在上单调递增， 所以等价于，即． 设， 则． 设，则， 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又因为，，， 所以存在，使得，当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，， 所以当时，，当时，， 所以当时，，单调递减， 因为，所以， 所以，即原命题得证． 【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解； （2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明. 【详解】（1）解：由，得， 设，则，， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以， ， ， 所以a的取值范围是． （2）略 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握. 例2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）设方程的两个根分别为，，求证：. 【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调区间；由极值的定义可求得极值； （2）根据的根可确定两根所处的范围；设，利用导数可求得的单调性，从而得到，结合可得到，结合单调性可证得结论. 【详解】（1）由题意得：，令，解得：，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 的极大值为；极小值为； （2）当时，，令，解得：， 当时，方程的两个根在区间内. 设函数， 则 ，. 令，，则， 在上为增函数，又， 则当时，；当时，； 当时，，当时，，当时，， 在上单调递减. 不妨设， 在上单调递减，在上单调递增，， ，，又，， ，，由（1）知：在上单调递增，， . 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 例3．（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）如果，且，求证：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）； （3）证明：由，，不妨设， 构造函数，，， 则， 所以在，上单调递增，， 也即对，恒成立． 由，则，， 所以， 即，又因为，，且在上单调递减，所以， 即证． 即． 【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）先求出函数的值域，即可求出的范围； （3）构造函数，判断函数的单调性，即可证明． 【详解】解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得函数在处取得最大值，， 所以函数的图象大致如下： 易知函数的值域为． 因为方程有两个不同的根， 所以，即，，解得． 即实数的取值范围为． （3）略 【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题． 变式1．（2025·安徽淮南·二模）已知函数，. (1)若为上的增函数，求的取值范围； (2)若，，且，证明：. 【答案】(1) (2)若，由（1）知在上单调递增，由于， 已知，，不妨设， 设函数，则 ， 则，设，则 ， 由于，故在上为增函数， ∴，∴在上为减函数， ∴， ∴， 而在上为增函数， ∴，故，从而， 即. 【分析】（1）由在上为增函数，可得恒成立，即恒成立，构造函数，利用导数求此函数的最小值即可； （2）由于，且在上单调递增，，且，不妨设，令，利用函数可判断在上为减函数，所以有，，而在上为增函数，从而可得，从而， 【详解】（1）. 若在上为增函数，则恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，故， ∴实数的取值范围为； （2）略 【点睛】此题考查导数的应用，考查由导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数判断函数的单调性，考查转化思想和计算能力，属于中档题 变式2．（2025·湖北武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) 当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明： 要证，只需证，即证． 因为，所以只需证． 由（ⅰ）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得． 所以只需证，即只需证． 令，只需证． 令，其中，则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证． 【分析】（1）求出，分、两种情况讨论，分析导出的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）（i）将方程变形为，令，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）将所证不等式等价变形为，由变形可得出，推导出，即证．令，只需证，构造函数，其中，利用导数法即可证得结论成立. 【详解】（1）因为， 所以，其中. ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得. 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． （2）（i）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则. 作出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 变式3．（2025·浙江·二模）已知函数，． (1)求证：； (2)若函数有三个不同的零点，，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ）见解析 【分析】（1）代入计算即可求解， （2）（ⅰ）分类讨论的取值范围即可求解， （ⅱ）结合函数有三个不同的零点，可得，，进而结合，，可将问题转化成，构造函数，即可利用导数求解. 【详解】（1）由得， 所以，故， （2）（ⅰ）由于，且当时，，故， 又，所以，所以， 当时，令，所以， 当时，,当时，,所以在单调递减，在单调递增，故， 又,, 所以存在，使得， 因此在,上单调递增，在单调递减， 又当当， 所以此时有3个零点，符合题意，故， 当时， 令，则， 故当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，此时恒成立，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意， 综上可知：， （ⅱ）由（ⅰ）以及可知，，又，，故也是的根，故， 设 所以在单调递增，故, 即,() 又因为， 所以， 所以 【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 考点二 利用导数研究双变量问题 例1．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)当时，若且，比较与的大小，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由： 当时，， 且， 下面证明， 即证明，等价于证明：， 设，所证即为：， 等价于证明：， 设函数． 在上单调递增，而， ，所证不等式成立． 【分析】（1）对函数求导，利用函数单调性与导数的关系，建立不等式求解即可； （2）由，得，要证明，只需证明，两边同时取对数整理得，构造函数，利用导数的性质证明即可. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上恒成立且满足的点不连续． 当时，．由在上单调递减可知， 当时，，， 综上，的取值范围为 （2）略 例2．（2026·四川成都·模拟预测）定义运算：，已知函数． (1)若函数的最大值为0，求实数a的值； (2)证明：． (3)若函数存在两个极值点，证明：． 【答案】(1)1 (2) 由（1）知，，即， 当时，  ． ． ． (3) “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得，      要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【分析】（1）利用定义的运算得到的解析式，结合导数求最大值的方法，建立关于的方程，解方程得解. （2）借助（1）问中的结论，，得到，然后利用不等式性质，即裂项相消求和法，从而得证. （3）将极值点个数问题转化为到导函数零点个数问题，从而得出，将所证转化为，通过消元，然后构造函数，借助导数证明即可. 【详解】（1）由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为．    ，令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：第（1）小问关键在于读懂新定义运算，得到解析式，然后借助导数求最大值，第（2）小问关键，借助（1）中得到的结论，，得到，其中的放缩很关键；第（3）问的关键是将极值点个数问题等价为导函数零点个数问题，从而得出的结论，最后双元变单元，再一次构造函数从而得解. 例3．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数并化简，讨论和两种情况下函数的单调性；（2）根据题意将不等式转化为，分别求函数的最值，即可求解. 【详解】（1），. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. （2）当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 变式1．（2026·江西赣州·模拟预测）已知函数． (1)若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程； (2)若的极值点为，设，且证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）先求得的极值点，将问题转化为证，再根据的单调性转化为证，构造差函数，利用导数研究其单调性即可. 【详解】（1）由题意知直线的斜率为，所以曲线在点处的切线斜率为-2，而，则，得， 所以在点处的切线方程为：，即． （2），令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极值，的唯一极值点， 因为，则， 当时，恒成立，则在上单调递增，不合题意， 当时，易得的解集为的解集为， 即的单调增区间为，单调减区间为， 依题意：，解得， 不妨设，则，要证，则只要证， 即证：，即证，即证：， 令 则，即在上单调递减，有 即，则成立，因此成立，. 【点睛】思路点睛：第二问先求导得的唯一极值点，将问题化为证，再通过求导判定的单调增区间为，单调减区间为，，将问题化为证成立，此时将双变量问题转化为单变量问题，即证单调递增即可. 变式2．（2025·河南郑州·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：． 【答案】(1) 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增；在上单调递减. (2) 由（1）可知：当时， ，是函数两个极值点， 有，，此时， 要证明，只要证明 设， 令， 当时，， 所以当时，，单调递减， 所以有，即证 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据判别式讨论函数的单调区间； （2）根据（1）的结果，可知，，，，这样可将所证明不等式进行变形，从而构造函数，利用导数即可证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， 设，令，， 当时，即，在单调递减， 当时，即，，令，得，， 若，，，由即，得出. 由即，得出. 当时，，由即，得出. 由即，得出. 综上所述：当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增；在上单调递减. （2）略 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数性质的综合应用问题，本题第二问处理双变量问题，关键是，，，从而为后面的消参，构造函数创造条件. 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数（，）. (1)求函数的极值； (2)若函数的最小值为0，，（）为函数的两个零点，证明：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的极值； （2）首先由函数的最小值，确定，再结合零点存在性定理确定，，可得，再通过构造函数求函数的最小值. 【详解】（1）（），， 若时，则恒成立， 在上单调递增，故没有极值； 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 有极小值，极小值为，无极大值. （2）证明：由（1）可知，当时，有最小值，， 由函数的最小值为0，得， 由题知， ，， ， ，， ，（）， 令，则， 令，则在上单调递增， 又，在上，，，单调递减， 在上，，，单调递增， ， 得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：利用导数研究极值点偏移问题、利用导数研究双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究极值点偏移问题 利用导数研究双变量问题 例1（2026河南平顶山模拟预测)已知函数儿)=e-xhx-c-1(aeR 有两个零点 考点一 利用导数研究极值点偏移问题 (I)求a的取值范围： ②没5是的两个零点，证明：+五>2 例2.(25-26高三上湖南长沙阶段检测)已知函数()=(-3)】 其中e为自然对数的底数： (1)求函数()的单调区间和极值： (2)设方程f)=a(a<0) 的两个根分别为，，求证：+5<2 1 2027届高三数学一轮复习专项训练 f(x)=xe(x∈R) 例3.(2025河南郑州模拟预测)已知函数 (1)判断函数(x)的单调性： (x)+2a2-3a+1=0 (2)若方程 有两个不同的根，求实数“的取值范围： 3)如果≠名，且)=)，求证： In(x+x)>In2 变式1.(2025安徽准前二模)已知函数闭=e-+a+1,aeR (I)若f(x)为R上的增函数，求a的取值范围： ②若a>0,≠为，且()+f()=4 证明：f(:+)<2 2 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2.(2025湖北武汉三模)己知函数f(x)=+(a-1)hx+ 'x’a∈R Q)讨论函数（冈）的单调性， (②)若关于x的方程f()=e-血x+有两个不相等的实数根x名， (i)求实数a的取值范围； e,e、2a 一十一> (ⅱ)求证：x2xxx2. 变式3.(2025浙江二模)已知函数（四=r-xhx-1,4∈R (1)求证： (2)若函数 (四)有三个不同的零点5,5，（伍<5<） (i)求a的取值范围： x+x3>2a-2 (ⅱ)求证： 2027届高三数学一轮复习专项训练 考点二 利用导数研究双变量问题 x2 例1.(2026：江苏盐城模拟预测)已知函 f()= e“,其中a>0. ①考f儿在0,2习列上单调递箱，求“的取值范国： ②当0=1时，若+5=4且0<<2，比较f)与()的大小，并说明理由 (1)若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值： 证.0+-+) h(x)-h(s-a+2<0 (3)若函数h(x)=f(x)+g(x)存在两个极值点，x2,证明：x-x2 2027届高三数学一轮复习专项训练 例3.(2025河南鹤壁模拟预测)已知函数(m+(m-)x-h(meR),8)=-2石+1 a)讨论f的单调性； ②当m>0时，若对于任意的∈(0，+切），总存在G+切），使得)≥8()，求m的取值范围 变式1.（2026-江西赣州模拟预测)已知历数f)-号8)- 1)若（因在点M0,f》处的切线与直线-2y+2=0垂直，求该切线方程： 2)若8() 的极值点为，设(=+8(，且()=()=3，(：≠)证明：>a 2027届高三数学一轮复习专项训练 变式2。(202s河南郑州三模)己知函数四)=r+a血(1-).a∈R (1)讨论函数 (④的单调性： (2)若函数 有两个极值点5，，且<3，求证：f)>-a f( 变式3.(2026陕因固安模拟预测)已知西数)=nx+是b(a6eR) (1)求函数 f(x) 的极值； (②)若函数f)的最小值为0，七，飞(x<5)为函数8()=f()-2的两个零点，证明：e-c1nx>2 6