第1章特殊平行四边形—利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义通过考点目录表格系统梳理菱形性质，按求角度、线段长、面积分考点构建知识体系，以核心知识点框架呈现角的性质、对角线关系、面积公式等重难点，清晰展现内在逻辑联系。 讲义亮点在于例题与变式训练的分层设计，如人行横道标志面积计算培养应用意识，利用对角线垂直推导角度发展推理意识。基础学生可掌握解题思路，优秀学生能深入探究综合题，助力教师实施精准化复习教学。

利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 考点目录 利用菱形的性质求角度 利用菱形的性质求线段长 利用菱形的性质求面积 考点一 利用菱形的性质求角度 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的基础性质 · 继承平行四边形通性：对角相等，邻角互补（邻角度数和为 ）； · 菱形特殊性质：每条对角线平分一组对角，即对角线将对应内角分成两个大小相等的小角。 1. 对角线与三角形的角度关联 · 两条对角线互相垂直，将菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三角形的两个锐角，分别等于菱形两组内角的一半； · 若菱形有一个内角为 （或 ），则较短对角线与两条邻边构成等边三角形，该对角线与边长相等，对应内角均为 。 1. 边的性质衍生角度 菱形四条边长度相等，因此任意一条对角线与两边均可构成等腰三角形，可结合“等边对等角”推导角度关系。 二、解题思路 1. 定位已知角：明确已知角是菱形的内角、对角线夹角，还是对角线分出的分角，确定其在图形中的位置。 1. 转化角度关系 · 已知一个内角：利用“对角相等、邻角互补”，直接求出其余三个内角； · 涉及对角线：利用“对角线平分一组对角”，建立内角与分角的2倍关系；利用“对角线互相垂直”，结合直角三角形两锐角互余计算。 1. 特殊模型优先：若出现 或 内角，优先识别等边三角形，直接得到对应角度与边长关系，简化计算。 1. 多图形组合：结合对顶角相等、邻补角互补、三角形内角和等基础定理，将角度在相邻图形间传递，最终求出目标角。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点N，点M为垂足，连接，则的大小是_______． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在菱形中，E，F分别在，上，且，与相交于点O，连结．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点分别在和上，那么的度数为________． 考点二 利用菱形的性质求线段长 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边的性质：菱形四条边长度相等，因此 ；已知周长可直接求边长，反之亦然。 1. 对角线的核心计算关系 菱形的两条对角线互相垂直且平分，交点是每条对角线的中点，将菱形分割为四个全等的直角三角形。 设菱形边长为 ，两条对角线长分别为 、，由勾股定理得核心公式： · 其中边长为直角三角形的斜边，两条对角线的一半为两条直角边。 1. 特殊线段结论 · 菱形的高 = 面积 ÷ 对应底边长； · 内角为 的菱形：较短对角线长度 = 边长，较长对角线长度 = 边长。 二、解题思路 1. 边长与周长互求：已知一条边长，利用“四边相等”直接计算周长；已知周长，除以4得到边长。 1. 对角线与边长互求 · 已知两条对角线长：先分别取对角线的一半，代入勾股定理求出斜边，即为菱形的边长； · 已知边长和一条对角线长：先取已知对角线的一半，用勾股定理求出另一条对角线的一半，再乘2还原为整条对角线的长度。 1. 特殊角度简化：若已知 或 内角，先通过等边三角形得到较短对角线长度，再用勾股定理求较长对角线，无需分步计算角度。 1. 求菱形的高：已知面积和底边长，用面积公式反推高；或已知边长与内角，通过直角三角形的边角关系求出高。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 例2．（2026·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·重庆秀山·阶段检测）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 变式2．（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在菱形中，，F是边上的点，点E在边上，平分，连接．若，的周长为15，则的长为________． 考点三 利用菱形的性质求面积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 通用公式（继承平行四边形） · 适用于已知一组对边长度和对应高的情况。 1. 菱形专属公式 · 其中 、 为两条对角线的长度。 原理：对角线互相垂直的四边形，面积等于对角线乘积的一半；菱形对角线互相垂直，因此适用该公式。 1. 衍生结论 · 对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形，每个三角形的面积为菱形面积的 ； · 已知边长和内角时，可先通过直角三角形求出高，再用底×高计算面积。 1. 面积不变性：同一个菱形无论选取哪组底和高，面积结果一致，可利用面积相等列方程求解未知线段。 二、解题思路 1. 合理选择公式 · 已知底边长和对应高：直接用“底×高”计算； · 已知两条对角线长度：优先用“对角线乘积的一半”计算，步骤更简便； · 已知边长和内角：先构造直角三角形求出高，再用底×高计算面积。 1. 反求线段：已知面积和一条对角线，利用面积公式反求另一条对角线；已知面积和边长，反求对应高的长度。 1. 组合图形面积：菱形与其他图形组合时，先分别计算各部分面积，再通过求和、作差得到目标面积。 1. 等面积法应用：利用菱形面积的两种表达式建立方程，求解未知的高、对角线或边长。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、，，的周长为18，则菱形的面积为（     ） A．12 B．18 C．24 D．54 变式2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 变式3．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，线段，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧交于点C，D，作直线，连接．若，则四边形的面积为_____________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积讲义 考点目录 利用菱形的性质求角度 利用菱形的性质求线段长 利用菱形的性质求面积 考点一 利用菱形的性质求角度 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的基础性质 · 继承平行四边形通性：对角相等，邻角互补（邻角度数和为 ）； · 菱形特殊性质：每条对角线平分一组对角，即对角线将对应内角分成两个大小相等的小角。 1. 对角线与三角形的角度关联 · 两条对角线互相垂直，将菱形分成四个全等的直角三角形，每个直角三角形的两个锐角，分别等于菱形两组内角的一半； · 若菱形有一个内角为 （或 ），则较短对角线与两条邻边构成等边三角形，该对角线与边长相等，对应内角均为 。 1. 边的性质衍生角度 菱形四条边长度相等，因此任意一条对角线与两边均可构成等腰三角形，可结合“等边对等角”推导角度关系。 二、解题思路 1. 定位已知角：明确已知角是菱形的内角、对角线夹角，还是对角线分出的分角，确定其在图形中的位置。 1. 转化角度关系 · 已知一个内角：利用“对角相等、邻角互补”，直接求出其余三个内角； · 涉及对角线：利用“对角线平分一组对角”，建立内角与分角的2倍关系；利用“对角线互相垂直”，结合直角三角形两锐角互余计算。 1. 特殊模型优先：若出现 或 内角，优先识别等边三角形，直接得到对应角度与边长关系，简化计算。 1. 多图形组合：结合对顶角相等、邻补角互补、三角形内角和等基础定理，将角度在相邻图形间传递，最终求出目标角。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，，由等边对等角得，， 结合平行线的性质可推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 例2．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，求出，然后可得的度数． 【详解】解：∵，是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 例3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点N，点M为垂足，连接，则的大小是_______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到是等腰三角形，根据角平分线的性质得到，进而证明，求出的度数，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， 、、， 的垂直平分线交于点N， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形邻角互补求出的度数，再根据菱形对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ． 变式2．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在菱形中，E，F分别在，上，且，与相交于点O，连结．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再求得，，根据菱形的性质及等腰三角形的性质证得即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， ， ， =， ， ， ， ， 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，用七支长度相同的铅笔，排成一个菱形和一个等边，使得点分别在和上，那么的度数为________． 【答案】 【分析】设，则，根据三角形内角定理可得，进而可得，再根据可得，联立求出x，即可求出． 【详解】解：由题意知菱形和等边的边长相等， ，，，， ，，， 设，则， ， 等边中，， ， 又， ， ，即， ． 考点二 利用菱形的性质求线段长 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 边的性质：菱形四条边长度相等，因此 ；已知周长可直接求边长，反之亦然。 1. 对角线的核心计算关系 菱形的两条对角线互相垂直且平分，交点是每条对角线的中点，将菱形分割为四个全等的直角三角形。 设菱形边长为 ，两条对角线长分别为 、，由勾股定理得核心公式： · 其中边长为直角三角形的斜边，两条对角线的一半为两条直角边。 1. 特殊线段结论 · 菱形的高 = 面积 ÷ 对应底边长； · 内角为 的菱形：较短对角线长度 = 边长，较长对角线长度 = 边长。 二、解题思路 1. 边长与周长互求：已知一条边长，利用“四边相等”直接计算周长；已知周长，除以4得到边长。 1. 对角线与边长互求 · 已知两条对角线长：先分别取对角线的一半，代入勾股定理求出斜边，即为菱形的边长； · 已知边长和一条对角线长：先取已知对角线的一半，用勾股定理求出另一条对角线的一半，再乘2还原为整条对角线的长度。 1. 特殊角度简化：若已知 或 内角，先通过等边三角形得到较短对角线长度，再用勾股定理求较长对角线，无需分步计算角度。 1. 求菱形的高：已知面积和底边长，用面积公式反推高；或已知边长与内角，通过直角三角形的边角关系求出高。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 例2．（2026·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，则，根据翻折得出，最后根据即可求解. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴. 例3．（25-26九年级上·重庆秀山·阶段检测）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，点为的中点，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分求出，的长，取中点构造三角形中位线，将转化到直角三角形中，利用勾股定理求解. 【详解】解： 四边形是菱形 ， ，，， 点为的中点 ， ， 取的中点，连接，如图所示， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 点在线段上，， ， 在中，． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 【答案】D 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 变式2．（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点E作，可得，，再证明，可得是等边三角形，从而得，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点E作， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵在菱形中， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴是等边三角形， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 变式3．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在菱形中，，F是边上的点，点E在边上，平分，连接．若，的周长为15，则的长为________． 【答案】5 【分析】连接，过A作于M，于N，于H，由角平分线的性质推出，判定，推出，由菱形的性质推出，平分，由菱形的面积公式得到，因此，判定，推出，得到的周长，判定和是等边三角形，得到，得到，由勾股定理求出、，即可得到的长． 【详解】解：连接，过A作于M，于N，于H，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵菱形的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴和是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点三 利用菱形的性质求面积 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 通用公式（继承平行四边形） · 适用于已知一组对边长度和对应高的情况。 1. 菱形专属公式 · 其中 、 为两条对角线的长度。 原理：对角线互相垂直的四边形，面积等于对角线乘积的一半；菱形对角线互相垂直，因此适用该公式。 1. 衍生结论 · 对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形，每个三角形的面积为菱形面积的 ； · 已知边长和内角时，可先通过直角三角形求出高，再用底×高计算面积。 1. 面积不变性：同一个菱形无论选取哪组底和高，面积结果一致，可利用面积相等列方程求解未知线段。 二、解题思路 1. 合理选择公式 · 已知底边长和对应高：直接用“底×高”计算； · 已知两条对角线长度：优先用“对角线乘积的一半”计算，步骤更简便； · 已知边长和内角：先构造直角三角形求出高，再用底×高计算面积。 1. 反求线段：已知面积和一条对角线，利用面积公式反求另一条对角线；已知面积和边长，反求对应高的长度。 1. 组合图形面积：菱形与其他图形组合时，先分别计算各部分面积，再通过求和、作差得到目标面积。 1. 等面积法应用：利用菱形面积的两种表达式建立方程，求解未知的高、对角线或边长。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理与完全平方公式，求出，进而算出菱形面积． 【详解】解：四边形为菱形，， ，，， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 故该标志的占地面积为． 例2．（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【详解】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由菱形的性质得到关于x的方程，掌握菱形的面积公式：菱形面积（a、b是两条对角线的长度）． 根据题意设，，由菱形的性质推出，，，，由等角对等边推出，从而得到，求出，得到，，，由勾股定理求出，得到，，，于是得到菱形的面积． 【解答】解：∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，连接、，，的周长为18，则菱形的面积为（     ） A．12 B．18 C．24 D．54 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得，，再设，则，然后根据勾股定理得，求出，最后根据的面积是得出答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴菱形的面积是． 变式2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】因为菱形四边相等，所以，结合可推出．可设菱形高，利用三角形面积与菱形面积的关系，分别将和的面积用菱形的底、高表示．因为两个三角形面积的和可通过转化，与菱形面积建立比例关系，所以代入菱形面积数值即可求解． 【详解】解：菱形中，， 设菱形以为底的高为， 则菱形面积， ∵， ∴． ∵以为底，高等于菱形边上的高，； 以为底，高等于菱形边上的高，； ∴两面积相加： ． 变式3．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，线段，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧交于点C，D，作直线，连接．若，则四边形的面积为_____________． 【答案】24 【分析】由作图可知，得到四边形是菱形，利用求解即可． 【详解】解：如图， 由作图可知， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $